Tentamen i Matematisk analys, HF1905

(1)

Sida 1 av 8

Tentamen i Matematisk analys, HF1905

Examinator: Armin Halilovic

Jourhavande lärare: Armin Halilovic Datum: 19 aug 2020

Ordinarie skrivtid: 8:00-12:00 (+ 15 min för uppladdning av lösningar) Extra skrivtid 8:00-14: 00 (+ 15 min för uppladdning av lösningar )

Endast de som är synliga i Zoom under hela tentamen har rätt att lämna in lösningar.

Använd papper och penna för att lösa dina uppgifter.

Du laddar upp dina uppgifter i

https://kth.instructure.com/courses/24186/assignments

i en av undermappar (ordinarie tid eller extra tid för funka studenter) : TEN1_HF1905_ordinarie_tid (stängs 12:15)

TEN1_HF1905_extra tid _FUNKA stängs( 14:15) Format: PDF, JPG, JPEG, HEIC eller PNG filer är OK,

men vi föredrar PDF-format och gärna alla uppgifter i EN pdf-fil.

Viktigt: Filernas namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd EFTERNAMN_NAMN_sida1,2…… som namn på alla filer som du laddar upp.

Du behöver INTE komprimera filer. (Men, om du laddar upp en mapp då måste du komprimera mappen innan uppladdning.)

Om du är färdig tidigare, meddelar du genom chat i Zoom, till tentavakten, att du fotar dina lösningar.

Efter uppladdningen meddelar du (genom chat) till tentavakten att du lämnar Zoom-tenta.

Därefter får du inte komma tillbacka till Zoom-rummet och göra ändringar i dina lösningar.

---

För godkänt betyg krävs 10 poäng (totalt i båda delar) av max 24 poäng .

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad,

• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B, Klass C eller Omregistrerad.

Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.

T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.

(2)

Sida 2 av 8

---

Substituera först dina parametrar p,q i nedanstående uppgifter och därefter lös uppgifterna.

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Beräkna följande gränsvärden

a)

( )

3 4

0

sin ( 1) lim^x 2

x p x

x x

→

− +

+ b) ²

1

( 3) ( 3)

lim^x sin( 1)

p x p

x

→

+ − +

− .

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Beräkna följande integraler:

a)

∫ (cos ) x

^p⁺³

⋅ sin xdx

. (Tips: variabelbyte)

b)

∫ x ⋅ ln(2 x q dx + )

(Tips: Partiell integration)

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Lös följande DE

10 121

y′′+ y′+ y x q= + .

Uppgift 4. (2p)

Bestäm tangenten till kurvan

(12−p x) ²+(10 2 )− p y² =22 3− p i punkten A = (1,1).

Uppgift 5. (2p)

Bestäm eventuell stationära punkter och deras typ till funktionen

2 2

( , ) 3 (2 2) (6 6) 10

f x y = x − y − p+ x+ p+ y+

Uppgift 6. (3p) Låt f x( ) x² 2px p² 1 x p

+ + +

= + .

a) (2p) Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x).

Uppgift 7. (3p) Bestäm volymen av kroppen som definieras av

2 2

4≤x +y ≤9, 0 z q p x≤ ≤ + + ²+y²

(3)

Sida 3 av 8 Uppgift 8. (2p)

Beräkna dubbelintegral sin

D

x y dxdy

∫∫

^,

då D definieras genom 0≤ ≤x 1, 0

y π4

≤ ≤ .

Uppgift 9. (3p)

Ett område Ω definieras i polära koordinater av

4 2

π _{≤ ≤ , 1}θ π ≤ ≤ + r p ₂

Beräkna y-koordinaten för områdets tyngdpunkt.

Uppgift 10. (2p)

Bestäm alla lösningar till DE y x′ ²+ =q y² −(p+1)²

Lycka till.

FACIT

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Beräkna följande gränsvärden

a)

( )

3 4

0

sin ( 1) lim^x 2

x p x

x x

→

− +

+ b) ²

1

( 3) ( 3)

lim^x sin( 1)

p x p

x

→

+ − +

− .

