Lebesgueintegralen. Bengt Ove Turesson oktober Matematiska institutionen, Linköpings universitet, SE Linköping, Sverige

(1)

Lebesgueintegralen

Bengt Ove Turesson

¹

25 oktober 2009

1Matematiska institutionen, Link¨opings universitet, SE-581 83 Link¨oping, Sverige

(2)

(3)

F¨ orord

Föreliggande kompendium inneh˚aller en kortfattad introduktion till lebesgueintegralen för funktioner p˚a R^d. Den framställning, som jag använder, g˚ar tillbaka till Young, Daniell, Riesz, Stone m.fl., och bygger p˚a man först definierar integralen och sedan m˚attet (den omvända ordningen är vanligast i litteraturen).

Arbetet p˚ag˚ar fortfarande, s˚a kompendiet inneh˚aller n˚agra luckor. En konven- tion, som kan vara värd att nämna, är att jag ofta i inledningen till ett kapitel samlar n˚agra av de beteckningar och förutsättningar som används inom kapitlet;

jag gör s˚a för att slippa att behöva upprepa detta i satser, lemman etc.

Bengt Ove Turesson

Link¨oping 25 oktober 2009

i

(4)

(5)

Inneh˚ all

F¨orord i

1 Trappstegsfunktioner 1

1.1 Intervall och trappstegsfunktioner . . . 1

1.2 Integralen av en trappstegsfunktion . . . 2

1.3 Tv˚a tekniska resultat . . . 2

2 Riemannintegralen 4 2.1 Definitionen av riemannintegralen . . . 4

2.2 Egenskaper hos riemannintegralen . . . 5

2.3 En klass av riemannintegrerbara funktioner . . . 7

2.4 Ett integrabilitetskriterium . . . 7

2.5 Ofullst¨andighetsresultat . . . 8

3 Lebesgueintegralen 9 3.1 Overintegralen . . . .¨ 9

3.2 En seminorm . . . 9

3.3 Nollfunktioner och nollm¨angder . . . 10

3.4 Lebesgueintegralen . . . 11

3.5 Rummet L¹(R^d) . . . 12

3.6 Egenskaper hos lebesgueintegralen . . . 12

3.7 J¨amf¨orelse med riemannintegralen . . . 13

4 Konvergenssatser 14 4.1 Beppo Levis sats om monoton konvergens . . . 14

4.2 Fatous lemma . . . 15

4.3 Lebesgues sats om dominerad konvergens . . . 15

5 M¨atbarhet och m˚att 17 5.1 M¨atbara funktioner . . . 17

5.2 Egenskaper hos m¨atbara funktioner . . . 18

5.3 M¨atbara m¨angder . . . 19

5.4 Egenskaper hos och exempel p˚a m¨atbara m¨angder . . . 19

5.5 Mer om m¨atbarhet f¨or funktioner . . . 20

5.6 Integration över mätbara mängder . . . 21

5.7 M˚att . . . 21

6 Karakterisering av riemannintegrerbara funktioner 24 7 Integration av komplexv¨arda funktioner 25 8 Parameterintegraler 26 8.1 Ett inledande exempel . . . 26

8.2 En kontinuitetssats . . . 26

8.3 En derivationssats . . . 27 iii

(6)

iv INNEH˚ALL

9 L^p-rum 29

9.1 Definitionen av L^p(E) . . . 29

9.2 Den aritmetiska-geometriska olikheten . . . 29

9.3 H¨olders olikhet . . . 30

9.4 Minkowskis olikhet . . . 30

9.5 Riesz sats . . . 31

9.6 Approximation med trappstegsfunktioner . . . 32

9.7 Translation i L^p . . . 32

10 Upprepad integration 34 10.1 Fubinis sats . . . 34

10.2 Tonellis sats . . . 35

10.3 Minkowskis olikhet f¨or integraler . . . 36

10.4 Tensorprodukten . . . 36

11 Faltning 38 11.1 Linj¨ara variabelbyten . . . 38

11.2 Grundl¨aggande egenskaper hos faltningar . . . 39

11.3 Youngs olikhet . . . 40

11.4 Regularitetsegenskaper hos faltningar . . . 40

12 Regularisering 42 12.1 Approximativa identiteter . . . 42

12.2 Ett t¨athetsresultat . . . 43

12.3 Exempel . . . 43

13 Variabelbyte 44 13.1 Nollm¨angders bevarande . . . 44

13.2 Variabelbyte f¨or kontinuerliga funktioner . . . 44

13.3 Satsen om variabelbyte . . . 46

14 Derivation av integraler 47 14.1 ¨Ovningar . . . 47

.1 Det utvidgade reella talsystemet . . . 48

.2 Regelfunktioner . . . 48

(7)

Kapitel 1

Trappstegsfunktioner

I det första kapitlet som definierar vi begreppet trappstegsfunktion och integralen av en s˚adan funktion. Vi bevisar ocks˚a n˚agra enkla egenskaper för detta integral- begrepp och avslutar kapitlet med tv˚a sv˚arare resultat som behövs i senare kapitel.

1.1. Intervall och trappstegsfunktioner

Definition 1.1.1. Ett d-dimensionellt intervall ¨ar en m¨angd i R^d p˚a formen I = J₁× ... × Jd,

där varje Jk är ett endimensionellt, begränsat intervall. Intervallen Jk kan vara

öppna, slutna eller halvöppna; även intervall, som best˚ar av en enda punkt, är till˚atna. M˚attet m(I) av I är talet

m(I) = |J¹| · ... · |J^d|, d¨ar |Jk| betecknar l¨angden av intervallet Jk.

Definition 1.1.2. En funktion φ : R^d → R kallas en trappstegsfunktion om det finns ¨andligt m˚anga, parvis disjunkta d-dimensionella intervall I_j s˚adana att

(i) φ ¨ar konstant p˚a varje intervall I_j, (ii) φ(x) = 0 f¨or x ∈ R^drS

jI_j.

Vi betecknar m¨angden av alla trappstegsfunktioner med T och m¨angden av icke- negativa trappstegsfunktioner med T₊.

Man ser lätt att T är ett vektorrum, d.v.s. om φ, ψ ∈ T , gäller det att αφ + βψ ∈ T för alla α, β ∈ R.

Vi förser T med den naturliga partialordningen: vi skriver φ ≤ ψ om φ(x) ≤ ψ(x) för varje x ∈ R^d. Med denna partialordning är T ett lattice: Om φ, ψ ∈ T , s˚a

¨ar φ∨ ψ ∈ T och φ ∧ ψ ∈ T , d¨ar

φ ∨ ψ = max{φ, ψ} och φ ∧ ψ = min{φ, ψ}.

H¨arav f¨oljer att |φ| = φ ∨ (−φ) ∈ T om φ ∈ T .

Definition 1.1.3. Den karakteristiska funktionen χ_E f¨or en m¨angd E ⊂ R^d definieras genom

χE(x) =

1 om x ∈ E 0 om x /∈ E .

Med hj¨alp av karakteristiska funktioner kan en trappstegsfunktion φ skrivas φ =X

j

c_jχ_I_j,

där cj är värdet för φ p˚a Ij. Lägg märke till att en trappstegsfunktion har (oändligt) m˚anga s˚adana framställningar.

1

(8)

2 Kapitel 1 Trappstegsfunktioner

1.2. Integralen av en trappstegsfunktion

Definition 1.2.1. Integralen av en trappstegsfunktion φ =P

jc_jχ_I_j ¨ar talet Z

φ dx =X

j

cjm(Ij).

