Tentamen i Matematisk analys, HF1905

Sida 1 av 9

Tentamen i Matematisk analys, HF1905

Datum: 15 feb 2021 Skrivtid: 8:00-12:00

Lärare: Jonas Stenholm, Joakim Dahlfors, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

Jourhavande lärare: Jonas Stenholm För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorna skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B, Klass C eller Omregistrerad.

• Det här bladet lämnar du in tillsammans med lösningar Uppgift 1. (2p)

a) Bestäm definitionsmängden för funktionen ( ) ln( 2) 5 f x x

x

= −

− b) Beräkna följande gränsvärde

3

lim 1 2

sin(2 6)

x

x x

→

+ −

− . Uppgift 2. (2p)

Beräkna följande integraler:

a)

∫ x x

²

+ 1 dx

. (Tips: variabelbyte)

b)

∫ (3 x + ⋅ 2) e dx

^x+1 (Tips: Partiell integration)

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Lös följande differentialekvation

1 6 4

(1) 5.

y y x

y x

′ + =

=

. Var god vänd.

Sida 2 av 9 Uppgift 4. (2p)

Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 0 x π2

≤ ≤ , 0≤ ≤y 3sin( )x roterar kring y-axeln

Uppgift 5. (4p)

Beräkna följande gränsvärde

2 3

0

cos( ) 1 lim^x 5

x x x

→

− +

a) (2p) med hjälp av L’ Hospitals regel

b) (2p) med hjälp av Maclaurinutveckling (dvs Taylorutveckling kring 0).

Uppgift 6.(2p) Bestäm alla stationära punkter till funktionen

2 2 2

( , ) ^{x x y} f x y =e ^{− +}

och avgör deras karaktär (max, min, sadel) .

Uppgift 7. (3p)

Lös följande differentialekvation 7 10 10 14

(0) 0.

(0) 1.

y y y x

y y

′′− ′+ = −

=

′ =

Uppgift 8. (4p) Låt f x( ) 2= xe^2x.

a) (2p) Bestäm eventuella stationära punkter och deras karaktär.

b)(1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). c) (1p) Rita funktionens graf.

Uppgift 9. (2p)

Ett område Ω definieras avy≥0, x≥0 , 0≤ x²+ y² ≤16 och y≥ (se figuren). x Beräkna områdets yttröghetsmoment kring x-axeln.

Lycka till.

Sida 3 av 9 FACIT

Uppgift 1. (2p)

a) Bestäm definitionsmängden för funktionen ( ) ln( 2) 5 f x x

x

= −

− b) Beräkna följande gränsvärde

3

lim 1 2

sin(2 6)

x

x x

→

+ −

− . Lösning:

a) Funktionen är definierad om 2 0 5

x x

− >

− . (notera att x ≠ 5) a) Teckentabell för 2

5 x

x

−

− :

x-värden: 2 5

x-2 - 0 + + +

5-x + + + 0 -

2 5 x

x

−

−

- 0 + ej

def -

Därmed är ( ) ln( 2) 5 f x x

x

= −

− definierad om och endast om x ∈(2,5)

b) 3

lim 1 2

sin(2 6)

x

x x

→

+ −

− = [ typ 0/0, L’ Hospitals regel]

3

1 1

2 1

lim^x 2cos(2x 6) 8 x

→

= + =

−

Svar a) D=(2,5) b) 1/8

Rättningsmall: 1p vardera för a) och b) Uppgift 2. (2p)

Beräkna följande integraler:

a)

∫ x x

²

+ 1 dx

. (Tips: variabelbyte)

b)

∫ (3 x + ⋅ 2) e dx

^x+1 (Tips: Partiell integration) Lösning:

a)

Sida 4 av 9

(

2

1 1 2

2

1 variabelbyte :

2

1 , 2 )

x x

+ ⋅

dx

= ⋅ 2

x x

+ ⋅

dx

=

x

+ =

t xdx dt

=

∫ ∫

3 3

1 2 2

1 1 2 1

2 2 2 3 3 3

2

t t t t

t dt t dt C C

⋅

C

= ⋅ ∫ ⋅ = ⋅ ∫ ⋅ = ⋅ + = + = + =

2 2

( 1) 1

3

x + ⋅ x + C

= +

b) Formel för partiell integration:

∫

f x g x dx F x g x

( ) ( ) ⋅ ⋅ = ( ) ( ) ⋅ − ∫

F x g x dx

( ) ⋅ ′ ( ) ⋅

där F(x) är en primitiv funktion till f(x). (detta är bokens version av denna formel)

( )

1 1

(3 x + ⋅ 2) e dx

^x+

= integrera e

^x+

och derivera 3 x + 2 =

∫

1

(3 2)

1

3

1

(3 2)

