TENTAMEN TEN1, Matematik HF1700 Datum 24 sep 2019, Tid: 13 - 17 Kurs:

TENTAMEN TEN1, Matematik HF1700 Datum 24 sep 2019, Tid: 13 - 17 Kurs: Matematik, HF1700

Moment: TEN1 (Matematik), 4 hp, skriftlig tentamen Program: Byggproduktion

Lärare: Erik Melander,

Jourhavande lärare: Erik Melander Examinator: Armin Halilovic

Betyg: E=9-11 poäng; D=12-14 poäng; C=15-16 poäng; B=17-18 poäng; A=19-20 poäng För betyget Fx (komplettering) krävs 8 poäng.

Hjälpmedel på tentamen: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ som helst.

Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.

--- Skriv endast på en sida av papperet.

Skriv namn och personnummer på varje blad.

Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

Student får inte behålla tentamenslydelsen eller skriv- och kladdpapper som använts under tentamen.

--- Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga och lätta att följa.

Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras.

---

1) Lös ekvationen (2p)

7 cos(5x5 ) 4^  0 ange svaret i hela grader

Lösning:

Skriver om ekvationen till

cos(5x5 )^ 4 / 7 vilket ger oss att

5x  5^ cos (4 / 7)^1 k360^  55^k360^ och löser vi ut x får vi tillslut

1 11 72

x ^{ }k ^ för k godtyckligt heltal.

Svar: ^{x12k72}, ^{x 10k72}

Rättningsmall: En lösning +1p, Samtliga lösningar +1p.

Sida 2 av 5 

2) Lös ekvationerna

a ln(4 )x ln(2)2 ln(4) 1p

b 7 4 ^2x5 1p

Lösning:

a) Skriver om ekvationen till ln(4 / 2)x ln(4 )² Vilket ger oss att 4 / 2x 4²så x8

b Skriver om ekvationen till 4^2x 5 / 7 och logaritmerar båda leden, så vi får

ln(4 )2^x ln(5 / 7) vilket vi kan skriva om till 2 ln(4)x ln(5 / 7) och löser vi ut x nu får vi att ln(5 / 7)

2 ln(4) 0,12

x  

Rättningsmall: Rätt svar beräknat på korrekt sätt 1p per deluppgift.

3) Använd derivatans definition för att bestämma f (1) om f x( )x² . x (2p) Lösning:

Vi har från derivatans definition att

0

(1 ) (1) (1) lim

h

f h f

f ^ h

      

Vi börjar med att skriva om kvoten i högerledet 

2 2 2

(1 ) (1) (1 ) (1 ) (1 1)

f h f h h h h 1

h h h h

              

vilket ger oss att 

0 0

(1 ) (1)

(1) lim lim(1 ) 1

h h

f h f

f h

 h 

 

      

Rättningsmall: Korrekt kvot och insättning i funktionsuttrycket +1p. Resten korrekt +1p.

4) Låt f x^{( )}0.5 7 sin 6





a) Ange amplitud och period för funktionen. (2p) b) Ange funktionens eventuella förskjutning. (1p) Lösning:

a) Amplituden är 7 och perioden 360 6 ^ 60^ b) Förskjutning 0,5 uppåt och 180

6^ 30^ åt höger.

Rättningsmall: a) +1p per korrekt svar. b) allt korrekt +1p Var god vänd.