Vi övertygar oss härnäst om att värdet p˚a integralen av en trappstegsfunktion inte beror p˚a vilken framställning av funktionen som man använder.

Sats 1.2.2. Integralen av en trappstegsfunktion ¨ar oberoende av framst¨allningen av funktionen.

Bevis. Antag att φ = P

jc_jχ_I_j = P

kc^′_kχ_I^′

k är tv˚a framställningar av en trappstegsfunktion φ. Vi sätter d˚a a_j,k = c_j = c^′_k om I_j∩ Ik^′ 6=

∅

_{och a}_j,k = 0 f¨or ¨ovrigt.

D˚a ¨ar φ =P

j

P

ka_j,kχ_I_j_∩I^′

k och X

j

X

k

a_j,km(I_j∩ Ik^′) =X

j

c_jX

k

m(I_j ∩ Ik^′) =X

j

c_jm(I_j).

P˚a liknande s¨att visar man att dubbelsumman ¨ar lika med P

kc^′_km(I_k^′).

Sats 1.2.3. Antag att φ, ψ ∈ T . D˚a g¨aller f¨oljande:

(a) R (αφ + βψ) dx = α R φ dx + β R ψ dx f¨or alla α, β ∈ R;

(b)

R φ dx

≤R |φ| dx;

(c) om φ ≤ ψ, ¨ar R φ dx ≤ R ψ dx.

L¨agg m¨arke till att integralen definierar en avbildning R

: T → R. I satsen inneb¨ar (a) att R

¨ar linj¨ar och (c) attR

¨

ar monoton; egenskapen (b) kallas triangelolikheten.

Bevis. Triangelolikheten ¨ar bara en omskrivning av samma olikhet f¨or summor.

Aven linjäriteten och monotoniteten hos integralen följer av motsvarande egenska-¨ per för summor om man som i beviset av sats 1.2.2 förfinar intervallen i fram- ställningarna av φ och ψ genom att bilda snitt av de ing˚aende intervallen.

1.3. Tv˚ a tekniska resultat

Lemma 1.3.1. Om φ_n∈ T, n = 1, 2, ... , och φn ↓ 0, s˚a g¨aller att R φ_ndx → 0.

H¨ar betyder φn ↓ 0 att φn(x) avtar mot 0 f¨or varje x ∈ R^d.

Bevis. Antag att φ₁ = 0 utanför ett slutet intervall I och att φ ≤ M. L˚at sedan E ⊂ I vara mängden av punkter där n˚agon funktion φ_n är diskontinuerlig.

Givet ett godtyckligt ε > 0 täcker vi E med ett uppräkneligt antal öppna intervall I_k med P

km(I_k) < ε. L˚at nu x ∈ I r E. Eftersom φn(x) → 0, finns det ett tal n = n(x) s˚adant att φn(x) < ε. D˚a vidare φn är kontinuerlig i x är φn konstant i ett öppet intervall J(x) som inneh˚aller x.

(9)

1.3. Tv˚a tekniska resultat 3

Samlingen av alla intervall I_k och J(x) utgör en öppen övertäckning av I. D˚a I

är kompakt kan vi därför hitta ändligt m˚anga intervall I1, ... , Iroch J(x1), ... , J(xs) som täcker I. Antag att n ≥ max{n(x1) ... , n(x_s)}. Om φn =P

jc_j,nχ_I_j,n, ¨ar Z

φ_ndx = X

j

c_j,nm(I_j,n) =X

j

′c_j,nm(I_j,n) +X

j

′′c_j,nm(I_j,n) < εm(I) + M ε,

d¨arP′

betecknar summan ¨over alla j s˚adana att I_j,n∩J(xi) 6=

∅

_{f¨or n˚}agot 1 ≤ i ≤ s och P′′

summan ¨over ˚aterst˚aende j. Detta visar att R φ_ndx → 0 eftersom ε var godtyckligt.

Sats 1.3.2. Antag att φ, φ_n ∈ T, n = 1, 2, ... , och att |φ| ≤P∞

1 |φn|. D˚a g¨aller att Z

|φ| dx ≤

∞

X

1

Z

|φn| dx.

Bevis. Eftersom |φ|, |φⁿ| ∈ T kan vi antaga att φ ≥ 0 och φⁿ ≥ 0 f¨or varje n.

Vi definierar nu ψN = minφ, P^N₁ φn

för N = 1, 2, ... . D˚a gäller att ψN ∈ T för varje N . Vidare gäller att ψN ↑ φ och därmed att φ − ψN ↓ 0. Sats 1.2.3 och lemma 1.3.1 ger därför att

Z

φ dx − Z

ψ_N dx = Z

(φ − ψN) dx → 0,

d.v.s. attR ψ_Ndx →R φ dx. H¨arav f¨oljer att Z

φ dx = lim

N→∞

Z

ψ_N dx ≤ lim

N→∞

Z N

X

1

φ_ndx = lim

N→∞

N

X

1

Z

φ_ndx

=

∞

X

1

Z

φ_ndx.

(10)

Kapitel 2

Riemannintegralen

I följande kapitel definierar vi riemannintegralen av en begränsad funktion p˚a ett intervall i R^d. Vi kommer inte att använda riemannintegralen för att definiera lebesgueintegralen; avsikten med det här kapitlet är att visa att de b˚ada integralerna kan definieras p˚a ett enhetligt sätt. V˚ar framställning av riemannintegralen skiljer sig en del fr˚an de som brukar användas i analysböcker. I sats 2.4.1 visar vi dock att v˚ar definition ger samma integral som de vanliga definitionen.

Nedan betecknar I ⊂ R^d genomg˚aende ett slutet och begränsat intervall. Vi l˚ater vidare B(I) beteckna mängden av begränsade funktioner p˚a I och T (I) mängden av trappstegsfunktioner som är 0 utanför I.

2.1. Definitionen av riemannintegralen

Om f ∈ B(I), är −M ≤ f ≤ M för n˚agon konstant M ≥ 0. Det finns d˚a trappstegsfunktioner φ, ψ ∈ T (I) s˚adana att φ ≤ f ≤ ψ, nämligen de funktioner som ges av φ = −M respektive ψ = M p˚a I. Detta visar att följande definitioner är meningsfulla.

Definition 2.1.1. Om f ∈ B(I), definierar vi underintegralenR

#f dx respektive ¨overintegralen R#

f dx av f genom Z

#

f dx = sup

T (I)∋φ≤f

Z

φ dx och

Z #

f dx = inf

f ≤ψ∈T (I)

Z

ψ dx.

Beviset för följande lemma lämnas som övning.

Lemma 2.1.2. Antag att f, g ∈ B(I). D˚a g¨aller f¨oljande: (a) R#

|αf| dx = |α|R#

|f| dx f¨or varje α ∈ R;

(b) R#

|f + g| dx ≤R#

|f| dx +R#

|g| dx;

(c) om f ≤ g, ¨ar R#

f dx ≤R#

g dx;

(d) om f ∈ T (I), ¨ar R#

f dx =R f dx.

I lemmat inneb¨ar (a) och (b) att R#

| · | dx ¨ar en seminorm p˚a B(I).

Exempel 2.1.3. Antag att f ∈ B(I). D˚a följer det |f| ≤ χIkfk∞, där vi använder beteckningen kfk∞ = sup_x∈I|f(x)| för supremumnormen för f. Av (c) och (d) i lemma 2.1.2 följer det nu att R#

|f| dx ≤ kfk^∞m(I).