1

3

1

(3 1)

x x x x x

e ⁺ x e ⁺ dx e ⁺ x e ⁺ C e ⁺ x C

= ⋅ + − ∫ ⋅ ⋅ = ⋅ + − ⋅ + = ⋅ − +

Svar: a)

2 2

( 1) 1

3

x

+ ⋅

x

+ +

C b) e^x+1

⋅ (3 1)

x

− +

C

Rättningsmall: 1p vardera för a) och b)

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Lös följande differentialekvation

1 6 4

(1) 5.

y y x

y x

′ + =

= Lösning:

Metod 1: Multiplicera hela DE med den integrerande faktorn 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑒𝑒^{∫1𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑}= 𝑒𝑒^ln|𝑑𝑑|= |𝑥𝑥| . Eftersom vi söker lösningen som uppfyller y = (där x=1 > 0 ) väljer vi |x|=x och (1) 5 därmed IF = x . Vi får xy′ +1y=6x⁵där vänstra ledet är detsamma som d xy( )

dx så att 6 5

xy=

∫

x dx och därmed xy x C= ⁶+ Alltså y C x⁵

= x + där y = ger (1) 5 1+ =C 5så att C=4.

Sida 5 av 9 Svar: y 4 x⁵

= + x Metod 2.

Vi använder formeln y x( )=F C⁻¹( +

∫

F Q x dx⋅ ( ) ) ^(*) Först

x x

P( = , ) 1 Q x( ) 6= x⁴ och integrerande faktor

För att bestämma integrerande faktor F beräknar vi

∫

P⁽x⁾dx^.

Lägg märke till att en konstant C redan finns i formel (*) så att vi behöver endast en primitiv funktion.

x x

xdx dx x

P( ) =

∫

1 =ln| |=[eftersomx>0]=ln

∫

och därför

x e e

F = ∫^P(x)dx = ^lnx =

Den integrerande faktorn substituerar vi i formel (*) och får

1( ( ) )

y F C= ⁻ +

∫

F Q x dx⋅ ⇒

1( 6 4 )

y x C= ⁻ +

∫

x x dx⋅ ⇒

1( 6 5 )

y x C= ⁻ +

∫

x dx ⇒

1( 6)

y x C x= ⁻ + ⇒ C 5

y x

= x + . (1) 5

y = ger 1+ =C 5så att C=4.

Därmed y 4 x⁵

= + x Svar: y 4 x⁵

= + x

Rättningsmall: Korrekt en integrerande faktor ( |x| eller x ) faktor ger 1p Korrekt den allmänna lösningen = 2p

Allt korrekt=3p

Uppgift 4. (2p)

Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 0 x π2

≤ ≤ , 0≤ ≤y 3sin( )x roterar kring y-axeln.

Lösning: Vi bestämmer rotationskroppens volym, V, med skalmetoden. Cylinderskalen har sin axel på y-axeln.

Volymselement dV =2πrhdr, vilket här blir dV =2πxydx

Sida 6 av 9

( )

2 2 2

2 ( ) 2 3sin 6 sin partiell integration, formel se lösning 2b

0 0 0

V x y x dx x x dx x x dx

π π π

π π π

= ∫ ⋅ ⋅ = ∫ ⋅ ⋅ = ∫ ⋅ =

[ ]

^{2 2}

[ ]

^{2 2}

[ ]

²

[ ]

²

6 ( cos )0 1 ( cos ) 6 cos 0 cos 6 cos 0 sin 0

0 0

x x x dx x x x dx x x x

π π

π π π π

π π π

     

     

= ⋅ ⋅ − − ∫ ⋅ − ⋅ = ⋅ − + ∫ ⋅ = ⋅ − + =

6 cos 0 cos0 sin sin 0 6 v.e.

2 2 2

π π π

π ^{ } π

= ⋅ − ⋅ + ⋅ + − =

Svar: 6 v.eπ

Rättningsmall: Rätt uppställd integral med gränser (²_{2 3sin}

0 x x dx

π

π ⋅ ⋅

∫ ) ger 1p.

Allting rätt ger 2p.

Uppgift 5. (4p)

Beräkna följande gränsvärde

2 3

0

cos( ) 1 lim^x 5

x x x

→

− +

a) (2p) med hjälp av L’ Hospitals regel

b) (2p) med hjälp av Maclaurinutveckling (dvs Taylorutveckling kring 0).

Lösning:

a) _{2 3}

0

cos( ) 1 lim^x 5

x x x

→

− =

+ (Typ 0/0 , L’ Hospitals regel)

= ₂

0

sin( ) lim^x 10 3

x

x x

→

− =

+ (Typ 0/0 , L’ Hospitals regel)

= 0

cos( ) 1 lim^x 10 6 10

x x

→

− =−

+ .

