NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR:
CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL
CIRKEL
Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är konstant.
1. Cirkelns ekvation
Cirkeln med centrum i , och radien
har ekvationen
Cirkelns ekvation på parameterform:
t a p
x cos
t a q
y sin
, där 0 t 2
(*)Anmärkning1 : Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att punkter definierade med (*) uppfyller
1
sin cos
2 22 2
t t
a q y a
p
x
dvs x p
2 y q
2 1
som är ekvationen för cirkeln med radien a och centrum i punkten (p,q).
Anmärkning 2: Cirkelns ekvation definierar två explicita funktioner ( och därmed två funktionskurvor) som vi får genom att lösa ut y ur ovanstående ekvation:
2 2
2 2
2
( ) ( )
)
( y q a x p y q a x p
Övre halvcirkeln ges av
y q a
2 ( x p )
2medan
y q a
2 ( x p )
2 är ekvationen för nedre halvan‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Härledning av cirkelns ekvation: Låt P(x,y) vara en punkt på cirkeln med centrum i , och radien . Eftersom avståndet mellan P och C är lika med a har vi:
a q y p
x )
2 ( )
2
(
. Om vi kvadrerar båda leden får vi2 2
2
( )
)
( x p y q a
.‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Anmärkn Anmärkn
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
De inre p
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
För de yt
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
‐‐‐‐‐‐‐‐
Uppgift
Lösning:
Vi kvadra
Om vi jä
2, eller
2, Alltså C(‐
Uppgift
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
ning 3. Enda ning 4. Ingen
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
punkter (me
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
ttre punkter
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
1. Rita cirke
:
atkomplette
mför med cir ,
, 1
‐2,1) är cent
2. Rita följa
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
ast en punkt(
n punkt satis
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
d randpunkt
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
r (med rand
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
eln
erar 4
rkelns ekvati 1
3 rum och a=3
nde punktm
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
(0,0) satisfier sfierar ekvati
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
ter) uppfyller
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
punkter) gäl
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
2 4
⇒ 2
ionen 9
3 är cirkelns r
ängd i xy‐pla
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
ra ekvatione ionen
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
r villkoret
‐‐‐‐
ler
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
4 2
⇒ 2
2 1
radie.
anet
C(-2
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
en
1.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
‐‐‐‐
4.
4
1 9
, ,1) O a=3
- 2
1
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
0
‐‐
1 1
, ser vi att
1
x y
‐
4
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
A= {(x,y)
R
2 : x2+y2 ≤ 9 } Svar:
===========================================================
2. ELLIPS
Definition. En ellips är mängden av de punkter i planet vars avstånd till två givna punkter, brännpunkterna, har en konstant summa.
Ellipsen med centrum i origo (0,0) och halvaxlarna , har ekvationen
1.
Om
y 0
får vix a
. Om x0 får viy b
.
Arean av en ellips vars halvaxlar är a och b är Aab
.Om F1(c,0)och F2(c,0) är ellipsens brännpunkter då gäller
2 2
2
b c
a
Anmärkning 5: Ellipsen med centrum i origo, 2
1
2 2 2
b y a
x
, kan anges med två ekvationer påparameter form:
t a x cos
t b
y sin
, där 0 t 2
(**)( Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att
cos
2sin
21
2 2
t t
b y a
x
dvspunkter som uppfyller (**) satisfierar ellipsens ekvation 2
1
2 2 2
b y a
x
)Anmärkning 6: Ekvationen 2
1
2 2
2
b y a
x
definierar två explicita funktioner:2
2
x
a a
y b
( + tecken för övre halvan )Härledning av ellipsens ekvation: Vi betraktar en ellips som har brännpunkterna F1(–c, 0) och F2(c, 0) som består av de punkter vars sammanlagda avstånd till två brännpunkterna, har en konstant
summa d1 + d2 = 2a. Låt P(x,y) vara en punkt på ellipsen.
Från d1 + d2 = 2a har vi
( x c )
2 y
2 ( x c )
2 y
2 2 a
Vi flyttar en rot till den vänstra sidan
( x c )
2 y
2 2 a ( x c )
2 y
2 och kvadrerar båda sidor :2 2 2
2 2
2
2
4 4 ( ) ( )
)
( x c y a a x c y x c y
Efter förenkling har vi4 a ( x c )
2 y
2 4 a
2 4 cx
Vi delar med 4 och igen kvadrerar båda leden ( för att eliminera roten) och därefter förenklar ekvationen :
2 2 2 4 2 2
2
[( x c ) y ] a 2 a cx c x
a
2 2 2 2 2 4 2 2 2
2
[ x 2 cx c y ] a 2 a c x c x
a
2 2 2 4 2 2 2 2 2
2
2
x 2 a cx a c a y a 2 a cx c x
a
) (
)
( a
2 c
2x
2 a
2y
2 a
2a
2 c
2
Vi inför beteckningen
a
2 c
2 b
2 och får ellipsens ekvation2 2 2 2 2
2
x a y a b
b
Om vi delar med
a
2b
2 har vi ellipsens ekvation på formen2
1
2 2
2
b y a
x
.Därmed har vi härlett ellipsens ekvation 2
1
2 2 2
b y a
x
.‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Anmärkning 7: Ett sätt att få ekvation för en ellips är att i cirkelns ekvation 1 göra variabelbyte / , / (med andra ord ändrar vi skalan på x respektive y‐axeln). Vi får
1.