Definition 2.1.4. En funktion f ∈ B(I) s¨ages vara riemannintegrerbar om det finns en f¨oljd (φn)^∞₁ ⊂ T (I) s˚adan att

n→∞lim Z #

|f − φn| dx = 0.

M¨angden av riemannintegrerbara funktioner betecknas med R(I).

4

(11)

2.2. Egenskaper hos riemannintegralen 5

En funktion är allts˚a riemannintegrerbar om den kan approximeras godtyckligt väl med trappstegsfunktioner med avseende p˚a den seminorm som ges av överinte- gralen.

Man ser direkt att villkoret i definitionen är ekvivalent med följande villkor: För varje ε > 0 finns det en funktion φ ∈ T (I) s˚adan att

Z #

|f − φ| dx < ε.

Antag att f ¨ar riemannintegrerbar och att (φn)^∞₁ ⊂ T (I) ¨ar som i definitionen.

D˚a är följden (R φ_ndx)^∞₁ en cauchyföljd:

Z

φ_mdx − Z

φ_ndx ≤

Z

|φm− φn| dx = Z #

|φm− φn| dx

≤ Z #

|φ^m− f| dx + Z #

|f − φⁿ| dx → 0

d˚a m, n → ∞. Allts˚a existerar gränsvärdet limn→∞R φ_ndx. I själva verket f˚ar man samma gränsvärde för varje följd som konvergerar mot f med avseende p˚a

överintegralen. Om (ψn)^∞₁ ⊂ T är en annan s˚adan följd, gäller nämligen enligt triangelolikheten i lemma 2.1.2 att

Z

φ_ndx − Z

ψ_ndx

=

Z #

(φ_n− f) dx

≤ Z #

|φn− f| dx + Z #

|f − ψn| dx → 0,

s˚a följderna (R φ_ndx)^∞₁ och (R ψ_ndx)^∞₁ har samma gränsvärde.

Definition 2.1.5. F¨or f ∈ R(I) definierar vi Z

I

f dx = lim

n→∞

Z

φ_ndx,

där (φn)^∞₁ ⊂ T (I) är n˚agon följd som konvergerar mot f med avseende p˚a över- integralen.

Om φ ∈ T (I), s˚a är φ riemannintegrerbar och integralen av φ stämmer överens med den tidigare definitionen; följden φ1 = φ₂= ... = φ konvergerar ju självklart mot φ med avseende p˚a överintegralen.

2.2. Egenskaper hos riemannintegralen

Vi bevisar nu n˚agra av de vanliga egenskaperna hos riemannintegralen.

Sats 2.2.1. Antag att f, g ∈ R(I). D˚a g¨aller f¨oljande:

(a) αf + βg ∈ R(I) och R

I(αf + βg) dx = αR

If dx + βR

Ig dx f¨or alla α, β ∈ R;

(b) |f| ∈ R(I), R

I|f| dx =R#

|f| dx och R

I f dx ≤R

I|f| dx;

(c) om f ≤ g, ¨ar R

I f dx ≤R

I g dx.

(12)

6 Kapitel 2 Riemannintegralen

Bevis. Antag att φ_n ∈ T (I) och ψn ∈ T (I) konvergerar mot f respektive g.

(a) Triangelolikheten f¨or ¨overintegralen ger att Z #

|(αf + βg) − (αφⁿ+ βψn)| dx ≤ |α|

Z #

|f − φⁿ| dx + |β|

Z #

|g − ψⁿ| dx, vilket visar att αφ_n+ βψ_n konvergerar mot αf + βg, s˚a αf + βg ¨ar riemannintegrerbar. Linj¨ariteten hos integralen p˚a T (I) visar nu att

Z

I

(αf + βg) dx = lim

n→∞

Z

(αφn+ βψn) dx = α Z

I

f dx + β Z

I

g dx.

(b) Eftersom

|f| − |φn|

≤ |f − φn| g¨aller att Z #

|f| − |φn| dx ≤

Z #

|f − φn| dx,

vilket visar att |φn| ∈ T (I) konvergerar mot |f| och d¨arf¨or att |f| ∈ R(I).

L˚ater vi nu n → ∞ i olikheten Z #

|φn| dx − Z #

|φn− f| dx ≤ Z #

|f| dx ≤ Z #

|f − φn| dx + Z #

|φn| dx, som följer fr˚an triangelolikheten för överintegralen, och utnyttjar att

Z #

|φⁿ| dx = Z

|φⁿ| dx → Z

I|f| dx, f¨oljer det attR

I|f| dx =R#

f dx. Till sist ¨ar

Z

I

f dx

= lim

n→∞

Z

I

φ_ndx

≤ lim

n→∞

Z

|φn| dx = Z

I |f| dx.

(c) S¨att h = f − g. D˚a g¨aller att h ≥ 0 och ηⁿ = ψn − φⁿ konvergerar mot h.

H¨arav f¨oljer att Z

I

h dx = Z

I|h| dx = lim_n→∞

Z

|ηn| dx ≥ 0, vilket bevisar p˚ast˚aendet.

Sats 2.2.2. Om (f_n)^∞₁ ⊂ R(I) konvergerar likformigt mot f ∈ B(I), ¨ar f ∈ R(I)

och Z

I

f dx = lim

n→∞

Z

I

fndx.

Bevis. L˚at ε vara godtyckligt. F¨or varje fn finns det en funktion φn ∈ T (I) med R#

|fⁿ− φⁿ| dx < ε. Vidare finns det ett heltal N s˚adant att kf − fⁿk^∞ < ε för varje n ≥ N. Härav följer att

Z #

|f − φⁿ| dx ≤ Z #

|f − fⁿ| dx + Z #

|fⁿ− φⁿ| dx < (m(I) + 1)ε om n ≥ N. Allts˚a g¨aller att f ∈ R(I). Det andra p˚ast˚aendet i satsen f¨oljer av att

Z

If dx − Z

I

fndx ≤

Z

I |f − fⁿ| dx ≤ m(I)kf − fⁿk^∞.

(13)

2.3. En klass av riemannintegrerbara funktioner 7

2.3. En klass av riemannintegrerbara funktioner

Sats 2.3.1. Varje kontinuerlig funktion p˚a I ¨ar riemannintegrerbar.

Bevis. L˚at f vara kontinuerlig p˚a I. Fr˚an sats 2.2.2 följer det att det räcker att visa att det för varje ε > 0 finns en trappstegsfunktion φ s˚adan att kf − φk∞ < ε.

Eftersom I är kompakt, är f likformigt kontinuerlig p˚a I. För ett givet ε > 0 finns det därför ett δ > 0 s˚adant att |f(x) − f(y)| < ε om x, y ∈ I och |x − y| < δ. Dela nu in I i ett ändligt antal disjunkta intervall Ij s˚adana att diam(Ij) < δ för varje j och sätt φ(x) = infy∈Ij f (y) för x ∈ Ij. D˚a är φ ∈ T (I) och kf − φk∞ ≤ ε.

2.4. Ett integrabilitetskriterium

Nästa sats visar att v˚ar definition av riemannintegralen stämmer överens med en av dem, som brukar användas i analysböcker, nämligen att över- och underintegralen

¨ar lika.

Sats 2.4.1. En funktion f ∈ B(I) ¨ar riemannintegrerbar om och endast om Z #

f dx = Z

#

f dx.

Bevis. Antag först att f är riemannintegrerbar. För ett godtyckligt ε > 0 finns d˚a en trappstegsfunktion φ ∈ T (I) s˚adan att R#

|f − φ| dx < ε. Vidare finns en funktion ψ ∈ T (I) s˚adan att |f −φ| ≤ ψ ochR ψ dx < ε. Eftersom φ−ψ ≤ f ≤ φ+ψ, f¨oljer nu att

0 ≤ Z #

f dx − Z

#f dx ≤ Z

(φ + ψ) dx − Z

(φ − ψ) dx = 2 Z

ψ dx < 2ε.

