sin cos

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andragradskurvor

1 av 19 NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR:

CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL

CIRKEL

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är konstant.

1. Cirkelns ekvation

Cirkeln med centrum i , och radien

har ekvationen

Cirkelns ekvation på parameterform:

t a p

x  cos

t a q

y   sin

, där 0 t 2



(*)

Anmärkning1 : Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att punkter definierade med (*) uppfyller

1 sin cos

² ²

2 2





 



 



  

 

 



  t t

a q y a

p

x

dvs

 ^x ^ ^p  

²

^ ^y ^ ^q 

²

^ ¹

som är ekvationen för cirkeln med radien a och centrum i punkten (p,q).

Anmärkning 2: Cirkelns ekvation definierar två explicita funktioner ( och därmed två funktionskurvor) som vi får genom att lösa ut y ur ovanstående ekvation:

2 2

2

( ) ( )

)

( y  q  a  x  p  y  q  a  x  p

Övre halvcirkeln ges av

y  q  a

²

 ( x  p )

²

medan

y  q  a

²

 ( x  p )

² är ekvationen för nedre halvan

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Härledning av cirkelns ekvation: Låt P(x,y) vara en punkt på cirkeln med centrum i , och radien . Eftersom avståndet mellan P och C är lika med a har vi:

a q y p

x  )

²

 (  )

²



(

. Om vi kvadrerar båda leden får vi

2 2

2

( )

)

( x  p  y  q  a

.

(2)

Armin Ha

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Anmärkn Anmärkn

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

De inre p

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

För de yt

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

‐‐‐‐‐‐‐‐

Uppgift

Lösning:

Vi kvadra

Om vi jä

2, eller

2, Alltså C(‐

Uppgift

alilovic: EXTR

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

ning 3. Enda ning 4. Ingen

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

punkter (me

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

ttre punkter

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

1. Rita cirke

:

atkomplette

mför med cir ,

, 1

‐2,1) är cent

2. Rita följa

RA ÖVNINGA

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

ast en punkt(

n punkt satis

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

d randpunkt

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

r (med rand

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

eln

erar 4

rkelns ekvati 1

3 rum och a=3

nde punktm AR

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

(0,0) satisfier sfierar ekvati

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

ter) uppfyller

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

punkter) gäl

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

2 4

⇒ 2

ion 9

3 är cirkelns r

ängd i xy‐pla

2 av 19

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

ra ekvatione ionen

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

r villkoret

‐‐‐‐

ler

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

4 2

⇒ 2

2 1

radie.

anet

C(-2

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

en

1.

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

‐‐‐‐

4.

4

1 9 , s

, ,1) O a=3

- 2

1

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

0

‐‐

1 1

ser vi att

Andragr

1

x y

‐

4

radskurvor

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

(3)

Armin Ha

A= {(x,y) Svar:

Uppgift a) x2 b) x 2 c) x2 d) x2 e) x2 f) x 2 Tips: Kur Svar:

a) Cirkel

a)

d) Notera a

alilovic: EXTR

 R

² : x²+y

D A

3. Rita följa t cos

2 ,

y 

t cos

2 ,

y 

t cos

2 ,

y 

t cos

2 ,

y 

t cos

2 ,

y 

t cos

2 ,

y 

rvorna beskr

n med radie

att kurvan i f

RA ÖVNINGA

y² ≤ 9 }

A

3

nde kurvor g

t sin

 2

,

t sin

 2

,

t sin

 2

,

t sin

 2

,

t sin

 2

,

t sin

 2

, river en cirke

n r=2 och ce

b)

e) f är samma s

AR

givna i param där 0 t där 0 t  där



/2

där



/2 där



/2 där



/2 el eller en de

ntrum i origo

som den i e m

3 av 19 meterform.



2



/



 t

2 / 3





 t

2 / 5





t

2 / 9





t

el av cirkeln.

o.

f men punkten

c)

n (x,y) genom

mlöper kurva

Andragr

an två gånge

radskurvor

r.