Anmärkning 8: Om ellipsens centrum ligger i punkten C(p,q) då har ellipsen följande 1 .
Samma ellipsen kan skrivas på parameterform:
t a p
x cos
t b q
y sin
, där 0 t 2
(***)( Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att
cos
2sin
21
2 2
t t
b q y a
p
x
dvspunkter som uppfyller (***) satisfierar ellipsens ekvation
( ) ( ) 1
2 2 2
2
b q y a
p
x
)
Anmärkning 9: Endast en punkt(0,0) satisfierar ekvationen 0
Anmärkning 10: Ingen punkt satisfierar ekvationen 1.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Uppgift 2. En ellips har ( den horisontella) halvaxeln
a 5
och brännpunkter F1(3,0)och )0 , 3
2(
F . Bestäms ellipsens ekvation.
Lösning: Från sambandet
a
2 c
2 b
2 har vib
2 25 9 16
.Ellipsens ekvation 2
1
2 2 2
b y a
x
blir då1
16 25
2 2
y
x
Svar:
1
16 25
2
2
y
x
Uppgift 3. Rita elipsen vars ekvation är
x
2 y 3
2 4
Lösning: För att skriva ellipsen på formen 2
1
2 2 2
b y a
x
delar vi med 4 ekvationenx
2 y 3
2 4
och får4 4 4 3 4
2 2
y
x
som vi kan skriva på följande sätt
3 1 / 4 4
2
2
y
x
Om vi jämför med 2
1
2 2 2
b y a
x
får vi:2
2
4 a
a
ochb
2 4 / 3 b 4 / 3
Alltså har ellipsen halvaxlarna a2 och
b 4 / 3 1 . 15
.
Uppgift 4. Bestäm tangenten till elipsen vars ekvation är
x
2 y 2
2 3
i punkten P= (1, y) där y>0.Lösning: Vi substituerar x=1 i ellipsens ekvation:
1 1
3 2
1
2 y
2 y
2 y
. Eftersom, enligt antagande y>0 tar viy 1
. Vi deriverar båda leden i implicit definierade funktionenx
2 y 2
2 3
och fåry y x y
y
x 4 0 2
2
.I punkten P= (1,1) har vi
2 ) 1 (
P
y
.Tangentens ekvation blir:
( 1 ) 2
) 1 1
( y x
eller efter förenklingx y 2 3
.Svar:
x y 2 3
Uppgift 5. Visa att ellipsen 2
1
2 2 2
b y a
x
har arean Aab
.Lösning: Från 2
1
2 2 2
b y a
x
får vi två explicita funktioner 2 2 22
1 a x
a b a
b x
y
.Vi bestämmer arean av fjärde delen av ellipsen som ligger i första kvadranten.
a
dx x a a
b A
0
2 2
4
2 /
0
2 2
2 sin cos
dv v a v a a a
b
2 /
0
cos cos
dv v a v a a
b
0 2 ] / 2
) 2 [ sin(
2 2
2 cos cos 1
2 /
0 2
/
0
2
v
ab v v dv
ab dv v
ab
( / 2 0 ) ( 0 0 )
) 2 2
) 0 0 sin(
( 2 )
) 2 sin(
/
2 (
ab ab
4
ab
.Från
4 4
A ab
har vi Aab
(vilket skulle bevisas) .
Substitutionen xasinv där
0 2
v
ger dxacosvdvGränser: x0asinv0v0
1 2 sin
sin
a a v a v v
x
Uppgift 6. Rita följande punktmängd i xy‐planet
b)
1 }
1 : 4
) , {(
2 2
2
x y
R y x
M
Svar: Området begränsas av ellipsen
1 1 4
2
2
y
x
. Fråna
2 4
ochb
2 1
får vi halvaxlarna2
a och b1.
Uppgift 7. Rita följande punktmängder i xy‐planet
a)
1 }
1 : 4
) , {(
2 2 2
1
x y
R y x
M
b)
1 }
1 : 4
) , {(
2 2 2
2
x y
R y x
M
c)
1 }
1 : 4
) , {(
2 2 2
3
x y
R y x
M
d)
1 , 0 }
1 : 4
) , {(
2 2 2
4
x y x
R y x
M
e)
1 , 0 }
1 : 4
) , {(
2 2 2
5
x y x
R y x
M
f)
1 , 0 }
1 : 4
) , {(
2 2 2
6
x y x
R y x
M
Svar:
a)
b) Randpunkter tillhör inte mängden M2
2 1
================================================================
3.HYPERBEL
Definition. En hyperbel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till två givna punkter, brännpunkter har en konstant skillnad.