Eftersom ε var godtyckligt visar detta att R#

f dx =R

#f dx.

Antag d¨arefter att R#

f dx = R

#f dx. För ett givet ε > 0 kan vi d˚a hitta funktioner φ, ψ ∈ T (I) s˚adana att φ ≤ f ≤ ψ och R ψ dx − R φ dx < ε. Eftersom vidare |f − φ| = f − φ ≤ ψ − φ, följer härav att

Z #

|f − φ| dx ≤ Z

(ψ − φ) dx < ε.

Exempel 2.4.2. Dirichlets funktion f p˚a [0, 1] ges av

f (x) =

1 om x ∈ [0, 1] ¨ar rationellt 0 om x ∈ [0, 1] ¨ar irrrationellt .

Eftersom b˚ade de rationella och de irrationella talen är täta i [0, 1] är det klart att R#

f dx = 1 och R

#f dx = 0. Allts˚a ¨ar f inte riemannintegrerbar.

(14)

8 Kapitel 2 Riemannintegralen

2.5. Ofullst¨ andighetsresultat

Nästa exempel visar att C(I) (rummet av kontinuerliga funktioner p˚a I) är ofull- ständigt med normen kfk1 = R

I|f| dx. Man kan i sj¨alva verket visa att ¨aven R(I)

¨ar ofullst¨andigt med samma norm.

Exempel 2.5.1. L˚at I = [0, 2] och definiera en f¨oljd fn, n = 1, 2, ... , av kontinuerliga funktioner p˚a [0, 2] genom

fn(x) =







1 om 0 ≤ x ≤ 1 − 1/n n − nx om 1 − 1/n ≤ x ≤ 1

0 om 1 ≤ x ≤ 2

.

Rita själv en figur! Följden (fn)^∞₁ är d˚a en cauchyföljd. Om m ≥ n, gäller nämligen att

Z 2

0 |fm− fn| dx ≤ Z 1

1−1/n

2 dx = 2

n → 0 d˚a m, n → ∞.

Antag nu att att kf − fnk1 → 0 f¨or n˚agon funktion f ∈ C([0, 2]). Eftersom Z 2

0 |f − fn| dx =

Z 1−1/n

0 |f − 1| dx + Z 1

1−1/n|f − (n − nx)| dx + Z 2

1 |f| dx

= Z 1

0 |f − 1| dx + Z 1

1−1/n(|f − (n − nx)| − |f − 1|) dx + Z 2

1 |f| dx, och den mellersta integralen i sista ledet g˚ar mot 0 d˚a n → ∞ eftersom integranden

är begränsad, m˚aste därför R1

0 |f − 1| dx = R2

1 |f| dx = 0. Härav följer att f = 1 p˚a [0, 1) och f = 0 p˚a (1, 2]. Allts˚a är f inte kontinuerlig, vilket allts˚a är en mot-

s¨agelse.

(15)

Kapitel 3

Lebesgueintegralen

Härnäst definierar vi lebesgueintegralen. Definitionen skiljer sig fr˚an definitionen av riemannintegralen i förra kapitlet främst genom att vi här använder en annan

överintegral för att definiera en seminorm. Detta leder till att bevisen för en del av lebesgueintegralens egenskaper blir identiska med motsvarande bevis för riemannintegralen. En annan skillnad är att vi här inte behöver förutsätta att v˚ara funktioner

är begränsade och lika med 0 utanför ett (begränsat) intervall.

3.1. ¨ Overintegralen

L˚at F beteckna mängden av funktioner p˚a R^d med värden i R och F⁺ mängden av icke-negativa funktioner i F. Vi skriver f ≤ g för f, g ∈ F om f(x) ≤ g(x) för varje x ∈ R^d.

Definition 3.1.1. ¨Overintegralen R∗

f dx av en funktion f ∈ F+ definieras genom

Z ∗

f dx = inf

∞

X

1

Z

φ_ndx : f ≤

∞

X

1

φ_n och (φ_n)^∞₁ ⊂ T+

.

Av definitionen f¨oljer direkt att R∗

¨ar monoton p˚a F+: Sats 3.1.2. Om f, g ∈ F+ och f ≤ g, ¨ar R∗

f dx ≤R∗

g dx.

3.2. En seminorm

N¨asta sats inneb¨ar att R∗

| · | dx är en seminorm p˚a F. Den första egenskapen är i det närmaste självklar och den andra följer av monotoniteten hos R∗

. Sats 3.2.1. Antag att f, g ∈ F. D˚a g¨aller f¨oljande:

(a) R∗

|αf| dx = |α|R∗

|f| dx f¨or varje α ∈ R;

(b) R∗

|f + g| dx ≤R∗

|f| dx +R∗

|g| dx.

Triangelolikheten är ett specialfall av följande viktiga resultat som är en motsva- righet till sats 1.3.2.

Sats 3.2.2. Antag att f ∈ F, fn ∈ F, n = 1, 2, ... , och att |f| ≤P∞

1 |fn|. D˚a ¨ar Z ∗

|f| dx ≤

∞

X

1

Z ∗

|f| dx.

Bevis. Vi kan antaga attP∞ 1

R∗

|fⁿ| dx < ∞ f¨or annars finns det inget att bevisa.

L˚at ε > 0 vara godtyckligt. F¨or varje n finns det d˚a en f¨oljd (φ⁽ⁿ⁾_k )^∞_k=1 ⊂ T+ s˚adan att |fⁿ| ≤P∞

k=1φ⁽ⁿ⁾_k och

∞

X

k=1

Z

φ⁽ⁿ⁾_k dx <

Z ∗

|fⁿ| dx + 2⁻ⁿε.

9

(16)

10 Kapitel 3 Lebesgueintegralen

D˚a ¨ar |f| ≤P∞ n=1

P∞

k=1φ⁽ⁿ⁾_k , och d¨arf¨or Z ∗

|f| dx ≤

∞

X

n=1

∞

X

k=1

Z

φ⁽ⁿ⁾_k dx <

∞

X

n=1

Z ∗

|fn| dx + ε.

Detta ger p˚ast˚aendet eftersom ε var godtyckligt.

Sats 3.2.3. Om φ ∈ T , ¨ar R∗

|φ| dx =R |φ| dx.

Bevis. Det ¨ar klart att R∗

|φ| dx ≤ R |φ| dx eftersom |φ| ≤ |φ| ∈ T+. Om vidare |φ| ≤ P∞

1 φ_n, d¨ar varje φn ∈ T+, ger sats 1.3.2 att R |φ| dx ≤ P^∞₁ R φndx.

H¨arav f¨oljer att R |φ| dx ≤ R^∗|φ| dx.

Exempel 3.2.4. L˚at f = χ_{a}, d¨ar a ∈ R^d. D˚a ¨ar R∗

|f| dx = R f dx = 0 efter-

som f ∈ T+.

3.3. Nollfunktioner och nollm¨ angder

Seminormen R∗

| · | dx ¨ar ingen norm p˚a F eftersom det enligt exempel 3.2.4 finns funktioner f s˚adana attR∗

|f| dx = 0 utan att f = 0. Vi studerar härnäst denna typ av funktioner lite närmare och främst fallet d˚a funktionen är den karakteristiska funktionen för n˚agon mängd.

Definition 3.3.1.

