Definitionsmängd för elementära funktioner.

FUNKTIONER.

DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD.

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Att funktionen f avbildar x avbildas på y betecknar vi x → y eller f ( x) = y . Om y = f( x) säger vi att y är bilden av originalen x.

Att f är en funktion från A till B betecknar vi på följande sätt f : A → B

Mängden A ar funktionens startmängd (eng: initial set ) . Mängden B är funktionens målmängd (eng: final set, target set )

x

y=f(x) f

A B

Vf Df

B A f : →

y x→

Definitionsmängden (eng: domain) Df till funktionen f är mängden av alla originaler dvs mängden av alla x på vilka f tillämpas (den gula mängden i grafen).

Värdemängden (eng: range) V_f är mängden av alla bilder som fås då x genomlöper definitionsmängden, eller mer precis

} :

) (

{ _f

f f x x D

V = ∈ .

Notera skillnaden mellan startmängden och definitionsmängen; värdemängden V_f och målmängden B ).

Generellt gäller: D_f ⊆ Aoch V_f ⊆B.

Sida 1 av 11

I envariabelanalys, som standard, gäller följandeöverenskommelse:

Om vi inte anger, på explicit sätt, definitionsmängden för en funktion y=f(x), menar vi att funktionens definitionsmängd består av alla reella x för vilka f(x) är ett reellt tal.

Dvs, vi menar att D_f ( i ett sådant fall) är den största möjliga definitionsmängden för f(x).

Exempel 1. Låt f : R → R, där f(x)= 1−x² .

För den här funktionen är startmängden= R, målmängden = R, definitionsmängden=[-1,1] och värdemängden =[0,1]

Exempel 2. (Ett diskret exempel) För funktionen f som definieras med hjälp av grafen gäller: f : A→B, startmängden=A= {1,2,3,4}

målmängden = B={a,b,c,d,e}, definitionsmängden är D_f ={1,2,3}, värdemängden är V_f ={ ca, }.

================================================================

I den här kursen (Envariabelanalys) betraktar vi reella funktioner y= f(x) av en reell variabel, med andra ord, både x och y är reella tal .

Alltså i vår kurs gäller oftast f :R→R

För att definiera en funktion f måste vi ange 1. funktionens definitionsmängd D_f.

och

2. ett uttryck y= f(x) ( dvs en regel som till varje x∈D_f ordnar exakt ett reellt tal f(x) ) . Lägg märke till att vi kan beteckna variabler med andra bokstäver:

T ex, vi betraktar f(x)=3x² +8, x∈R och g(t)=3t² +8, t∈R som två lika funktioner

Sida 2 av 11

Sida 3 av 11

Funktionens värdemängd Vf är mängden av alla f(x) då x varierar inom definitionsmängden dvs

} :

) (

{ _f

f f x x D

V = ∈

Definitionsmängden för funktionen f( x) i figuren till höger är D_f =(1,8]

medan värdemängden består av två intervall ]

8 , 6 [ ) 4 , 1

( ∪

f = V

Grafen till en funktion, G, är mängden av alla punkter (x, f(x)) då x varierar inom definitionsmängden, dvs G= {(x,f(x)): x∈D_f}.

Motsvarande kurva i xy-planet kallas funktionskurva.

För varje x i definitionsmängden Df har vi exakt en punkt (x,f(x)) på funktionsgrafen.

Kurvan i figur A är en funktionskurva ( för varje reellt tal x=x1 har vi högst en motsvarande punkt på funktionskurva. [Om x ligger i definitionsmängden då har vi exakt en motsvarande punkt på funktionskurvan.]

Kurvan i figur B (en ellips) är INTE en funktionskurva ( för minst ett x=x1 har vi minst två motsvarande punkter på grafen.

---

Två funktioner : 1

)

(x x D

f

y= ∈ och y= g(x): x∈D₂ är lika om och endast om

2

1 D

D = och f(x)=g(x) _{för alla} x∈D₁ .

T ex y= x², x∈[1,5] och y= x², x∈[0,2] är två olika funktioner.

