( ) ( ) 1. ω ω. π π 3π. = förkorta och sätt in uttrycket för v(t): sin. 4 2 För dessa ωt gäller att U(t)=K(t) π

8SSJLIW

En partikel bunden till en fjäder utför, utan friktion, en enkel harmonisk svängningsrörelse.

Man vet att svängningens period är 4 s och fasen sätts till 0 vid t=0. Hur lång tid tar det från det att svängningen startat tills att det 2:a gången inträffar att partikelns kinetiska energi är lika med dess potentiella energi?

(4p)

6|NW: Tiden t till dess att potentiella energin= kinetiska energin, U(t)=K(t) för andra gången

/|VQLQJFör en harmonisk svängning gäller allmänt:

x(t)=x_mcos (ωt+φ);

Enligt texten är ωt+φ=0 då t=0 ^Æ φ=0.

Vidare är T=4s dvs ω=2πf=2π/T=π/2 s^-1

K(t)= ²

2 ) 1

(

.

=

GW W G[

Y

^{( )} = = −

ω ^sin ω

Vi vet att för en harmonisk svängning gäller att U(t)=0 då K(t)=Kmax samt att den totala energin E _tot =U(t)+K(t)

Alltså: Då U(t)=K(t) är _max

1 2 ) ( )

(

8

= =

När inträffar då detta?

Jo då : ² _{max max}²

1 2 1 2 1 2

1 2

=

=

( ) ( )

0,1,2...

2 ; 4

2 sin 1

1 2 2 sin

sin

1

= +

=

⇔

±

=

⇔

=

⇔

=

−

Q Q W

W W

[ W

[_{P P}

π ω π

ω ω

ω ω

ω

För dessa ωt gäller att U(t)=K(t) 1:a gången;

1

4 ω

= π

2:a gången;

s

2 s 3 2 4 3 4 3 2

4

2

= + ⇒ = = ⋅ =

π π ω π π

ω

π

69$5: U(t)=K(t) för andra gången efter 1,5 s.

8SSJLIW

Två ljudkällor,  och , som sänder i fas med varandra och med samma frekvens och våglängd är placerade på en rät linje med avståndet G ifrån varandra.

I punkten 3, på avståndet G från källa 2 fås en sammanlagd amplitud D
på grund av interferensen mellan vågorna från 1 och 2. I punkten 3 vet vi att amplituden för vågen från källa 1 är lika med D och från källa 2 är den dubbelt så stor. Vågtalet N SO SP



och G P.

a) Skriv upp matematiska uttryck för de båda vågorna i punkten 3. (2p)

b) Beräkna D
uttryckt i D i punkten 3. (2p)

(ledning; IDVYHNWRUHU)

/|VQLQJ

a)

( )

( )

 

 



⋅

= +

−

=

⋅

= +

−

=

λ π φ

φ ω

λ π φ

φ ω

3 2 1

; sin

2

3 2 4

; sin

2 2 2

1 1 1

W G N[

[

W G N[

D [

b) Fasvektorer:

Cosinussatsen ger:

( )

 

 

 

 

  ⋅ +

 =

 

 



 



 − ⋅

−

=

=

−

−

⋅

− +

=

λ π λ π

π

φ φ π

2 cos 4 5 2

cos 4 5

)) (

cos(

2 2 2

2 2

2 1 2 2

2 2

D G D G

D D

D D_WRW

Våglängden λ fås från vågtalet k = 2π/λ = π/9 m^-1Æ λ= 18 m och avståndet d är givet 3 m

Dvs:

2 1 cos 3

2

cos  = =



 

  ⋅ π π λ

G och atot blir då: D_WRW²

= 7

⇔

= 7

69$5b) D_WRW

= 7

X

d/3

1 2 P

a

φ1

φ2

2a

a_tot

8SSJLIW

En ljudkälla sitter på ett rörligt föremål som rör sig med konstant fart förbi en stillastående observatör. För att observatören ska registrera samma frekvens före som efter passagen måste ljudkällans frekvens efter passagen vara dubbelt så stor som före passagen.

Beräkna kvoten v/c där v är föremålets hastighet och c är ljudhastigheten i luft. (4p)

6|NW kvoten v/c för att observatören ska höra samma frekvens hela tiden

/|VQLQJ

Vi har:

 

 



= +

= −

(2)

’

’

(1)

’

Y F I F I

Y F I F I

(1)=(2) ger:

1 3 2

2 1 1

2 1

1

2 ⇔ + = − ⇔ =

= +

⇔ −

= +

−

F Y F

Y Y F

IF Y

F IF

69$5 Kvoten v/c är 1/3

v obs.

v f

f’

2f f’’

8SSJLIW

Diffraktionsmönstret från en enkelspalt med bredden d=d1 uppfångas på en skärm på

avståndet L från spalten. Avståndet från centralmaximum till 1:a sidominimum på skärmen är x=x₁.