(4)

Armin Ha

Uppgift a) x2 b)

x  2

c)

x  2

d)

x  2

Lösning:

a)

b) Bet Om



c) Betec Om



/2

alilovic: EXTR

2 ,

y  ) 2 cos(

2 t

,

y ) 3 cos(

2 t

,

y ) 4 cos(

2 t

, :

eckna v2





 t 2

/

ckna v3t.





 t

2 då

RA ÖVNINGA

nde kurvor g

t sin 2

,

2 sin(

2 t

y 

3 sin(

2 t

y 

4 sin(

2 t

y 

t

2 . Ekvatione då gäller



. Ekvation å gäller 3



/

AR

givna i param där



/2 t

)

, där

 )

, där



)

t

, där



er blir då x



2

 v . D

er blir då x



3 2

/  v 

4 av 19 meterform.





t



/2 t



/2 t 



/2 t 

v cos

2 , Därmed får

v cos

2 , . Därmed få



v y  2 sin

vi nedanståe

v y  2 sin

år vi nedanst .

ende kurva

.

tående kurva

Andragr

a

radskurvor

(5)

Armin Ha

d) Betec Om



Uppgift Paramet c) Ange d) Ange i) Enhets ii) Enhet iii) Cirke Lösning:

i) a)

x  c

b) xc c)

x

²

 y

d) xc ii) a) x2 b) x2

alilovic: EXTR

ckna v4t.





 t 2

/

5.

trisera neda också en ekv en ny param scirkeln kring

scirkeln krin ln med radie

t

cos

,

y  s

) cos( t ,

y

2

 1

y

) 2

cos(



t ,

y

t cos 2 ,

y

) cos(

2 t ,

RA ÖVNINGA

Ekvationer då gäller 2



nstående ci vation ( med metrisering f

g origo g punkten (2 en r=5 och ce

t

sin

, 0

) sin( t 



,

) 2 sin( t

y  

t y   3  sin

y   3  s

AR

blir då x2



 v4

rklar a) mot d rektangulär

ör cirklarna m

2,‐3)

entrum i pun



2

 t

0 t 2

, 0 t 

t

, 0 t 

) sin( t 

,

5 av 19 v cos 2 ,

y

. Därmed få

turs, b) med ra x,y koordi med ett ann

nkten C=(‐4,8



2

1



2 0 t2



v sin

 2

. r vi hela cirk

durs

nater för var at paramete

8)

eln

rje cirkel. ) ersinterval (t

Andragr

ex 0 t 1

radskurvor

1).

(6)

6 av 19 c)

( x  2 )

²

 ( y  3 )

²

 1

d) x 2cos(2



t),

y   3  sin( 2  t )

, 0 t 1 iii)

a) x45cost,

y  8  5 sin t

, 0 t 2



b) x45cos(t),

y  8  5 sin(  t )

, 0 t 2



c)

( x  4 )

²

 ( y  8 )

²

 25

d) x45cos(2



t),

y  8  5 sin( 2  t )

, 0 t 1

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Parametrisering av en cirkel (eller en del av cirkeln) över en given intervall t₁ tt₂ kan vi göra på flera sätt. Ett sätt är att först använda en (enkel) parametrisering med parameter v där

v

₁

 v  v

₂ och därefter använda den linjära substitutionen

) ( ₁

1 2

1 t t

t t

v v v

v 



 

 (jämför med linjens ekvation genom två punkter).

Då svarar t₁ t t₂ mot

v

₁

 v  v

₂.

Med andra ord: Om t varierar från t₁till t₂ då varierar v från

v

₁till v₂. Uppgift 6.