Lösning: a) fall p=0

( ) ( )

3 4 2 3

0 0

0 2 0

sin 0 1 cos 0

lim (typ L'H) lim (typ L'H)

2 0 6 4 0

sin 0 cos 1

lim (typ L'H) lim

12 12 0 12 24 12

x x

x x x

x x x x

x x

x x x

→ →

− −

+ = +

= = =

+ +

Fall p=1,2,…9

(4)

Sida 4 av 8

( ) ( )

3 4 2 3

0 0

sin ( 1) 0 1 ( 1)cos ( 1)

lim (typ L'H) lim = (typ ) =

2 0 6 4 0

x x

x p x p p x p

x x x x

→ →

− + = − + + − − ∞

+ + +

b) ²

1 1

( 3) ( 3) 0 2( 3) )

lim (typ L'H)lim 2( 3)

sin( 1) 0 cos( 1)

x x

p x p p x p

x x

→ →

+ − + = + = +

− −

Rättningsmall: Rätt eller fel

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Beräkna följande integraler:

a)

∫ (cos ) x

^p⁺³

⋅ sin xdx

. (Tips: variabelbyte)

b)

∫ x ⋅ ln(2 x q dx + )

(Tips: Partiell integration) Lösning:

a)

∫ (cos ) x

^p⁺³

⋅ sin xdx

(Subst: cosx v= sin− xdx dv= )

4 4

4 cos

4 4

p p

p v x

v dv C C

p p

+ +

+ − −

− ⋅ = + = +

+ +

∫

b) Part integration

2

ln(2 ) 2 ,

2 2

u x q v x

u v x

x q

= + ′=

′ = =

+

2 2

ln(2 ) ln(2 )

2 2

x x

x x q dx x q dx

⋅ + = + − x q

∫ ∫

+ (dela i partiella bråk)

2 2

ln(2 ) ( )

2 2 4 4(2 )

x x q x q q dx

= + − − + x q

∫

+

2 2 2

ln(2 ) ln(2 )

2 4 4 8

x x q+ − x +qx−q x q+

Rättningsmall: Rätt eller fel

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Lös följande DE

10 121

y′′+ y′+ y x q= + . Lösning:

Den karakteristiska ekv:

2 10 121 0

r + r+ = ger r_1,2 = − ±5 25 121− = − ±5 i 96 (= − ±5 4 6)i Den homogena lösningen y_H =C e₁ ⁻⁵^xcos( 96)x +C e₂ ⁻⁵^xsin( 96)x

(5)

Sida 5 av 8

Ansatsen: y_p = Ax B+ , y′_p = A, y′′_p = substitueras i DE: 0 0 10+ A+121(Ax B+ )= + ger systemet x q

121 1

121 10 A

B A q

 =

 + =



Först 1

A =121, Därefter 10 10₂ ( 10 )

121 121 121 121 14641

q A q q

B= − = − = −

Alltså 1 10₂

121 121 121

p q

y = Ax B+ = x+ − Slutligen:

5 5

1 2 2

1 10

cos( 96) sin( 96)

121 121 121

x x

H p q

y y= +y =C e⁻ x +C e⁻ x + x+ − Svar: Se ovan.

Rättningsmall: +1p för korrekta r_1,2= − ±5 i 96 +1p för homogena delen

+1p för en korrekt partikulär lösning

Uppgift 4. (2p)

Bestäm tangenten till kurvan

(12−p x) ²+(10 2 )− p y² =22 3− p i punkten A = (1,1).

Lösning:

Implicitderivering ger

2(12− p x) +2(10 2 )− p y y′⋅ =0 Härav, om p ≠5

(12 ) (12 ) ( i punkten är x=1 och y=1) (10 2 ) 10 2

p x p

y p y p

− − − −

′ = =

− −

Om p=5 saknas tangenten.

Tangentens ekvation: 1 ⁽¹² ⁾ ( 1) 10 2

y p x

p

− −

− = −

− , om p ≠5

Om p=5 saknas tangenten.

Rättningsmall: 1p för (12 ) 10 2 y p

p

− −

′ = − Allt korrekt =2p

Uppgift 5. (2p)

Bestäm eventuell stationära punkter och deras typ till funktionen

2 2

( , ) 3 (2 2) (6 6) 10

f x y = x − y − p+ x+ p+ y+

Svar: En stationär punkt S=(p+1,p+ som är en sadelpunkt 1) Rättningsmall: 1p för korrekt punkt + 1p för korrekt typ.

(6)

Sida 6 av 8 Uppgift 6. (3p) Låt f x( ) x² 2px p² 1

x p

+ + +

= + .

a) (2p) Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x).

