Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨ or matematik Linj¨ ar analys, 7.5hp.

Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨ or matematik Linj¨ ar analys, 7.5hp.

Mikael Stenlund 5:e november 2007. Tid: 5h.

Hj¨ alpmedel: Beta, mathematics handbook.

L¨ osningar skall presenteras p˚ a ett s˚ adant s¨ att att r¨ akningar och resonemang blir l¨ atta att f¨ olja. M¨ ark varje l¨ osningsblad med namn och personnummer.

1. F¨ oljande ekvation beskriver hur laddningen q som funktion av tiden beter sig i en RLC- krets, insignalen till kretsen ¨ ar en cosinus signal E 0 cos(5t).

d ² q dt ² + R

L dq dt + 1

LC q = E 0 cos (5 t)

L , q(0) = 0, dq

dt (0) = 1

L˚ at R = 6[Ω], L = 1[H], och C = ₂₅ ¹ [F ]. Best¨ am q(t) med hj¨ alp av enkelsidig Laplace-

transform. (5p)

2. a) Visa att f¨ oljande summa ¨ ar konvergent

∞ n=2

1 n ² − n ,

och ber¨ akna summans exakta v¨ arde. Tips: Skriv f¨ orst om _n

¹ −n p˚ a ett l¨ ampligare s¨ att.

Ber¨ akna sedan en partial summa med ¨ ovre summations index N och f¨ ors¨ ok lista ut v¨ ardet

av partialsumman d˚ a N → ∞. (3p)

b) F¨ oljande potensserie ¨ ar konvergent geometrisk serie d˚ a |x| < 1.

∞ n=0

x ⁿ . Visa med hj¨ alp

av termvis derivering av den geometriska serien att f¨ oljande serie ¨ ar konvergent

∞ n=1

n 2 ^{n −1} .

(2p) 3. Best¨ am med hj¨ alp av dubbelsidig Laplace transform en begr¨ ansad l¨ osning till

y ^ + y ^ − 2y = δ ^ (t − 2).

H¨ ogerledet ¨ ar distributionsderivatan av Diracs delta funktion taget i punkten t − 2. Tips:

Anv¨ and r¨ akneregler f¨ or Laplacetransformer. (5p)

4. En fyrkantv˚ ag matas in i en elektrisk krets och vi ¨ ar intresserad av utsignalen y dvs. s¨ ok en allm¨ an l¨ osning till f¨ oljande differentialekvation mha. Fourierserier.

y ^ + 4y = f (t), f (t) =



1, t ∈ [0, 2π], 0, t ∈ [−2π, 0),

(5p) 5. En triangel har h¨ orn i punkterna (1, 0, 0) (0, 1, 0), (0, 0, 1). En sl¨ at yta S har begr¨ ansnings- kurva samma som triangelns kanter. Ber¨ akna fl¨ odet av rot(F ) genom S d¨ ar F = (z ² , x ² , y ² ).

rot st˚ ar f¨ or rotationen. (5p)

6. L¨ os ett och endast ett av f¨ oljande problem A, B eller C.

A Visa med hj¨ alp av definitionen av distributions derivata att distributionsderivatan av cos(t)H(t) ¨ ar lika med δ(t) − sin(t)H(t) d¨ar δ ¨ar Diracs delta funktion och H ¨ar

Heavisidefunktionen. (5p)

B H¨ arled faltnings formeln vid enkelsidig Laplace transform. (5p) C H¨ arled f¨ oljande r¨ akneregler f¨ or Fouriertransformen. F st˚ar f¨or Fouriertransformen.

a) F(f ^ (t))(w) = iw F(f(t))(w) (2p)

b) F(tf(t))(w) = i _dw ^d F(f(t))(w) (2p)

c) F(e ^−at H(t))(w) = _a+iw ¹ , a > 0 (1p)