Parametrisera cirkeln med radien r=3 och centrum i punkten C=(2,7) med parametern t så att 5

3 t  ,

a) moturs, b) medurs Lösning:

a) Först anger vi en (enkel) parametrisering med parametern v (moturs) v

x23cos ,

y  7  3 sin v

, 0 v2



Nu använder vi substitutionen ( ₁)

1 2

1 t t

t t

v v v

v 



 

 ,

Vi vill att t=3 svarar mot v=0 och t=5 mot v=

2 

.

) 3 3 ( 5

0

0 2 



 

 t

v



dvs v



(t3)

(Notera att t=3 svarar nu mot v=0 och t=5 mot v=

2 

.)

Vi har slutligen den sökta parametrisering över intervallet 3 t5: ))

3 ( cos(

3

2 

 t

x



,

y  7  3 sin(  ( t  3 ))

, 3 t5.

(7)

Armin Ha

b) Först 2 x 

Nu anvä

0

 v

(Notera Vi har slu

2

 x

Uppgift Bestäm e a) motu b) medu c) Använ d) Använ

Lösning:

a) Noter x2co

b) Vi kan Den sökt co 2 x

alilovic: EXTR

anger vi en ( ) cos(

3 v ,

nder vi subst

3 ( 5

0

2 



 t



att t=3 svara utligen den s

( cos(

3  t





7.

en parametr urs

rs

nd intervallet nd intervallet

ra att cirkelns v

os ,

y  2

n använda ne ta parametri

) os( v ,

y 

RA ÖVNINGA

(enkel) para

y  7  3 si

titutionen v

)

3 dvs v

ar mot v=0 o sökta param

))

3 ,

y 

risering av de

t 0 t1 fö t 0 t1 f

s radie är 2 o

v

sin

,



egativa vinkla isering (med

) sin(

2  v



AR

metrisering

) in( v 

,

2 2

1 t

v v



 



) 3 ( 





t

ch t=5 mot v etrisering öv

sin(

3 7   

en delen av c

ör parametri ör parametr

och att centr



/2 v

ar (dvs negat urs) är ,



 v

7 av 19 med parame



2 0 v 

) ( ₁

1

1 t t

t

v 



 ,

v=

2 

.) ver intervalle

)) 3 ( t 



,

cirkeln som v

isering motu risering medu

rum är i origo .

tiv rotation)

2 / 3



 .

etern v (m

et 3 t5: 3 t5.

visas i nedan

urs.

urs

o. Den sökta

:

medurs)

nstående figu

parametrise

Andragr

ur,

ering (motur

radskurvor

s) är

(8)

8 av 19

Notera att om v växer från



till 3



/2 då v avtar från 



till 3



/2 , dvs. ekvationen beskriver den sökta delen av cirkeln med parametrisering medurs.

c) Nu använder vi substitutionen ( ₁)

1 2

1 t t

t t

v v v

v 



 

 ,

där t₁ 0, t₂ 1 svarar mot

1

2  

v

resp. v₂ 



.

Alltså v t t

2 ) 2

0 1 ( 2 2



 



_ _ _ _

 .

Detta substitueras i x2cosv,

y  2 sin v

,



/2 v



(Kolla a‐delen) .

Vi får )

2 cos(2

2 t

x_



_



,

)

2 sin( 2

2 t

y _  _ 

, 0 t1.

d) Enligt delen b har vi följande parametrisering medurs:

) cos(

2 v

x  ,

y  2 sin(  v )

,



 v3



/2.

Först skriver vi en enkel parametrisering medurs i en annan parameter t.ex v. (Vi använder lösningen i b, men skriver parameter v)

v

x2cos ,

y  2 sin v

, 



v3



/2. Vi inför en ny parametriserin och vill att

10

t , t₂ 1 svarar mot v₁



resp. v₂ 3



/2. Vi använder igen en linjär substitution

t t

t t t t

v v v

v ( 0) 2

1 2 ) /

( ₁

1 2

1 2 1

 







  







 

 



Därmed är

)

cos( 2

2 t

x 







,

)

sin( 2

2 t

y     

, 0 t1.

den sökta parametrisering (medurs).