(a) En funktion f ∈ F kallas en nollfunktion om R∗

|f| dx = 0.

(b) En mängd E ⊂ R^d kallas en nollmängd om χE är en nollfunktion.

Exempel 3.3.2. Enligt exempel 3.2.4 ¨ar f = χ{a} en nollfunktion. Allts˚a ¨ar {a}

en nollm¨angd f¨or varje a ∈ R^d.

Sats 3.3.3.

(a) Om E ⊂ R^d är en nollmängd och A ⊂ E, s˚a är A en nollmängd.

(b) Om E =S∞

1 En, där varjeEn ⊂ R^d är en nollmängd, s˚a ärE en nollmängd.

Bevis.

(a) Eftersom χ_A≤ χE ochR∗

dx ¨ar monoton, ¨ar R∗

χ_Adx ≤R∗

χ_Edx = 0.

(b) D˚a χ_E ≤P∞

1 χ_E_n f¨oljer av sats 3.2.2 att R∗

χ_Edx ≤P∞ 1

R∗

χ_E_ndx = 0.

Exempel 3.3.4. L˚at Q = S∞

1 {rn} vara en uppr¨akning av de rationella talen.

Genom att kombinera exempel 3.3.2 med (b) i sats 3.3.3, ser man att Q ¨ar en

nollm¨angd.

Definition 3.3.5. Vi säger att en egenskap gäller nästan överallt p˚a A ⊂ R^d om den gäller överallt p˚a A med undantag för en nollmängd. Vi förkortar ofta ”nästan

¨overallt” med ”n.¨o.”.

(17)

3.4. Lebesgueintegralen 11

Sats 3.3.6. Om f ∈ F och R∗

|f| dx < ∞, s˚a är f ändlig n.ö. p˚a R^d.

Bevis. Vi sätter E = {x ∈ R^d : f (x) = ±∞} och skall visa att E är en nollmängd, d.v.s. attR∗

χ_Edx = 0. Men eftersom nχ_E ≤ |f| f¨or varje n > 0, ¨ar Z ∗

χ_Edx ≤ 1 n

Z ∗

|f| dx, och p˚ast˚aendet f¨oljer om vi l˚ater n → ∞.

Nästa sats ger ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en funktions ska vara en nollfunktion.

Sats 3.3.7. Om f ∈ F, ¨ar R∗

|f| dx = 0 om och endast om f = 0 n.¨o. p˚a R^d. Bevis. Antag f¨orst att R∗

|f| dx = 0. Eftersom m¨angden E = {x ∈ R^d : f (x) 6= 0}

är unionen av den nollmängd, där f inte är ändlig, och mängderna E_n= {x ∈ R^d : _n¹ ≤ |f(x)| < ∞}, n = 1, 2, ... ,

räcker det enligt sats 3.3.3 att visa att varje En är en nollmängd. Detta följer av

att Z ∗

χ_E_ndx ≤ n Z ∗

|f| dx = 0.

Antag omvänt att f = 0 n.ö. p˚a R^d, d.v.s. att E är en nollmängd. Eftersom

|f| ≤P∞

1 nχ_E, ¨ar d˚a

Z ∗

|f| dx ≤

∞

X

1

n Z

χEdx = 0.

3.4. Lebesgueintegralen

Vi ¨ar nu redo att definiera lebesgueintegrerbarhet och lebesgueintegralen.

Definition 3.4.1. En funktion f ∈ F kallas lebesgueintegrerbar eller bara integrerbar om det finns en f¨oljd (φn)^∞₁ ⊂ T s˚adan att

Z ∗

|f − φn| dx → 0 d˚a n → ∞.

Antag att f är integrerbar och att (φn)^∞₁ ⊂ T konvergerar mot f m.a.p. seminormen. Precis som för riemannintegralen följer det d˚a att (R φndx)^∞₁ en cauchyföljd och att gränsvärdet är oberoende av följden. Vi gör därför följande definition.

Definition 3.4.2. F¨or en integrerbar funktion f definieras integralenR f dx ge-

nom Z

f dx = lim

n→∞

Z

φ_ndx, där (φn)^∞₁ ⊂ T är n˚agon följd som konvergerar mot f .

(18)

12 Kapitel 3 Lebesgueintegralen

Man ser ocks˚a att att varje funktion φ ∈ T är integrerbar och att lebesgueintegralen av φ stämmer överens med riemannintegralen.

Exempel 3.4.3. I exempel 3.3.4 visade vi att Dirichlets funktion f p˚a [0, 1] inte

är riemannintegrerbar. Vi ska nu visa att funktionen är integrerbar i Lebesgues mening. L˚at (rn)^∞₁ vara en uppräkning av de rationella talen i [0, 1] och definiera φ_n = χ_{r₁_,...,r_n_}, n = 1, 2, ... . D˚a är varje φn en trappstegsfuktion. Vidare

¨ar |f − φⁿ| ≤P∞

n+1χ_{r_j_}, varf¨or Z ∗

|f − φⁿ| dx ≤

∞

X

n+1

Z

χ_{r_j_}dx = 0.

Detta visar att f ¨ar integrerbar och att R f dx = limn→∞R φndx = 0.

3.5. Rummet L

¹

(R

^d

)

Sats 3.5.1. Om f är integrerbar och g = f n.ö. p˚a R^d, är även g integrerbar och vidare R g dx = R f dx.

Bevis. Det räcker att visa att varje följd (φn)^∞₁ ⊂ T , som konvergerar mot f, även konvergerar mot g. Men eftersom g − f = 0 n.ö. är R∗

|g − f| dx = 0, s˚a Z ∗

|g − φn| dx ≤ Z ∗

|g − f| dx + Z ∗

|f − φn| dx = Z ∗

|f − φn| dx → 0 d˚a n → ∞.

Av sats 3.5.1 följer det att varken integrerbarheten hos en funktion f eller värdet p˚a integralenR f dx p˚averkas om f ändras p˚a en nollmängd. Av bl.a. det här skälet

är det naturligt att arbeta med funktioner som är definierade n.ö. p˚a R^d.

Om f är definierad utom p˚a en nollmängd E, säger man att f är integrerbar om den funktion, som man f˚ar genom att ge f n˚agot värde p˚a E (vilket spelar ingen roll), är integrerbar. Vi identifierar sedan alla integrerbara funktioner, som skiljer sig ˚at p˚a en nollmängd, och betecknar mängden av ekvivalensklasser med L¹(R^d) eller bara L¹. Man integrerar elementen genom att integrera n˚agon representant – vilken spelar ingen roll eftersom integralerna av tv˚a olika representanter har samma värde.

Vi kommer (n˚agot oegentligt) att skriva f ∈ L¹ om f är en n.ö. definierad, integrerbar funktion. Vi skriver vidare f ∈ L¹+ om f ∈ L¹ och f ≥ 0 n.ö.

3.6. Egenskaper hos lebesgueintegralen

Nästa sats sammanfattar n˚agra egenskaper hos lebesgueintegralen. Beviset för satsen är identiskt med motsvarande sats för riemannintegralen (se sats 2.2.1).

Sats 3.6.1.

(a) Om f, g ∈ L¹, ¨ar αf + βg ∈ L¹ och R (αf + βg) dx = α R f dx + β R g dx f¨or alla α, β ∈ R.

(19)

3.7. J¨amf¨orelse med riemannintegralen 13

(b) Om f ∈ L¹, är även|f| ∈ L¹ med R |f| dx = R^∗|f| dx. Vidare gäller triangel- olikheten:

R f dx

≤R |f| dx.