Svar: 1 10

−

Rättningsmall a) : Korrekt till ₂

0

sin( ) lim^x 10 3

x x x

→

− =

+ ger 1p. Allt korrekt =2p.

b). Eftersom minsta potensen i nämnaren har grad 2 , utvecklar vi täljaren cos( ) 1x − med hjälp av formeln av ordning 2 .

Vi har

Sida 7 av 9 ( ) cos( ) 1

f x = x − , f x′( )= −sin( )x f x′′( )= −cos( )x och (för restterm) f x′′′( ) sin( )= x (0) 0

f = , f ′(0) 0= f x′′( )= − , 1 f c′′′( ) sin( )= c

2 3

(0) ( )

( ) (0) (0)

2! 3!

f f c

f x = f + f′ x+ ′′ x + ′′′ x

2 3

1 sin( )

( ) 2! 3!

f x − x c x

= + .

Nu har vi

2 3

2 3 2 3

0 0 0

1 sin( ) 1 sin( ) 1 0

cos( ) 1 2! 3! 2! 3! 2 1

lim lim lim

5 5 5 5 0 10

x x x

c c

x x x

x

x x x x x

→ → →

− + − + − +

− = = = = −

+ + + +

Svar: 1 10

−

Rättningsmall b) : Korrekt till ( ) 1 ² sin( ) ³

2! 3!

f x − x c x

= + ger 1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 6.(2p) Bestäm alla stationära punkter till funktionen

2 2 2

( , ) ^{x x y} f x y =e ^{− +}

och avgör deras karaktär (max, min, sadel) . Lösning:

Då 𝑒𝑒^𝑟𝑟 är en strängt växande funktion av 𝑟𝑟 sammanfaller alla stationära punkter för 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) med de för exponenten 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥² − 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦².

𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑑𝑑 = 2𝑥𝑥 − 2 och ^{𝜕𝜕𝜕𝜕}_{𝜕𝜕𝜕𝜕}= 2𝑦𝑦. Stationära punkter då båda dessa partiella derivator är 0.

2𝑥𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥𝑥1 = 1 och 2𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑦𝑦1 = 0 så endast en stationär punkt i (1, 0).

𝜕𝜕²𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑑𝑑² = 2 = 𝐴𝐴, ^𝜕𝜕_{𝜕𝜕𝜕𝜕}^2𝜕𝜕₂ = 2 = 𝐶𝐶, _{𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕}^{𝜕𝜕2𝜕𝜕} = 0 = 𝐵𝐵. Alltså är 𝐴𝐴𝐶𝐶 − 𝐵𝐵² = 4 > 0 och 𝐴𝐴 > 0 vilket innebär att (1, 0) är en lokal minimipunkt.

Svar: (1, 0) är en lokal minimipunkt.

Rättningsmall: Korrekt stationär punkt (1,0) ger 1p. (-1p om minst en derivata är fel) Allrätt ger 2p.

Uppgift 7. (3p)

Lös följande differentialekvation 7 10 10 14

(0) 0.

(0) 1.

y y y x

y y

′′− ′+ = −

=

′ = Lösning:

Karaktäristisk ekv. 𝑟𝑟²− 7𝑟𝑟 + 10 = 0 ⇒ 𝑟𝑟1,2 =⁷₂± �⁴⁹₄ −^10∙4₄ =⁷₂±³₂ ⇒ 𝑟𝑟1 = 5, 𝑟𝑟2 = 2 och lösningen till den homogena DE är 𝑦𝑦_ℎ = 𝐶𝐶₁𝑒𝑒^5𝑑𝑑+ 𝐶𝐶₂𝑒𝑒^2𝑑𝑑.

Anasts till partikulär lösning är polynom med gradtal 1: 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 ⇒ 𝑦𝑦𝑝𝑝′ = 𝑘𝑘 ⇒ 𝑦𝑦𝑝𝑝′′ = 0 som insatt i DE ger 0 − 7 ∙ 𝑘𝑘 + 10(𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑚𝑚) = 10𝑥𝑥 − 14. Identifiering av koefficienter ger 𝑥𝑥: 10𝑘𝑘 = 10 ⇒ 𝑘𝑘 = 1. Konstantterm: −7𝑘𝑘 + 10𝑚𝑚 = −14 ⇒ 𝑚𝑚 = ^{−14+7𝑘𝑘}₁₀ = ⁻¹⁴⁺⁷₁₀ = −₁₀⁷

Sida 8 av 9

Alltså 𝑦𝑦_𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 −₁₀⁷ och 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦_ℎ+ 𝑦𝑦_𝑝𝑝 = 𝐶𝐶₁𝑒𝑒^5𝑑𝑑+ 𝐶𝐶₂𝑒𝑒^2𝑑𝑑+ 𝑥𝑥 −₁₀⁷.