===========================================================

(9)

9 av 19 2. ELLIPS

Definition. En ellips är mängden av de punkter i planet vars avstånd till två givna punkter, brännpunkterna, har en konstant summa.

Ellipsen med centrum i origo (0,0) och halvaxlarna , har ekvationen

1.

Om

y  0

får vi

x   a

. Om x0 får vi

y   b

.

Arean av en ellips vars halvaxlar är a och b är Aab



.

Om F₁(c,0)och F₂(c,0) är ellipsens brännpunkter då gäller

2 2

2

b c

a  

Anmärkning 5: Ellipsen med centrum i origo, ₂

1

2 2

2

 

b y a

x

, kan anges med två ekvationer på

parameter form:

t a x  cos

t b

y  sin

, där 0 t 2



(**)

( Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att

cos

²

sin

²

1

2 2





 



 



 

 

 



 t t

b y a

x

dvs

punkter som uppfyller (**) satisfierar ellipsens ekvation ₂

1

2 2

2

 

b y a

x

)

Anmärkning 6: Ekvationen ₂

1

2 2 2



 b y a

x

definierar två explicita funktioner:

2

x

a a

y   b 

( + tecken för övre halvan )

(10)

10 av 19

Härledning av ellipsens ekvation: Vi betraktar en ellips som har brännpunkterna F1(–c, 0) och F2(c, 0) som består av de punkter vars sammanlagda avstånd till två brännpunkterna, har en konstant

summa d₁ + d₂= 2a. Låt P(x,y) vara en punkt på ellipsen.

Från d₁ + d₂= 2a har vi

( x  c )

²

 y

²

 ( x  c )

²

 y

²

 2 a

Vi flyttar en rot till den vänstra sidan

( x  c )

²

 y

²

 2 a  ( x  c )

²

 y

² och kvadrerar båda sidor :

2 2 2

2 2

2

4 4 ( ) ( )

)

( x  c  y  a  a x  c  y  x  c  y

Efter förenkling har vi

4 a ( x  c )

²

 y

²

 4 a

²

 4 cx

Vi delar med 4 och igen kvadrerar båda leden ( för att eliminera roten) och därefter förenklar ekvationen :

2 2 2 4 2 2

2

[( x c ) y ] a 2 a cx c x

a     

2 2 2 2 2 4 2 2 2

2

[ x 2 cx c y ] a 2 a c x c x

a      



2 2 2 4 2 2 2 2 2

2

x 2 a cx a c a y a 2 a cx c x

a      



) (

)

( a

²

 c

²

x

²

 a

²

y

²

 a

²

a

²

 c

²



Vi inför beteckningen

a

²

 c

²

 b

² och får ellipsens ekvation

2 2 2 2 2

2

x a y a b

b  

Om vi delar med

a

²

b

² har vi ellipsens ekvation på formen

2

1

2 2

2

 

b y a

x

.

Därmed har vi härlett ellipsens ekvation ₂

1

2 2 2



 b y a

x

.

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Anmärkning 7: Ett sätt att få ekvation för en ellips är att i cirkelns ekvation 1 göra variabelbyte / , / (med andra ord ändrar vi skalan på x respektive y‐axeln). Vi får

1.

(11)

11 av 19

Anmärkning 8: Om ellipsens centrum ligger i punkten C(p,q) då har ellipsen följande 1 .

Samma ellipsen kan skrivas på parameterform:

t a p

x  cos

t b q

y   sin

, där 0 t 2



(***)

( Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att

cos

²

sin

²

1

2 2





 



 



  

 

 



  t t

b q y a

p

x

dvs

punkter som uppfyller (***) satisfierar ellipsens ekvation

( ) ( ) 1

2 2 2

2

 

 

b q y a

p

x

)

Anmärkning 9: Endast en punkt(0,0) satisfierar ekvationen 0

Anmärkning 10: Ingen punkt satisfierar ekvationen 1.