Hur många procent ändras x1 om d minskas med 1/3? (Ange ökning eller minskning!) (4p)

)LJXU

6|NW

% 100

1 1

2

− ⋅

[ [

[ där x₂ är den nya positionen för sidomin då d ändras från d₁ till d₂=2/3d₁

/|VQLQJ: För en enkelspalt med spaltbredd d gäller:

λ θ

G

sin =

G

θ = λ sin

Antag att L>>x som vid alla diffraktionsexperiment med ljus.

Då är sinθ ^§tanθ=x/L dvs

G [

_≈

λ

Fall 1:

1

1 G

[

₌

λ

Fall 2:

2 3

1 2

2

= = ⋅

G / G

[ /

λ λ

6YDU x ökar med 50%

d

θ X I_m

% 50

% 100 2 1

% 3 100 1

% 100

1 2 1

1

2

 =



 

  −

 =



 



 −

=

− ⋅

⇒

[ [ [

[ [

8SSJLIW

I en reklamfolder för sk Polaroidglasögon kan man läsa att glasögonen eliminerar reflexer från instrumentbrädan i vindrutan då man kör bil och att man bättre kan se fiskar i vattnet när man fiskar.

a) Vilken polarisationsriktning det ljus har som släpps igenom glasögonen, dvs i vilket plan oscillerar det elektriska fältet? 6YDUHWPnVWHPRWLYHUDV (2p) b) Vid vilken solhöjd (i grader över horizonten) fungerar Polaroidglasögon bäst för att eliminera solreflexer från vattenytan då man seglar en solig dag? (2p)

/|VQLQJ

a)

Eftersom det reflekterade ljuset till större delen består av s-polariserat ljus (ljus polariserat med E-fältets svängningar vinkelrätt mot reflektionssplanet blir effekten störst om detta ljus filtreras bort och det p-polariserade ljuset (med svängningar parallellt med reflektionsplanet) släpps igenom. I båda exemplen är reflektionsplanet vertikalt! Altså måste

polarisationsriktningen vara vertikal.

b)

Det reflekterade solljuset från en vattenyta är helt s-polariserat vid Brewstervinkeln som ges av:

1 1 2

tan

Q Q

%

=

θ

Alltså:

=

= 53 °

1 33 , tan

1 θ

6YDU a) Polarisationsriktningen måste vara vertikal.

b) Solen ska stå 53° över horizonten

8SSJLIW

En isolerad cylindrisk kopparstång av längden 1 m och tvärsnittsarea 5 cm² hålls kyld till 0 °C med issörja i ena änden och värmd till 100 °C med kokande vatten i andra änden.

a) Hur stor HIIHNW värme leder stången från den varma till den kalla delen? (2p) b) Hur mycket is smälter per sekund i den kalla änden? (2p)

/|VQLQJ

a) Den överförda effekten Pcond ges av

/ N$ 7 3_FRQG

= ∆

k = värmekonduktiviteten för Cu = 401W/mK A=tvärsnittsarean=5·10^-4 m²

∆T=temperaturskillnaden=100 ° L=stavens längd=1 m

Insatta siffror ger Pcond=20 W

b) Smältvärmet för is = 333 kJ/kg anger den värmemängd som åtgår för att smälta en viss massa is.

[ ]

I FRQG FRQG I

FRQG FRQG

I VP

/ 3 W P

W 3 P/

W 3 4

P/

4

=

⇔

=

⇒

 ⇒

 

=

=

då blir het per tidsen is

smält massa

lika sätt

Insatta siffror ger att 60 mg is smälter varje sekund SVAR: a) Det leds över 20 W

b) 60 mg is smälter varje sekund

8SSJLIW

Luftmolekylernas svängningar vid ljudutbredning skapar ju lokala tryckökningar och tryckminskningar då ljudvågen går fram. Denna process är adiabatisk.

a) Härled först sambandet mellan kompressionsmodul, B, och tryck i detta fall;

S

G9 9 GS

%

= − = γ

b) Visa med hjälp av ekvation (*) att ljudets utbredningshastighet, ν, ges av;

0 57

%

γ

ν = ρ =

c) Densiteten för luft mättes upp till 1.29 kg/m³ vid temperaturen 0,000 °C och vid trycket 1,00 atm.

Bestäm ett experimentellt värde på γ. (1p)

/g61,1*

a)

( )

9 9 NRQVW 9

9 NRQVW 9

9 NRQVW S

NRQVW 9

S S G9 9 G

% ^γ _γ

= − − γ ⋅ ⋅

= γ

= γ

 

  ⋅ = ⇒ =

=

−

=

b)

[ ] [ ]

0 Q 57

0 P 9

P Q57 9 S

Y %

γ γ

ρ γ

ρ ^{= = = = =} _ ^{ =} _ ^{ =}

= 1

gasl.

allm.

adiab.

c) (*) insatt i (**) ger

S Y Y S

ρ

ρ γ

γ _{⇔ =}

=

Physics handbook ger v=332 m/s vid 0 °C, detta insatt med övriga värden ger γ=1.407

69$5F γ=1.407

8SSJLIW

En Carnotmaskin fungerar som bekant enligt följande termodynamiska cykel:

a→b: Arbetsgasen absorberar värme |QH| vid konstant temperatur TH från en värmereservoir.

b→c: Arbetsgasen expanderar adiabatiskt.