𝑦𝑦(0) = 0 ⇒ 𝐶𝐶₁+ 𝐶𝐶₂−₁₀⁷ = 0 och 𝑦𝑦^′(0) = 1 ⇒ 5𝐶𝐶₁+ 2𝐶𝐶₂+ 1 = 1 ⇒ 𝐶𝐶₂ =^−5𝐶𝐶₂ ¹

⇒^−3𝐶𝐶₂ ¹= ₁₀⁷ ⇒ 𝐶𝐶1 = −₁₅⁷ ⇒ 𝐶𝐶2 =⁷₆ och slutligen Svar: 𝑦𝑦 = −₁₅⁷ 𝑒𝑒^5𝑑𝑑+⁷₆𝑒𝑒^2𝑑𝑑+ 𝑥𝑥 −₁₀⁷

Rättningsmall: Korrekt lösning till homogena delen 𝑦𝑦_ℎ = 𝐶𝐶₁𝑒𝑒^5𝑑𝑑+ 𝐶𝐶₂𝑒𝑒^2𝑑𝑑 ger +1p.

Korrekt en partikulär lösning 𝑦𝑦_𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 −₁₀⁷ ger +1p.

Allrätt ger 3p.

Uppgift 8. (4p) Låt f x( ) 2= xe^2x.

a) (2p) Bestäm eventuella stationära punkter och deras karaktär.

b)(1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). c) (1p) Rita funktionens graf.

Lösning: a) f x( ) 2= xe^2x, derivera: f x′( ) 2= e^2x+2xe^2x⋅ =2 (2 4 )+ x e⋅ ^2x

Stationära punkter då ( ) (2 4 ) ² 0 2 4 0 1

2 f x′ = + x e⋅ x= ⇒ + x= ⇒ x= − En enda stationär punkt.

Punktens karaktär utreds med teckenstudium av förstaderivatan:

2 ( 1) 2

( 1) (2 4 ( 1)) 2 0, alltså avtagande f′ − = + ⋅ − ⋅e ^{⋅ −} = − ⋅e⁻ <

(0) (2 4 0) 2 0 2 0 alltså växande f′ = + ⋅ ⋅e ^⋅ = >

Teckenväxlingen är – 0 + , d.v.s det är en minpunkt.

b) Lodräta asymptoter saknas, eftersom funktionen är definierad för alla x.

Vågräta/sneda asymptoter åt vänster:

2 2

2

lim 2 ^x lim( 2 ^t) lim( 2_t ) 0, Standardgränsvärde

x t t

xe te t

e

−

→−∞ →∞ →∞

= − = − =

En vågrät asymptot, y = 0.

Vågräta/sneda asymptoter åt höger:

lim ( ) lim 2 2^x

x f x x xe

→∞ = →∞ saknas, d.v.s ingen vågrät asymptot.

( ) 2

lim lim 2 ^x

x x

f x e

x

→∞ = →∞ saknas, d.v.s ingen sned asymptot.

c)

Svar: a) En minpunkt då 1 x = − 2 b) En vågrät asymptot, y = 0, åt vänster.

Sida 9 av 9 c) se figur ovan.

Rättningsmall: a) korrekt stationär punkt ger 1p allting rätt ger 2p

b) Rätt eller fel.

c) Rätt eller fel. Grafen ska visa minpunkten, asymptoten och att kurvan snabbt växer åt höger.

Uppgift 9. (2p)

Ett område Ω definieras avy≥0, x≥0 , 0≤ x²+ y² ≤16 och y≥ (se figuren). x Beräkna områdets yttröghetsmoment kring x-axeln.

Lösning:

Vi använder polära koordinater: x=rcosθ , y=rsinθ , dxdy=rdrdθ

Gränser i polära koordinater: 0 4

4 2 och r

π ≤ ≤θ π ≤ ≤

b) Yttröghetsmoment med avseende på x-axeln

4 4

2 2

2 2 2 3

0 0

4 4

( sin ) sin

x D

I y dxdy d r rd d r dr

π π

π π

θ θ θ θ θ

=

∫∫

=

∫ ∫

⋅ =

∫ ∫

=

(Vi använder formeln

2 ) 2 cos(

sin²θ =1⁻ θ .)

4 4 4

2 3 2

0 4 0

4

1 cos(2 ) 1 sin(2 )

2 2 2 4

sin(2 )2 sin(2 )4 1

( ) ( ) 32 ( ) 32 8 16

2 2 4 2 4 2

d r dr r

π π

π π

θ θ θ θ

π π

π π π π

− =  −    ⋅  

 ⋅ ⋅ 

 

= − − − ⋅ = + ⋅ = +

 

 

∫ ∫

Svar: 8π +16

Rättningsmall: Korrekt till

4 2 2 4 0

1 sin(2 )

2 2 4

π r

π

θ θ ^{ }

  −  ⋅ 

  

    ger 1p.

Allt korrekt=2p.