( Ekvationen för en hyperbel härleder vi på liknande sätt som för en ellips.) Två ofta förekomande är följande ekvationer:
1 (har 2 skärningspunkter med x‐axeln) och 1. (har 2 skärningspunkter med y‐axeln)
Anmärkning 11: Ekvationen 2
1
2 2
2
b y a
x
definierar två explicita funktioner:2
2
a
a x
y b
( + tecken för övre halvan ) .Härav får vi definitionsmängden
x
2 a
2 0
dvsx ( , a ] [ a , )
och två sneda asymptoter enligt formlerna:T ex för
x
2a
2a
y b
ochx
har vi 2c) 1
o A B
C d)
o A B
C f)
o A B
C
e)
k x
lim
a b n
x x
lim lim
lim
a b
x
konstant
Därmed
På samm
På liknan höger) ti
Om F1(
Anmärk
och därm
x
x f
x
lim
) m (
a x
kx x f
2 2
) ) ( ( m
2 2
2 2
a x
a x
t).
är
x
a y b
ma sätt får vi
nde sätt visa ill nedre dele
) 0 ,
c och F
kning 12. Ek
med punkter
x a x
b
2
m
a x b
a b
x x
lim lim )
lim
2
x
x
x
0
en snedatt
a
y b
r vi att
y
en av hyperb) 0 ,
2(e
F är hy
kvationen 0.
r som satisfie
a
x
2
lim
a x
a a b x
2 2
2 2
1
2 2
2
x a
a a
b
d asymptot ti
a x
b
är en väna x
b
ochy
beln.yperbelns brä
a
0 k
erar ekvatio
x a x
b
| | 1
x x x a x b
2 2
2
0
2
x
ill
a
y b
nster asympt
a x y b
ärännpunkter
2
2
b c
a
kan faktorise
nen ligger p
a x b a
22
x a
x a
2
2
( nämnaren
2
2
a
x
dtot till
y
r sneda asym
då gäller
2
eras och skri
på två linjer
n går mot
då
x
.2
2
a
a x
b
mptoter ( vän
vas som
, täljaren =
2 då
x
nster respek
.tive
Uppgift
Lösning:
på form Vi delar
Därför ä Vi ritar a med hjä skisserar
=======
4. PARA
Här är tv
Exempe
0
8. Rita hype
: För att be
men
ekvationen 2 1 ⇒
r 2 h
asymptoter o älp av en rekt r vi hyperbel
===========
ABLER
vå ofta förek l 3.
0 .
rbeln 2
estämma a oc 1.
2 8
2 yperbelns as och,
tangel ( se b n.
===========
omande ekv ( där 0
8 8.
ch b skriver
8 med 8 o 1.
symptoter.
ilden),
===========
vationer:
) och
vi ekvatione
och får
==========
en
==========
( dä
=========
är 0 )
Definition. En parabel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given linje, styrlinje (direktris) och en given punkt brännpunkt är lika.
Anmärkning 13: Parabelns vertex , ( toppunkt) ligger i mitten av vinkelrät sträckan från brännpunkten till direktrisen.
Den reda linjen i figuren ovan är parabelns styrlinje, F betecknar brännpunkt (fokus) och V är parabelns vertex (toppunkt)
Uppgift 9. Bestäm ekvationen för den parabel vars avstånd till linjen x a och punkten
F (a , 0 )
är lika.Lösning:
P(x,y)
F(a,0) Q(-a,y)
(-a,0)
O
x y
Låt P(x,y) vara en punkt på parabeln. Avståndet mellan P och direktrisen ( styrlinjen) ärd1 xa medan avståndet mellan P och brännpunkten är
d
2 ( x a )
2 y
2 .Från
d
1 d
2 x a ( x a )
2 y
2 (kvadrera båda leden)
2 2 2
2 2
2 2
2
( ) 2 2
)
( x a x a y x ax a x ax a y
ax y
2 4
Svar:
y
2 4 ax
Uppgift 8. Bestäm ekvationen för den parabel som har brännpunkten
F ( 1 , 5 )
och vertex V(1.6).Lösning: Genom brännpunkten
F ( 1 , 5 )
och vertex V(1.6) går parabelns symmetrilinje medan direktrisen (styrlinjen) skär vinkelrät symmetrilinjen i den punkt D som uppfyller kravet att avståndet mellan D och V är lika med avståndet mellan V och F. Direktrisens ekvation är därmed 7
y
. (Se figuren.)För en punkt P(x,y) på parabeln har vi
2 2 21
d ( 7 y ) ( x 1 ) ( y 5 )
d
(kvadrera båda leden)25 10 1
2 14
49
) 5 ( ) 1 ( ) 7 (
2 2
2
2 2
2
y y
x x y y
y x
y
4 23 2
23 2 4
2 2
x y x
x x y
Svar:
4 23
2