c→d: Arbetsgasen avger värme |QL| konstant temperatur TL till en annan värmereservoir.

d→a: Arbetsgasen komprimeras adiabatiskt.

a) Rita kretsprocessen i ett Tryck-Volyms-diagram. (1p)

b) Rita kretsprocessen i ett Entropi-Temperatur-diagram och förklara varför varje delprocess

blir som den blir i detta diagram. (3p)

/g61,1*

D

b) T

S a

c b

d p

V Isoterm T=TH

Isoterm T=TL

×

× ×

×

a

c d b

T_H

TL

Vid adiabatiska processer sker inget värmeutbyte och därför blir entropiändringen = 0 vilket ger vertikala vägar i T-S diagrammet

Vid isotermiska processer är temperaturen konstant vilket ger horisontella vägar i T-S diagrammet. a och b måste ligga på den övre av dessa vägar och entropin ökar då vi går från a till b eftersom värme tillförs systemet.

Detta ger diagrammet till höger

8SSJLIW

Luften omkring oss utgörs till största delen av kvävgas, N2. Låt oss studera ren kvävgas vid normalt lufttryck (1.00 atm) och temperaturen 20 °C. Anta vidare att gasen är ideal och att kvävemolekylens diameter är 0.32 nm. En mol kvävgas väger 28.0 g.

a) Hur många kvävemolekyler innehåller 1.0 cm³ gas vid dessa förhållanden? (1) b) Hur långt färdas en kvävemolekyl i medeltal mellan kollisionerna med de andra

kvävemolekylerna? (1)

c) Vilken medelhastighet, vrms, har kvävemolekylerna? (1) d) Hur stor är den inre energin för 1.0 cm³ av gasen? (1)

/|VQLQJ

p=1 atm=1.01⋅10⁵ Pa V= 1.0 cm³ = 1.0⋅10^-6 m³ R= 8.31 J/molK

T=20 °C= 293 K

a) Allmänna gaslagen:

57 Q S9 Q57

S9

= ⇔ =

Siffror insatta ger N=2,5⋅10¹⁹ molekyler b) Fria medelväglängden ges av:

9 G21

2 1 λ = π

Med siffrorna insatta blir det λ=8.8⋅10^-8 m = 88 nm

c) Medelhastigheten ges av

0

Y_UPV

= 3

med siffrorna insatta blir det vrms=510 m/s d) Den inre energin ges av (_int

=

n fås ur allmänna gaslagen (se a-uppg.), CV=5/2R ty kväve är tvåatomig

Detta sammantaget ger 57 S9

57 ( S9

2 5 2

5

int

= ⋅ =

Med siffror insatta får vi: E_int=0,25 J

SVAR: a) N=2,5⋅10¹⁹ molekyler, b) λ=88 nm, c) vrms=510 m/s, d) Eint=0,25 J

8SSJLIW

Ett frysskåp med måtten 60 cm x 50 cm x 120 cm (bredd x djup x höjd) har dörr och väggar konstruerade av ett 2.5 cm tjockt isolerande material med termiska ledningsförmågan k=0.025 W/mK. Temperaturen inne i frysen måste hållas konstant på –18 ºC och

temperaturen i köket där frysen står håller 22 ºC. Kylmaskinens köldfaktor är 40% av den ideala och maskinen drivs av en elmotor med verkningsgraden 60%.

a) Hur mycket värme läcker in i skåpet per sekund? (1p)

b) Hur mycket elenergi drar frysskåpet per dygn? (2p)

c) Vilken är minsta möjliga effekt på elmotorn? (1p)

/|VQLQJ

k=0.025 W/mK TL=-18 °C = 255 K T_H=22 °C= 295 K d=0.025 m

a) Inläckande effekt ges av värmeledningsekvationen:

W 7 N$7

W

3

=

=

−

där väggarnas area är A=2×(h×b+h×d+b×d) (tjocklecken försummas här) Numeriskt blir A=2×(1,2×0,6+1,2×0,5+0,6×0,5)=3,24 m²

med siffrorna insatta blir P=130 W

(Här blir det ett lägre värde om man räknat bort väggarnas tjocklek vid areaberäkningen.) b) Diagrammet visar energiflödet:

TH

T_L Q_H

Q_L W

El-

motor El-energi, Eel

Köldfaktorn:

/ +

/ LGHDO

/

7 7 . 7

: . 4

⋅ −

=

⋅

=

= 0 , 4 0 , 4

Nödvändigt arbete

/ / +

/ 7

7 4 7

:

= −

4 , 0

1

Nödvändig elenergi

ε

(_HO

=

Kombinera de två sista ekvationerna :

/ / + /

HO 7

7 7

( 4

−

= ⋅ ε 4 , 0

På ett dygn (86 400 s) blir QC=86400s × 130 J/s = 11,2 MJ detta insatt i senaste ekvationen blir med övriga siffror:

E_el=7,32 MJ

c) Minst möjlia effekt fås genom att dividera elenergin med antalet sekunder på ett dygn

W

3_HO

=

SVAR: a) P=130 W, b) Eel=7,32 MJ, c) Pel = 85W