Lösning:

2 2 2 1 1

( ) x px p

f x x p

x p x p

+ + +

= = + +

+ +

a) '( ) 1 1 ₂

( )

f x = − x p + Stationära punkter

1 1

x = − − , maxpunkt och p

2 1

x = − , minpunkt p

b) Från f x( ) x p 1

= + + x p

+ får vi direkt att y x p= + är en snes asymptot;

x= − är en vertikal (=lodrät) asymptot. p Rättningsmall:

a) 1p för korrekta punkter +1p för korrekta typer (1p om en punkt och punktens typ är korrekt)

b) båda korrekta asymptoter=1p

Uppgift 7. (3p) Bestäm volymen av kroppen som definieras av

2 2

4≤x +y ≤9, 0 z q p x≤ ≤ + + ²+y²

Lösning = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦_𝐷𝐷

Området D är en cirkelring som ligger mellan två cirklar vars radier är 2 och 3 (centrum är origo) .

(7)

Sida 7 av 8

2 3

Vi byter till polära koordinater 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟,

2 3

2 2 2

0 2

( ) ( )

D

V =

∫∫

q p x+ + + y dxdy=

∫ ∫

^πdθ q p r rdr+ + =

2 3 2 4

3

0 2

3 65

[( ) ] 2 [( ) ] 5( )

2

2 4 2

r r

d q p r r dr q p p q

π

θ π π π

=

∫ ∫

+ + = + + = + + ^.

Rättningsmall:

a) Korrekt till ² ³ ²

0 2

( )

d q p r rdr

π θ + + =

∫ ∫

^1p

Korrekt till 2 [( ) ² ⁴]³ 2 2 4 r r

π q p+ + =2p Allt korrekt=3p

Uppgift 8. (2p)

Beräkna dubbelintegral sin

D

x y dxdy

∫∫

^,

då D definieras genom 0≤ ≤x 1, 0

y π4

≤ ≤ . Lösning:

1 /4 1

0 0 0

1 0

sin sin [ cos ] / 4

0

2 2 1 1 2

(1 ) 1

2 2 2 2 4

D

x y dxdy dx x ydy x y dx

xdx

π π

= = − =

 

− = −  = −

 

∫∫ ∫ ∫ ∫

∫

Rättningsmall:

Korekt till ¹

0

[ cos ] / 4 x y π0 dx

∫

− ^{ger 1p}

Uppgift 9. (3p)

Ett område Ω definieras i polära koordinater av

(8)

Sida 8 av 8

4 2

π _{≤ ≤ , 1}θ π _{≤ ≤ +}_{r p} ₂

Beräkna y-koordinaten för områdets tyngdpunkt.

Lösning:

Arean = (en åttonde del av ringen)= (( 2) 1 )² ²

8 p

π ₊ ₋ ₌

.

[ ]

2 2

2

1 1

4 4

3 2 3

/2 /4

1

sin sin

2 ( 2) 1

cos 3 2 3

p p

D

p

y dxdy d r r dr d r dr

r p

π π

θ θ θ θ

θ

+ +

+

= ⋅ =

  + −

= − ⋅  = ⋅

 

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Därmed

3

2 2

1 8 2 ( 2) 1

( ) (( 2) 1 ) 2 3

c

D

y y dxdy p

Arean D π p

+ −

= = ⋅ ⋅

+ −

∫∫

^.

Svar : Se ovan

Rättningsmall:

Korrekt arean =1p Korrekt integral

D

y dxdy =

∫∫

₂^{2 (}^⋅ ^{p +}^{2) 1}₃ ³⁻ ^+1p

Allt korrekt =3p

Uppgift 10. (2p)

Bestäm alla lösningar till DE y x′ ²+ =q y² −(p+1)² Lösning:

2 2 ( 1)2

y x′ + =q y − p+

Det är uppenbart att y²−(p+1)² =0 dvs y= ±(p+1) ger två lösningar till DE.

För att hitta den allmänna lösningen separerar vi variabler ( genom att dela med

2 2 ( 1)2

x + ⋅q y − p+ ) : Vi får

2 ( 1)2 2

dy dx

y p = x q

− + + ,

₂ ₂ ₂

( 1)

dy dx

y p = x q

− + +

∫ ∫

^,

2 2 2

ln(y+ y −(p+1) ) ln(= x+ x +q)+C (den allmänna lösningen)

Dessutom har vi två lösningar y= ± +(p 1) som inte omfattas av den allmänna lösningen. (Så kallade singulära lösningar).

Svar Se ovan:

Rättningsmall: Korrekt allmänn lösning= +1p. Korrekta två singulära lösningar= +1p.