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Uppgift 8. Rita elipsen vars ekvation är

x

²

 y 4

²

 4

Lösning: För att skriva ellipsen på formen ₂

1

2 2

2

 

b y a

x

delar vi med 4 ekvationen

x

²

 y 3

²

 4

och får

4 4 4 3 4

2 2



 y

x

som vi kan skriva på följande sätt

3 1 / 4 4

2 2



 y

x

Om vi jämför med ₂

1

2 2

2

 

b y a

x

får vi:

2

 4  a 

a

och

b

²

 4 / 3  b  4 / 3

Alltså har ellipsen halvaxlarna a2 och

b  4 / 3  1 . 15

.

(12)

Armin Ha

Uppgift a) x4 b) x2 Svar a)

b) Svar.

Uppgift y>0.

Lösning:

2 1²  y Vi derive

y x 4 2 

I punkte

alilovic: EXTR

1 o

4 ,

y 

t cos

2 ,

y 

Elipsen me

10. Bestäm

: Vi substitue

3 ²

2   y

y

erar båda led

y y

y 0

n P= (1,1) ha

RA ÖVNINGA

o 2

nde kurvor g

t sin

 2

,

t sin

 4

, ed halvaxlar

m tangenten

erar x=1 i el

2 1 y den i implicit

y y x

2

 

 .

ar vi

y  P ( ) 

AR

givna i param där 0 t där 0 t  a=4 och b= 2

till elipsen v

lipsens ekva

1. Efterso t definierade

2  1



.

12 av 19 meterform.



2



/ 2.

vars ekvation

tion:

om, enligt an e funktionen

n är x²  y2

tagande y>0 2 ²

2 y 

x

2 3

y i punk

0 tar vi

y  1

3 och får

Andragr

kten P= (1, y

1

.

radskurvor

) där

(13)

13 av 19 Tangentens ekvation blir:

( 1 )

2 ) 1 1

(  



 x

y

eller efter förenkling

x  y 2  3

.

Svar:

x  y 2  3

Uppgift 11. Visa att ellipsen ₂

1

2 2 2



 b y a

x

har arean Aab



.

Lösning: Från ₂

1

2 2

2

 

b y a

x

får vi två explicita funktioner ₂ ² ²

2

1 a x

a b a

b x

y      

.

Vi bestämmer arean av fjärde delen av ellipsen som ligger i första kvadranten.



^



a

dx x a a

b A

0

2 2

4



^ ^



2 /

0

2 2

2 sin cos



dv v a v a a a

b



^ ^

 ^/²

0

cos cos



dv v a v a a

b

0 2 ] / 2

) 2 [ sin(

2 2

2 cos cos 1

2 /

0 2

/

0

2 ^



 v

ab v v dv

ab dv v

ab    



 

 ⁽ ^/ ² ⁰ ⁾ ⁽ ⁰ ⁰ ⁾ 

) 2 2

) 0 0 sin(

( 2 )

) 2 sin(

/

2 (    

 

    

 ^ab   ^ab 

4 

 ab

.

Från

4 4



A  ab

har vi Aab



(vilket skulle bevisas) .

Uppgift 12. Rita följande punktmängd i xy‐planet

b)

1 }

1 : 4

) , {(

2 2

2

 



 x y

R y x

M

Svar: Området begränsas av ellipsen

1 1 4

2

 y 

x

. Från

a

²

 4

och

b

²

 1

får vi halvaxlarna

2

a och b1.