(c) Om f, g ∈ L¹ och f ≤ g, f¨oljer det att R f dx ≤ R g dx.

Lägg märke till att αf + βg är definierad n.ö. om f, g ∈ L¹. Av satsen följer att L¹

¨ar ett reellt vektorrum. Korollariet nedan visar att L¹ ocks˚a ¨ar ett lattice.

Korollarium 3.6.2. Om f, g ∈ L¹, g¨aller att f ∧ g, f ∨ g ∈ L¹.

Bevis. Eftersom f ∧ g = ¹₂(f + g − |f − g|) och f ∨ g = ¹₂(f + g + |f − g|) f¨oljer p˚ast˚aendet av sats 3.6.1.

3.7. J¨ amf¨ orelse med riemannintegralen

L˚at I vara ett slutet och begränsat intervall. En funktion f p˚a I kan utvidgas till R^d genom att man sätter f = 0 utanför I. Vi säger d˚a att f är integrerbar p˚a I om f χ_I ∈ L¹ och definierar R

If dx = R f χ_Idx. Vi l˚ater ocks˚a L¹(I) vara rummet av funktioner som ¨ar integrerbara p˚a I.

Sats 3.7.1. Varje riemannintegrerbar funktion f p˚a I ¨ar ocks˚a integrerbar p˚a I.

Vidare g¨aller att riemannintegralen av f ¨ar lika med integralen av f .

Enligt exempel 3.3.4 och 3.4.3 är omvändningen till satsen inte sann: det finns integrerbara funktioner som inte är riemannintegrerbara.

Bevis. L˚at (φn)^∞₁ ⊂ T (I) vara en f¨oljd s˚adan attR#

|f − φⁿ| dx → 0. Eftersom Z ∗

|fχ^I − φⁿ| dx ≤ Z #

|f − φⁿ| dx, f¨oljer d˚a att R∗

|fχÎ − φⁿ| dx → 0, s˚a f ∈ L¹(I). Den andra delen av satsen följer av att b˚ada integralerna definieras som gränsvärdet för följden (R φ_ndx)^∞₁ .

(20)

Kapitel 4

Konvergenssatser

I det här kapitlet bevisar vi tv˚a klassiska satser som handlar om omkastning mel- lan gränsvärde och integral (jämför med sats 2.2.2). Satserna är även sanna för riemannintegralen, men bevisen är d˚a sv˚arare.

4.1. Beppo Levis sats om monoton konvergens

Sats 4.1.1. Antag att (fn)^∞₁ ⊂ L¹ är en följd s˚adan att fn ↑ f n.ö. och vidare att sup_n≥1R f_ndx < ∞. D˚a är f ∈ L¹ och

Z

f dx = lim

n→∞

Z

fndx.

Bevis. Eftersom limn→∞fn(x) = f (x) nästan överallt, gäller det för varje n att f (x) − fn(x) =

∞

X

k=n

(f_k+1(x) − fk(x))

nästan överallt. Av sats 3.2.2 följer nu att Z ∗

|f − fn| dx ≤

∞

X

k=n

Z ∗

|fk+1− fk| dx =

∞

X

k=n

Z

f_k+1dx − Z

f_kdx

= lim

m→∞

Z

f_mdx − Z

f_ndx.

Vi l˚ater nu n → ∞ i denna olikhet och f˚ar att R∗

|f − fn| dx → 0, vilket visar att f ∈ L¹ (¨ovning 14.1.3). Till sist ser vi att limn→∞R f_ndx =R f dx:

Z

f dx − Z

f_ndx = Z

|f − fn| dx = Z ∗

|f − fn| dx → 0 d˚a n → ∞.

Anmärkning 4.1.2. Om (fn)^∞₁ är en följd integrerbara funktioner s˚adan att fn ↓ f nästan överallt och infn≥1R fndx > −∞, gäller samma slutsats som i sats 4.1.1.

Visa detta som ¨ovning!

Exempel 4.1.3. Vi vill beräkna gränsvärdet

n→∞lim Z π/2

0

sinⁿx dx.

F¨or n = 1, 2, ... , definierar vi fn(x) = sinⁿx, 0 ≤ x ≤ π/2. D˚a g¨aller att fn

konvergerar punktvis mot den funktion f som ges av f (x) =

0 om 0 ≤ x < π/2 1 om x = π/2 .

Konvergensen är inte likformig eftersom f inte är kontinuerlig, s˚a vi kan inte använda sats 2.2.2. Däremot är konvergensen monoton: fn avtar mot f p˚a [0, π/2].

14

(21)

4.2. Fatous lemma 15

Vidare g¨aller att Rπ/2

0 fndx ≥ 0 för varje n. Satsen om monoton konvergens ger därför att

n→∞lim Z π/2

0

f_n(x) dx = Z π/2

0

f (x) dx = 0.

4.2. Fatous lemma

Sats 4.2.1. L˚at (f_n)^∞₁ ⊂ L¹+ vara en f¨oljd s˚adan att lim inf_n→∞R f_ndx < ∞. D˚a g¨aller att funktionen lim infn→∞fn ∈ L¹ och

Z

lim inf

n→∞ fndx ≤ lim inf_n→∞

Z

fndx.

Bevis. S¨att till att b¨orja med g_m,n= min

n≤k≤mf_k och g_n = inf

k≥nf_k, m ≥ n ≥ 1.

D˚a g¨aller enligt korollarium 3.6.2 att gm,n∈ L¹f¨or varje m ≥ n, och vidare att gm,n

avtar mot gn, d.v.s. −g^m,n växer mot −gⁿ, d˚a m → ∞. Eftersom R (−gm,n) dx ≤ 0 för varje m ≥ n, ger därför satsen om monoton konvergens att gn ∈ L¹. D˚a vidare gn ≤ f^k för varje k ≥ n, följer nu att

sup

n≥1

Z

gndx ≤ sup

n≥1 k≥ninf

Z

fmdx = lim inf

m→∞

Z

fmdx < ∞.

Ytterligare en till¨ampning av sats 4.1.1 visar att lim infn→∞f_n = lim_n→∞g_n∈ L¹ och

Z

lim inf

n→∞ fndx = Z

n→∞lim gndx = lim

n→∞

Z

gndx ≤ lim inf_n→∞

Z

fndx.

4.3. Lebesgues sats om dominerad konvergens

Sats 4.3.1. Antag att (f_n)^∞₁ ⊂ L¹ är en följd s˚adan att f_n → f n.ö. Antag vidare att det finns en funktion g s˚adan att|fn| ≤ g n.ö. för varje n och R∗

g dx < ∞. D˚a

¨ar f ∈ L¹ och

Z

f dx = lim

n→∞

Z

f_ndx. (1)

Bevis. Vi kan utan inskränkning antaga att g ∈ L¹. Enligt överintegralens definition finns det nämligen en följd (φn)^∞₁ ⊂ T+ s˚adan att g ≤ h = P∞

1 φ_n n.¨o.

och P∞

1 R φndx < ∞. Satsen om monoton konvergens ger direkt att h ∈ L¹, och det ¨ar klart att |fn| ≤ h n.¨o.

Vi observerar sedan att för varje n är 0 ≤ g ± fⁿ ≤ 2g n.ö. Härav följer att Z

(g ± fⁿ) dx ≤ 2 Z

g dx

(22)

16 Kapitel 4 Konvergenssatser

för varje n. Fatous lemma ger därför att g ± f = limn→∞(g ± fn) ∈ L¹, och härav följer att f ∈ L¹, och vidare att

Z

g dx + Z

f dx ≤ lim inf_n→∞

Z

(g + f_n) dx = Z

g dx + lim inf

n→∞

Z

f_ndx respektive

Z

g dx − Z

f dx ≤ lim inf_n→∞

Z

(g − fn) dx = Z

g dx − lim sup

n→∞

Z

f_ndx.

