Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Partiella derivator av högre ordningen
1 av 5
PARTIELLA DERIVATOR AV HÖGRE ORDNINGEN Uppgift 1. Låt
f ( x , y , z ) = x
3yz
2+ ln( yz
4+ y )
Beräkna 2
4
x y z
f
∂
∂
∂
∂
Lösning:
2
3 x
2yz f = x
∂
∂
,
2 2
2
x f = 6xyz
∂
∂
,
2 2
3
x 6xz y
f =
∂
∂
∂
och till slut
x xz y z
f
212
4
∂ =
∂
∂
∂
Svar:
xz
x y z
f
212
4
∂ =
∂
∂
∂
Uppgift 1. Visa att funktionen z(x,y)=10sin(3ax)sin(3y) , a är en konstant, satisfierar ekvationen
2 2 2 2 2
y a z x
z
∂
= ∂
∂
∂
Lösning:
) 3 sin(
) 3 sin(
10 )
,
( x y ax y
z =
) 3 sin(
) 3 sin(
90 )
, (
) 3 cos(
) 3 sin(
30 ) , (
) 3 sin(
) 3 sin(
90 )
, (
) 3 sin(
) 3 cos(
30 ) , (
2
y ax
y x z
y ax
y x z
y ax
a y
x z
y ax
a y
x z
yy y xx x
−
′′ =
′ =
−
′′ =
′ =
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Partiella derivator av högre ordningen
2 av 5 VL i ekvationen är:
VL=zxx′′ (x,y)=−90a2sin(3ax)sin(3y) HL är lika med:
HL =a2zyy′′ (x,y)=−90a2sin(3ax)sin(3y) Alltså gäller VL=HL, vad skulle bevisas.
Uppgift 2. Visa att funktionen ( , ) arctan( ) x y y
x
f = , satisfierar ekvationen
2
0
2 2 2
∂ = + ∂
∂
∂
y f x
f
( Laplace ekvation)
Uppgift 3. Visa att funktionen f(x,y)=ln(x2 + y2), satisfierar ekvationen
2
0
2 2 2
∂ = + ∂
∂
∂
y f x
f
( Laplace ekvation)
Uppgift 4. Visa att funktionen
F ( x , t ) = g ( x + at ) + h ( x − at )
,där a är en konstant, h, g godtyckliga funktioner i C2, satisfierar ekvationen
2 2 2
2 2
t F x
a F
∂
= ∂
∂
∂
( endimensionell vågekvation)
Lösning:
Vi betecknar
u = ( x + at )
v = ( x − at )
, och betraktar F som en sammansatt funktion)) , ( ( )) , ( ( )
,
( x t g u x t h v x t
F = +
Vi deriverar på x och enligt kedjeregeln får
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Partiella derivator av högre ordningen
3 av 5
v u v
u x
v x
u
u h v g h g h
x g
F = ′ ⋅ ′ + ′ ′ = ′ ⋅ + ′ ⋅ = ′ + ′
∂
∂ 1 1
Vi deriverar en gång till på x och får
v u v
u
h g h
x g
F = ′′ ⋅ + ′ ⋅′ = ′′ + ′′
∂
∂
21 1
2
Derivering på t ger
v u
v u
t v t
u
u h v g a h a a g a h
t g
F = ′ ⋅ ′ + ′ ′ = ′ ⋅ + ′ ⋅ − = ′ − ′
∂
∂ ( )
Vi deriverar en gång till på t och får
v u
v
u
a a h a a g a h
g t a
F = ′′ ⋅ − ′ ⋅′ − = ′′ + ′′
∂
∂
2 22 2
) (
För vänsterledet i ekvationen 2
2 2
2 2
t F x
a F
∂
= ∂
∂
∂
har vi
h a g a h g x a
a F
VL =
u′′ +
v′′ =
u′′ + ′′
∂
=
2∂
2 2 2( )
2 2h a g a h a g t a
HL F =
u′′ +
v′′ =
u′′ + ′′
∂
= ∂
22 2 2 2 2( Anmärkning: Både VL och HL beräknas i punkten u=(x+at), v=(x−at)) Alltså VL = HL vad skulle bevisas.
Uppgift 5. Bestäm alla funktioner f(x,y) som satisfierar nedanstående ekvation a) =0
∂
∂ x
F b) =0
∂
∂ y
F c) =5cos +4
∂
∂ x
x
F , d) y y
y
F = 3+sin
∂
∂
e) 2 0
2
∂ =
∂ x
F f) 2 0
2
∂ =
∂ y
F g) 0
2
∂ =
∂
∂ y x
F
Armin Ha
Lösning
Därför
Svar a) F Svar b) F Svar c) F
Svar d )
Lösning
Därför
Svar f ) F
Svar g)
∂
Eftersom
(x h F = Svar: F
Uppgift
alilovic: EXTR
a) =0
∂
∂ x
F b
0 F
x
F = ⇒
∂
∂
) ( y f
F = dä
) (x f F =
sin
5 x
F = +
4 c y4
F = −
e) 2 0
2
∂ =
∂ x
F
x F x ⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
) (x yf
F = +
x F y ⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
m
∫
f(x)dx) ( ) g y x +
) (x g h
F = +
t 6. (Gamm
RA ÖVNINGA
betyder att fu
) ( y f F = d
är f(y) är en g
) ( 4x+ f y +
) ( cosy+ f x
0 dvs ⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ x
0 f
F =x
∂
⇒ ∂
) (x +g
0 f
F =x
∂
⇒ ∂
är igen en f
) ( y
g , ( dä
al KS)
AR
unktionen ej
är f(y) är vilk
godtycklig, d
)
=0
⎟⎠
⎞
∂x
F bet
) (y F
f ⇒ =
) (x F
f ⇒ =
unktion av x
är h(x) och g(
4 av 5 j beror av x u
ken som hels
deriverbar fu
tyder att x F
∂
∂
) (y g xf +
=
) (x dx
f +
=
∫
x , som vi bet
(y) är godty
Pa
utan bara av
st funktion av
nktion.
x
F ej beror a
) ( y g
) ( y +g
tecknar h(x)
ckliga derive
artiella deriva
y.
v y.
av x utan end
)får vi
erbara funkti
ator av högre
dast av y.
oner )
ordningen
Armin Haalilovic: EXTRRA ÖVNINGAAR
5 av 5
Paartiella derivaator av högre ordningen