Substitutionen xasinv där

0 _{ v} _  2

ger dxacosvdv

Gränser: x0asinv0v0

1 2 sin

sin 













 a a v a v v

x

(14)

14 av 19

Uppgift 13. Rita följande punktmängder i xy‐planet

a)

1 }

1 : 4

) , {(

2 2 2

1

  x  y 

R y x

M

b)

1 }

1 : 4

) , {(

2 2 2

2

  x  y 

R y x

M

c)

1 }

1 : 4

) , {(

2 2 2

3

  x  y 

R y x

M

d)

1 , 0 }

1 : 4

) , {(

2 2 2

4

  x  y  x 

R y x

M

e)

1 , 0 }

1 : 4

) , {(

2 2 2

5

  x  y  x 

R y x

M

f)

1 , 0 }

1 : 4

) , {(

2 2 2

6

  x  y  x 

R y x

M

Svar:

a)

b) Randpunkter tillhör inte mängden M₂

2 1

2 c) 1

o A B

C d)

o A B

C f)

o A B

C

e)

(15)

15 av 19

================================================================

Uppgift 14. En ellips har ( den horisontella) halvaxeln

a  5

och brännpunkter F₁(3,0)och )

0 , 3

2(

F . Bestäms ellipsens ekvation.

Tips: använd sambandet

a

²

 c

²

 b

² där a, b är halvaxlarna och brännpunkterna ges av F₁(–c, 0) och F2(c, 0).

Lösning: Från sambandet

a

²

 c

²

 b

² har vi

b

²

 25  9  16

.

Ellipsens ekvation ₂

1

2 2

2

 

b y a

x

blir då

1 16 25

2

 y 

x

Svar:

1 16 25

2 2



 y

x

3.HYPERBEL

Definition. En hyperbel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till två givna punkter, brännpunkter har en konstant skillnad.

( Ekvationen för en hyperbel härleder vi på liknande sätt som för en ellips.) Två ofta förekomande är följande ekvationer:

1 (har 2 skärningspunkter med x‐axeln) och 1. (har 2 skärningspunkter med y‐axeln)

Anmärkning 11: Ekvationen ₂

1

2 2

2

 

b y a

x

definierar två explicita funktioner:

2

a

a x

y   b 

( + tecken för övre halvan ) .

Härav får vi definitionsmängden

x

²

 a

²

 0

dvs

x  (  ,  a ]  [ a ,  )

och två sneda asymptoter enligt formlerna:

T ex för

x

²

a

²

a

y   b 

och

x  

har vi

a b x

x x a

a b x

a a x

b x

x k f

x x

x   

 

 

   

2 2 2

2 | | 1

lim ) lim

lim (

(16)

Armin Ha











a b n

x x

lim lim

 lim





a b

x

konstant

Därmed

På samm

På liknan höger) ti

Om F₁(

Anmärk

och därm

alilovic: EXTR



^ ^



a x

kx x f

2 2

) ) ( ( m

2 2



 

a x

t).

är

 x

a y b

ma sätt får vi

nde sätt visa ill nedre dele

) 0 ,

c och F

kning 12. Ek

med punkter 0

RA ÖVNINGA



^ ^















a x b

a b

x x

lim lim )

lim

2

 x 

__

x

 0

en sned

att

a

y   b

r vi att

y  

en av hyperb

) 0 ,

2(e

F är hy

kvationen 0.

r som satisfie

0 .

AR



 



 a x

a a b x

2 2

1

2 2

2



 



x a

a a

b

d asymptot ti

a x

b

är en vän

a x

 b

och

y

beln.

yperbelns brä

a

0 k

erar ekvatio

16 av 19



 



 x x x a x b

2 2

2

0

2

 x 

ill

a

y   b

nster asympt

a x y   b

är

ännpunkter

2

b c

a  

kan faktorise

nen ligger p

 

 x a

x a

2

( nämnaren

2

a

x 

d

tot till

y  

r sneda asym

då gäller

2

eras och skri

på två linjer

n går mot



då x.