Allts˚a ¨ar lim sup_n→∞R fndx ≤ R f dx ≤ lim infn→∞R fndx, vilket ger (1).

Exempel 4.3.2. Vi ska använda satsen om dominerad konvergens för att beräkna gränsvärdet

n→∞lim Z 1

0

xⁿ 2 − xⁿ dx.

L˚at därför fn(x), 0 ≤ x ≤ 1, beteckna integranden. Det är klart att fn(x) → 0 d˚a n → ∞ utom för x = 1 där gränsvärdet är 1. Vidare är |fn(x)| ≤ 1 för alla x och n. Satsen om dominerad konvergens ger därför att gränsvärdet är 0. Korollarium 4.3.3. Antag att (f_n)^∞₁ ⊂ L¹ och att P∞

1 R |fn| dx < ∞. D˚a kon- vergerar serien P∞

1 f_n(x) absolut f¨or n¨astan varje x ∈ R^d mot en funktion i L¹, och

Z ^∞

X

1

f_ndx =

∞

X

1

Z

f_ndx.

Bevis. S¨att FN = PN

1 |fn|, N = 1, 2, ... , och F =P∞

1 |fn|. Eftersom Z

F_N dx =

N

X

1

Z

|fn| dx ≤

∞

X

1

Z

|fn| dx < ∞

för varje N , visar satsen om monoton konvergens att F ∈ L¹. Härav följer enligt sats 3.3.6 att serien G = P∞

1 f_n är absolutkonvergent n.ö. Om nu GN =PN 1 f_n för N = 1, 2, ... , gäller att GN → G n.ö. och |GN| ≤ F för varje N. Satsen om dominerad konvergens ger därför att G ∈ L¹ och vidare att

Z

G dx = lim

N→∞

Z

GN dx =

∞

X

1

Z

fndx.

(23)

Kapitel 5

M¨ atbarhet och m˚ att

Att visa att en funktion är integrerbar direkt med hjälp av definitionen är ofta sv˚art eftersom man d˚a m˚aste konstruera en följd av trappstegsfunktioner som konvergerar mot funktionen med avseende p˚a överintegralen. Ett alternativ är att använda sats 5.1.3 nedan: man visar att funktionen är mätbar, vilket oftast är självklart, och till beloppet är mindre än en L¹-funktion, vilket innebär att man m˚aste kunna kontrollera funktionens storlek.

Mätbarhet är en form av regularitet som integrerbara funktioner har. Detta begrepp hänger intimt ihop med mätbarhet för mängder och problemet att beräkna en mängds m˚att (area, volym etc.).

5.1. M¨ atbara funktioner

Antag att f är definierad n.ö. p˚a R^d med värden i R. För en given funktion g ∈ L¹+

definierar vi trunkeringen Tgf = (−g) ∨ (g ∧ f). D˚a ¨ar allts˚a Tgf definerad utom p˚a en nollm¨angd av

T_gf (x) =







g(x) om f (x) > g(x)

f (x) om −g(x) ≤ f(x) ≤ g(x)

−g(x) om f(x) < −g(x)

.

Definition 5.1.1. Funktionen f säges vara mätbar om T_gf ∈ L¹för varje g ∈ L¹+. Anmärkning 5.1.2. Eftersom L¹ enligt korollarium 3.6.2 är ett lattice, gäller att varje integrerbar funktion är mätbar. Speciellt är varje trappstegsfunktion mätbar.

Dessutom ser vi att om man kan ändra en mätbar funktion p˚a en nollmängd utan att mätbarheten p˚averkas.

Följande sats är enkel att bevisa, men ofta användbar.

Sats 5.1.3. Om f är mätbar och |f| ≤ g ∈ L¹, gäller att f ∈ L¹. Bevis. Eftersom |f| ≤ g, är f = Tgf ∈ L¹.

Sats 5.1.4. En funktion f p˚a R^d är integrerbar om och endast om f är mätbar och R∗

|f| dx < ∞.

Bevis. Nödvändigheten av villkoret i satsen följer fr˚an anmärkning 5.1.2 ovan och (b) i sats 3.6.1. För att bevisa tillräckligheten väljer vi en följd (φn)^∞₁ ⊂ T⁺ s˚adan att φ_n(x) → ∞ för varje x ∈ R^d. D˚a gäller att Tφnf ∈ L¹ och T_φ_nf → f n.ö. Eftersom vidare |Tφnf | ≤ |f| ochR∗

|f| dx < ∞, ger nu satsen om dominerad konvergens att f ∈ L¹.

Nästa sats visar att mätbarhet bevaras vid gränsöverg˚ang.

Sats 5.1.5. Om (f_n)^∞₁ är en följd av mätbara funktioner och f_n → f n.ö., är

¨aven f m¨atbar.

17

(24)

18 Kapitel 5 M¨atbarhet och m˚att

Bevis. Om g ∈ L¹+, g¨aller att Tgf_n ∈ L¹och T_gf_n→ Tgf n.¨o. D˚a vidare |Tgf_n| ≤ g, ger satsen om dominerad konvergens att Tgf ∈ L¹.

Följande sats ger en ekvivalent karakterisering av mätbara funktioner, nämligen som punktvisa gränsvärden för följder av integrerbara funktioner.

Sats 5.1.6. En funktion f är mätbar om och endast om det finns en följd (f_n)^∞₁ ⊂ L¹ s˚adan att f_n → f n.ö.

Bevis. Tillräckligheten av villkoret i satsen följer fr˚an sats 5.1.5. För att bevisa nödvändigheten l˚ater vi (φn)^∞₁ vara en följd av trappstegsfunktioner som i beviset av sats 5.1.4 och sätter fn = T_φ_nf . D˚a gäller att fn∈ L¹ och f_n → f n.ö.

Korollarium 5.1.7. Varje kontinuerlig funktion p˚a R^d ¨ar m¨atbar.

Bevis. L˚at f : R^d → R vara kontinuerlig och sätt fn = χ_[−n,n]^df, n = 1, 2, ... . D˚a gäller att fn → f överallt och vidare enligt sats 3.7.1 att varje fn ∈ L¹. Enligt sats 5.1.6 är därför f mätbar.

5.2. Egenskaper hos m¨ atbara funktioner

Enligt nästa sats är satsen är mängden av mätbara funktioner, som är ändliga nästan överallt, (i) ett vektorrum, (ii) en algebra och (iii) ett lattice.

Sats 5.2.1. Antag att f och g är mätbara och ändliga nästan överallt. D˚a gäller följande:

(i) αf + βg är mätbar för alla α, β ∈ R;

(ii) f g ¨ar m¨atbar;

(iii) f ∨ g och f ∧ g ¨ar m¨atbara.

För beviset av (ii) behöver vi nästa lemma.

Lemma 5.2.2. Om f ∈ L¹ är begränsad, är f² ∈ L¹.

Bevis. F¨or ett givet ε > 0 finns en funktion φ ∈ T s˚adan att R∗

|f − φ| dx < ε.

Antag nu att |f| ≤ M och sätt ψ = sgn(φ)M p˚a de intervall där |φ| > M och ψ = φ för övrigt. D˚a gäller att |f −ψ| ≤ |f −φ| och |f²−ψ²| = |f +ψ||f −ψ| ≤ 2M|f −φ|.