---

RESTRIKTION AV EN FUNKTION . Låt f och g vara två funktioner med definitionsmängder A respektive B där B⊆ A. Om f(x)= g(x) för alla x∈B säger vi att g är restriktionen av funktionen f till B.

Med andra ord, en restriktion g har samma regel som f ( uttryck f(x)=g(x) ) men har en ”mindre”

definitionsmängd ( B⊆ A ) .

T ex. Om f(x)= x² +x, med definitionsmängden D_f =[1,5], och g(x)= x² +x, med ]

4 , 2

=[

Dg då är g restriktionen av funktionen f till [2,4]

Exempel 1:

Rita funktionen y =x², där −1≤ x<2. Bestäm funktionens värdemängd.

Lösning:

Funktionens definitionsmängd är mängden av alla reella tal x sådana att −1≤x<2. Alltså D_f ={x∈R−1≤ x<2} som vi skriver på kortare sätt D_f =[−1,2). Vi ritar den del av parabeln y= x², där

2 1≤ <

− x .

Lägg märke till att punkten ( 2, 4) inte tillhör grafen.

Vi ser att 0≤ y<4.

Därmed är funktionens värdemängd }

4 0

:

{ ∈ ≤ <

= y R y

V_f

Vi skriver på kortare sätt V_f =[0,4) . Exempel 2:

Sida 4 av 11

Sida 5 av 11

Låt y = x. Bestäm funktionens definitionsmängd ( dvs den största möjliga definitionsmängd) och värdemängd. Rita grafen till funktionen..

Lösning.

x är ett reellt tal om och endast om x≥0 . Funktionen antar alla värden y≥0

Svar : D_f =[0,∞), V_f =[0,∞)

Definitionsmängd för elementära funktioner.

1a) Följande elementära funktioner är definierade för alla reella x

3

x

y =

y =

x

y =

x x

y = sin

y = cos x

x

y = arctan

y = arccot x

x

, a

y =

a > 0

y = e

y = 5

x

y 



 



=  3 2

polynom , y = a_nxⁿ ++a₁x+a₀ , n är ett naturligt tal.

1b) Funktionen

y = x

y = ln(x )

1d)

y= 1x är definierad om x≠0

1e ) y=arcsinx är definierad om −1≤x≤1 1f ) y=arccosx är definierad om −1≤x≤1

1g ) Potensfunktionen

y = x

,

I ) Om exponent a är positivt heltal då är

y = x

,

t ex funktionen

y = x

,

D

= ( −∞ , +∞ )

II ) Om exponent a är negativt heltal då är

y = x

,

t ex funktionen

1 ,

4 4

x x

y =

=

III) Om exponent a är ett positivt tal men inte heltal då är

y = x

,

t ex funktionen ³

,

2

x

y =

III) Om exponent a är negativt tal men inte heltal då är

y = x

,

t ex funktionen

1 ,

3 / 2 3 2

x x

y =

=

Anmärkning: Lägg märke till att följande två funktioner

y =

x

y = x

3

x

y =

medan ³

,

1

x

y =

Alltså ³

1

3

x = x

Exempel 3: Bestäm definitionsmängden till

x x

e x x

x x

y = 5

+ 2 + 8 + 3 sin + 4 cos +

+ arctan + arccot

Svar : D_f = (−∞,∞) = R (R= mängden av alla reella tal)

Sida 6 av 11

Sida 7 av 11 2. Funktionen

y = u (x )

Exempel 4: Bestäm definitionsmängden till

y = x − 3

Lösning. x−3≥0⇔ x≥3. Svar: D_f =[3,∞)

Exempel 4: Bestäm definitionsmängden till

y = x

+ 3

Lösning. x² +3≥0. för alla x.