2

a

a x

b 



mptoter ( vän

vas som

Andragr



, täljaren =

2 då x

nster respek

radskurvor

.

tive

(17)

Armin Ha

Uppgift

Lösning:

på form Vi delar

Därför ä Vi ritar a med hjä skisserar

=======

4. PARA

Här är tv

Exempe

=======

Definitio (direktri

alilovic: EXTR

15. Rita hype

: För att be

men

ekvationen 2 1 ⇒

r 2 h

asymptoter o älp av en rekt r vi hyperbel

===========

ABLER

vå ofta förek l 3.

===========

on. En parab s) och en giv

RA ÖVNINGA

erbeln 2

estämma a oc 1.

2 8

2 yperbelns as och,

tangel ( se b n.

===========

omande ekv ( där 0

===========

bel är mängd ven punkt br

AR

8 8.

ch b skriver

8 med 8 o 1.

symptoter.

ilden),

===========

vationer:

) och

===========

en av de pun rännpunkt ä

17 av 19

vi ekvatione

och får

==========

nkter i plane är lika.

en

==========

( dä

=========

et vars avstån

=========

är 0 )

nd till en give

Andragr

en linje, styr

radskurvor

linje

(18)

18 av 19

Anmärkning 13: Parabelns vertex , ( toppunkt) ligger i mitten av vinkelrät sträckan från brännpunkten till direktrisen.

Den reda linjen i figuren ovan är parabelns styrlinje, F betecknar brännpunkt (fokus) och V är parabelns vertex (toppunkt)

Uppgift 16. Bestäm ekvationen för den parabel vars avstånd till linjen xa och punkten

)

0 , (a

F

är lika.

Lösning:

P(x,y)

F(a,0) Q(-a,y)

(-a,0)

O

x y

Låt P(x,y) vara en punkt på parabeln. Avståndet mellan P och direktrisen ( styrlinjen) ärd₁ xa medan avståndet mellan P och brännpunkten är

d

₂

 ( x  a )

²

 y

² .

Från

d

₁

 d

₂

 x  a  ( x  a )

²

 y

²

 (kvadrera båda leden) 

2 2 2

2 2

2

( ) 2 2

)

( x  a  x  a  y  x  ax  a  x  ax  a  y



(19)

19 av 19

ax

y

²

 4



Svar:

y

²

 4 ax

Uppgift 17. Bestäm ekvationen för den parabel som har brännpunkten

F ( 1 , 5 )

och vertex V(1.6).

Lösning: Genom brännpunkten

F ( 1 , 5 )

och vertex V(1.6) går parabelns symmetrilinje medan direktrisen (styrlinjen) skär vinkelrät symmetrilinjen i den punkt D som uppfyller kravet att avståndet mellan D och V är lika med avståndet mellan V och F. Direktrisens ekvation är därmed

 7

y

. (Se figuren.)

För en punkt P(x,y) på parabeln har vi

















₂ ² ²

1

d ( 7 y ) ( x 1 ) ( y 5 )

d

(kvadrera båda leden)

25 10 1

2 14

49

) 5 ( ) 1 ( ) 7 (

2 2

2

2 2

2





























y y

x x y y

y x

y

4 23 2

23 2 4

2 2



 











x y x

x x y

Svar:

4 23

2

 2 

  x x

y

sin cos

t a q

y   sin



1

sin cos





 



 



  

 

 



  t t

a q y a

p

x

 x  p  

 y  q 

 1

( ) ( )

)

( y  q  a  x  p  y  q  a  x  p

y  q  a

 ( x  p )

y  q  a

 ( x  p )

a q y p

x  )

 (  )



(

( )

)

( x  p  y  q  a

 R

y 

y 

y 

y 

y 

y 

t sin

 2

t sin

 2

t sin

 2

t sin

 2

t sin

 2

t sin

 2





















x  2

x  2

x  2





y  ) 2 cos(

2 t

y ) 3 cos(

2 t

y ) 4 cos(

2 t





 ^x ^ ^p  

^ ^y ^ ^q 

^ ¹