Allts˚a g¨aller att Z ∗

|f²− ψ²| dx ≤ 2M Z ∗

|f − φ| dx < 2Mε, vilket visar att f² ∈ L¹.

Vi bevisar nu sats 5.2.1; beviset av (iii) l¨amnas som ¨ovning.

Bevis (sats 5.2.1).

(i) Enligt den ena riktningen i sats 5.1.6 finns det följder (fn)^∞₁ och (gn)^∞₁ av L¹-funktioner s˚adana att f_n → f n.ö. och gn → g n.ö. D˚a är αfn+ βg_n∈ L¹ och vidare gäller att αfn+ βgn → αf + βg n.ö. P˚ast˚aendet följer därför av den andra riktningen i sats 5.1.6.

(25)

5.3. M¨atbara m¨angder 19

(ii) Eftersom f g = ¹₄((f + g)²− (f − g)²), räcker det att visa att kvadraten p˚a en mätbar funktion f är mätbar. Enligt beviset av sats 5.1.6 finns det en följd av begränsade funktioner fn ∈ L¹ s˚adan att f_n → f n.ö. Lemma 5.2.2 ger nu att varje f_n² ∈ L¹. Härav följer att f² är mätbar eftersom f_n² → f² n.ö.

Korollarium 5.2.3. Om f ∈ L¹ och g är begränsad och mätbar, är f g ∈ L¹. Bevis. Enligt (ii) i sats 5.2.1 är f g mätbar. Om vidare |g| ≤ M, är |fg| ≤ M|f| ∈ L¹. P˚ast˚aendet följer därför fr˚an sats 5.1.3.

5.3. M¨ atbara m¨ angder

Definition 5.3.1. Antag att E ⊂ R^d. Vi säger att (i) E är mätbar om χ_E är mätbar;

(ii) E ¨ar integrerbar om χE ¨ar integrerbar.

Klassen av m¨atbara m¨angder betecknas M.

Exempel 5.3.2.

(a) Eftersom funktionen f (x) = 1, x ∈ R^d, är mätbar (den är kontinuerlig), är mängden R^d mätbar.

(b) Funktionen f (x) = 0, x ∈ R^d, ¨ar m¨atbar, s˚a

∅

_¨ar m¨atbar.

(c) Om I är ett intervall, är χI ∈ L¹, s˚a I är integrerbart.

5.4. Egenskaper hos och exempel p˚ a m¨ atbara m¨ angder

Av nästa sats visar att klassen av mätbara mängder är sluten under de vanliga mängdoperationerna.

Sats 5.4.1. Klassen M ¨ar en σ-algebra:

(i) om E1, E2 ∈ M, ¨ar E¹∪ E² ∈ M;

(ii) om E ∈ M, ¨ar E^c ∈ M;

(iii) om E₁, E₂, ... ∈ M, ¨ar S∞

1 E_n ∈ M.

Bevis.

(i) P˚ast˚aendet följer fr˚an (iii) i sats 5.2.1 om vi använder att χE1∪E2 = χ_E₁∨χE1. (ii) Använd att χE^c = χR^d − χE.

(iii) L˚at E = S∞

1 E_n ∈ M. Det ¨ar klart att χE = lim_N→∞(χ_E₁ ∨ ... ∨ χEN)

¨

overallt. Sats 5.1.5 ger nu p˚ast˚aendet.

Exempel 5.4.2.

(26)

20 Kapitel 5 M¨atbarhet och m˚att

(a) Om E₁, E₂ ∈ M, g¨aller att E1∩ E2 = ((E₁)^c∪ (E2)^c)^c ∈ M.

(b) Om E₁, E₂ ∈ M, g¨aller ocks˚a att E₁rE₂ = E₁∩ E2^c ∈ M.

(c) Om E₁, E₂, ... ∈ M, ¨ar T∞

1 E_n = (S∞

1 E_n^c)^c ∈ M.

Exempel 5.4.3. L˚at C = [0, 1] r ((¹₃,²₃) ∪ (¹₉,²₉) ∪ (⁷₉,⁸₉) ∪ ...) vara den vanliga cantormängden. Enligt (b) i exempel 5.4.2 och (iii) i sats 5.4.1 är C mätbar. Sats 5.4.4. Varje öppen delmängd till R^d är mätbar.

Bevis. L˚at G ⊂ R^d vara öppen. För varje x ∈ G finns det ett öppet klot B med centrum i x och radie r > 0 s˚adant att B ⊂ G. Det finns ocks˚a en kub I = I(x) med centrum i en punkt i Q^d och rationell sida s˚adan att x ∈ I ⊂ G. Härav följer att G =S

x∈GI(x). Men den sista unionen är numrerbar och därför mätbar enligt (iii) i sats 5.4.1 eftersom varje kub är mätbar.

Anmärkning 5.4.5. Av sats 5.4.4 och (ii) i sats 5.4.1 följer det att varje sluten mängd och speciellt varje kompakt mängd är mätbar.

5.5. Mer om m¨ atbarhet f¨ or funktioner

I nästa sats visar vi att v˚ar definition av mätbarhet för funktioner stämmer överens med den som oftast brukar användas i m˚atteori.

Sats 5.5.1. En funktion f p˚a R^d ¨ar m¨atbar om och endast om {x ∈ R^d : f (x) > a}

är mätbar för varje a ∈ R.

Bevis. Vi antar först att f är mätbar och visar att E = {x : f(x) > a} är mätbar för varje a ∈ R. Eftersom E = {x : f(x) − a > 0} och funktionen f − a är mätbar, räcker det att betrakat fallet a = 0. Sätt fn = (nf⁺) ∧ 1 för n = 1, 2, ... , där f⁺ = f ∨ 0 är den positiva delen av f. D˚a är varje fn mätbar enligt (iii) i sats 5.2.1. D˚a vidare fn→ χÊ, följer det av sats 5.1.5 att χE är mätbar.

Antag nu att varje mängd {x : f(x) > a} är mätbar. Härav följer att de tv˚a mängderna

E∞ =

∞

\

1

{x : f(x) > n} och E^−∞ =

∞

\

1

{x : f(x) ≤ −n}

är mätbara; i det senare fallet använder vi att {x : f(x) ≤ −n} = {x : f(x) > −n}^c. Vidare är varje mängd E_k⁽ⁿ⁾ = {x : ^k_n < f (x) ≤ ^k+1_n }, där k ∈ Z och n ∈ Z+, mätbar. Vi sätter nu fn =P∞

k=−∞ k nχ_E⁽ⁿ⁾

k , d.v.s. f_n(x) = ^k_n om _n^k < f (x) ≤ ^k+1_n . Enligt sats 5.1.5 är det klart att varje fn är mätbar. Om vi kan visa att

f (x) = lim

n→∞f_n(x) + ∞(χE^∞(x) − χE^−∞(x)) f¨or varje x ∈ R^d,

följer det därför att f är mätbar. Detta är klart om f (x) = ±∞, s˚a antag att f (x)

är ändlig. För ett givet tal ε > 0 väljer vi N s˚a stort att N ε > 1. Om n ≥ N och och ^k_n < f (x) ≤ ^k+1_n för n˚agot k, följer det att 0 < f (x) − fⁿ(x) ≤ _n¹ < ε.

Med hj¨alp av denna sats f˚ar vi ett nytt bevis f¨or sats 5.1.7.

Exempel 5.5.2. Om f är kontinuerlig, är mängden {x ∈ R^d : f (x) > a} öppen och därmed enligt sats 5.4.4 mätbar för varje a ∈ R. Allts˚a är f mätbar.