Svar: D_f =(−∞,∞)

Exempel 5: Bestäm definitionsmängden till

y = sin x

Lösning. sinx≥0⇔2kπ ≤ x≤π +2kπ där k =0±1±2,

Svar: Funktionen är definierad om 2kπ ≤ x≤π +2kπ där k =0±1±2,

3. Funktionen

y = ln( u ( x ))

Exempel 6. Bestäm definitionsmängden till

y = ln( x

− 4 )

Lösning. x² −4>0⇔ x<−2 eller x>2 _, Svar: D_f =(−∞,−2)∪(2,∞)

4. Den rationella funktionen

) (

) (

x q

x

y = p

Exempel 7. Bestäm definitionsmängden till

9 4

2 2

−

= − x y x

Svar: Funktionen är definierad om

x ≠ ± 3

5. Funktionen

x x x

y cos

tan = sin

=

dvs om π π

k x≠ +

2

6. Funktionen

x x x

y sin

cot = cos

=

dvs om x≠kπ

Exempel 7. Bestäm definitionsmängden till

y = tan( x 3 )

Lösning. cos( x3 )≠ 0⇔ π π k x≠ +

3 2 ⇔

3 6

π

π k

x≠ +

Svar: Funktionen är definierad om

3 6

π

π k

x≠ +

7. Funktionen

y = arcsin( u ( x ))

) (

1≤ ≤

− u x

8. Funktionen

y = arccos( u ( x ))

) (

1≤ ≤

− u x

Exempel 8. Bestäm definitionsmängden till 3)

arccos(x y =

Sida 8 av 11

Lösning. 1 3 3 1 3

3 1

1≤ ≤ ⇒− ≤ ≤ ⇒− ≤ ≤

− x x x

Svar: D_f =[−3,3]

Exempel 9. Bestäm definitionsmängden till funktionen

3 4 ³ + −

−

= x

x x

y .

Lösning:

a) Funktionen är definierad om 0 3 4 ³

− ≥ x

x .

0 3

4x3 ^{– 0 + + +}

−3

x ^{– – – 0 +}

3 4 ³

− x

x ^{+ 0 – ej}

def

+

Definitionsmängden : D_f =(−∞,0]∪(3,∞)

Exempel 10. Bestäm definitionsmängden för

x x

x y x

3 ) 5 6 ln(

2 2

−

−

= −

Lösning:

b) Villkor :





>

−

>

−

−

0 3

0 5

6

2 2

x x

x x

3 0

) (

0 ) 3 ( 0 3

5 1

) (

0 ) 1 )(

5 ( 0 ) 1 )(

5 ( 0 5

6

2

2

>

<

⇒

⇒

>

−

⇒

>

−

<

<

⇒

<

−

−

⇒

>

−

−

−

⇒

>

−

−

x eller x

ium teckenstud x

x x

x

x ium

teckenstud x

x x

x x

x

Sida 9 av 11

Båda villkoren är uppfyllda för 3< x<5. Svar: 3 < x < 5

Exempel 11. Bestäm definitionsmängden för funktionen

f ( x ) = ln( 3 − x ) + arcsin( x − 2 ) + e

+ 3 sin x

Lösning:

Villkor 1:

3 0

3−x> ⇒x<

Villkor 2:

3 1

1 2 1

≤

≤

⇒

≤

−

≤

− x

x

Villkor 1 och 2 ger: 1≤ x<3 Svar: 1≤ x<3

Exempel 12. Bestäm definitionsmängden för funktionen

f ( x ) = ln( 2 − x ) + arccos( x − 2 ) + 4 x + 4 cos x

Lösning:

Villkor 1:

2 0

2−x> ⇒ x<

Villkor 2:

⇒

≤

−

≤

−1 x 2 1 ( vi adderar +2) 3

1≤ x≤

Villkor 1 och2 ger: 1≤ x<2 Svar: 1≤ x<2

Exempel 13. Bestäm definitionsmängden för funktionen

f ( x ) = ln( x − 3 ) + 32 − 2 x

+ e

Sida 10 av 11

Svar: 3< x≤4

Exempel 14. Bestäm definitionsmängden för funktionen

f ( x ) = x − 2 + ln( 50 − 2 x

) + sin( x − 4 ) + arctan x

Svar: 2≤ x<5

Sida 11 av 11