5) Lisa med kunn där h i ög Lösn En s

Där Vi v Tan

v

Om vilk Rätt vink

6) Deri

a vill beräkn d en Jakobss na mäta vin hon stod. M onhöjd, vilk ning:

skiss över si

sträckan A vet att BD=

ngens i den u

1 1, 62 tan 7, 62

 



h är pelaren ket vi kan fö

tningsmall:

klarna i trian

ivera funkti a) (f b) (g c) ^h



na längden a stav (ett inst nkeln 60,0°

Märket mäts ket för henn

ituationen:

AB är pelaren 1,62, CD=7 undre triang

2 12

2 

 vil

ns längd ge örenkla till a Korrekt upp ngeln +1p. K

ionerna ( )x sin(x2

( )x x7/ 4l



t  e^ 

av en hög p trument för mellan bott till 7,62 me ne är 1,62 m

n och C är v 7,62 och för geln ger oss lket ger oss

r oss tangen att 1, 62h  pställt prob Korrekt sva

) 2 ln(2 )x

e4 t

pelare. Hon r att mäta vi ten och topp eter från pel meter över m

var Lisa mä r vinklarna s att tan( )v  att u60^

ns i den övr 7, 62 tan(u



blem +1p. K ar +1p.

ställer sig v inklar på av pen av pelar

laren och ho marken. Hur

äter ifrån.

så gäller att 1, 62 7, 62

 så v

48

 v ^.

re triangeln ) 1, 62 7

u  

Korrekt beräk

vid pelaren o stånd). När ren gör hon on vet att ho r lång är pel

60 u v ^ vi har att

oss nu att t , 62 tan(48 )^ knat en av d

och börjar g hon tycker ett märke i on måttade laren?

(3

.

tan( ) 7 u h

 )10, 08m de okända

(3

gå bortåt sig marken vinkeln p)

1, 62 7, 62



meter.

p)

Sida 4 av 5  Lösning:

a) f x'( )2 cos(x x²) b) '( ) ^{7 3/ 4 1}

g x 4x

 x c) h t'( ) 35e^5t1

Rättningsmall: +1p per korrekt deluppgift.

7) Givet en cirkel med radie på 12 cm.

a) Vilken medelpunktsvinkel bildas om man i cirkeln markerar en cirkelsektor med arean 75 cm²?

b) Hur lång kommer den tillhörande cirkelbågen vara?

(2p)

Lösning:

a) Cirkelns totala area är 12² 144 så cirkelsektorn är ⁷⁵ 0, 21

144 ^ av cirkeln.

Vinkeln kommer bli 2 0, 21 1, 32 (eller 75^)

b) Cirkelbågens längd b kommer vara bvr1, 32 12 15,84 cm.

Rättningsmall: +1p per korrekt svar och deluppgift.

8) Vattendjupet h (i meter) i en hamn varierar under en dag enligt formeln

 

12 3 h t    t 

där t är antal timmar efter midnatt.

a) Beräkna och tolka 13 (1p)

b) För att vara på den säkra sidan kräver ett visst lastfartyg ett vattendjup på

minst 14 meter. När kan ett sådant lastfartyg använda hamnen? (2p) Lösning:

a) Vi har

( ) 2, 6 cos

12 12 3

h t   t  

  så

2, 6 13

(13) cos 0,18

12 12 3

h       

  m/h

Så klockan ett sjunker vattnet med en hastighet av 0,18 meter per timme.

b) Vi löser ekvationen ^{h t( ) 14} och från det analyserar vilka tider som är rimliga.

Vi har

14, 7 2, 6 sin 14 12 3

t 

 

     vilket vi kan skriva om till ekvationen

sin 7

12 3 26

t 

   

 

 

och vi har att sin ^{1 7} 0, 2726 26

   

  så denna ekvation ger oss att

0, 2726 2 12 3

t k

^      eller





12 3

t k k

^          

Löser vi båda dessa för t får vi att

12 0, 2726 24 5, 0 24

t 3 k k



 

       eller

12 3, 4142 24 9, 0 24

t 3 k k



 

     

Så de lösningar som gäller för 0 t 24 av dessa är t=9 och t=19 Test ger att h(t)<14 för tider mellan 9 och 19 och tvärt om annars.

Vilket ger oss svaret: Mellan sju på kvällen och nio på morgonen.

Rättningsmall: a) Allt korrekt +1p. b) korrekt uppställd ekvation +1p, korrekt svar +1p