Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 15 augusti 2016 klockan 14.00- 18.00 p˚ a Samh¨ allsbyggnad.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook, Beta Mathematics Hand- book, typgodk¨ and kalkylator, lexikon samt Olle Branders formelsamling.

Examinator: Christian Forss´ en (031–772 3261).

Jourhavande l¨ arare: Christian Forss´ en (031–772 3261).

FFM232: Tentamen best˚ ar av sex uppgifter som kan ge maximalt 60 po¨ ang totalt. Till detta tillkommer eventuella bonuspo¨ ang fr˚ an inl¨ amningsuppgifter F¨ or att bli godk¨ and med betyg 3 kr¨ avs 24 po¨ ang, f¨ or betyg 4 kr¨ avs 36 po¨ ang och f¨ or betyg 5 kr¨ avs 48 po¨ ang.

R¨ attningsprinciper: Alla svar skall motiveras, inf¨ orda storheter f¨ orklaras liksom val av metoder. L¨ osningarna f¨ orv¨ antas vara v¨ alstrukturerade och begripligt presenterade. Erh˚ allna svar skall, om m¨ ojligt, analyseras m.a.p.

dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Vid tentamensr¨ attning g¨ aller f¨ oljande allm¨ anna principer:

• F¨ or full (10) po¨ ang kr¨ avs fullst¨ andigt korrekt l¨ osning.

• Mindre fel ger 1-3 po¨ angs avdrag. G¨ aller ¨ aven mindre brister i presen- tationen.

• Allvarliga fel (t.ex. dimensionsfel eller andra fel som leder till orimliga resultat) ger mindre po¨ angavdrag om orimligheten pekas ut.

• L¨ osningar som inte g˚ ar att f¨ olja (t.ex. avsaknad av figur, ej definierade variabler, sv˚ arl¨ ast, etc) renderar po¨ angavdrag ¨ aven om svaret verkar vara korrekt.

• Allvarliga principiella fel ger fullt po¨ angavdrag.

• ¨ Aven skisserade l¨ osningar kan ge delpo¨ ang.

Lycka till!

1. Svara p˚ a f¨ oljande delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) Ange v¨ ardet av tangentlinjeintegralen H

C F · d~ ~ r, d¨ ar f¨ altet ~ F = F ₀ a(y ˆ x − xˆ y)/(x ² + y ² ) och den slutna kurvan C parametriseras enligt (x, y, z) = b(cos t, sin t, 0), 0 ≤ t < 2π.

(b) Ber¨ akna (δ ij δ kl − δ ik δ jl )M ij M kl , d¨ ar M ij ¨ ar elementen i matrisen

M =





0 0 a 0 b 0 c 0 0





Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232) 2016-08-15

(c) Ange f¨ or vilken enhetsvektor ˆ n som riktningsderivatan i riktningen ˆ

n av funktionen φ(~ r) = cos θ/r ² i punkten (x, y, z) = (1/ √ 2, 1/ √

2, 0)

¨

ar maximal. (Svaret kan ges i termer av Cartesiska eller sf¨ ariska basvektorer i punkten i fr˚ aga, det spelar ingen roll.)

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.)

2. (a) Ber¨ akna en enhetsnormal till ytan x ² yz = −2 i punkten (1, 2, −1).

(b) Best¨ am och skissa f¨ altlinjerna till kraftf¨ altet ~ F = ^{−y ˆ} _x

^x+xˆ +y

^y . (5 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, totalt 10 po¨ ang)

3. Ett tv˚ adimensionellt, kroklinjigt koordinatsystem med koordinater ξ och η ges genom relationerna

x = a sinh ξ cosh ξ − cos η , y = a sin η

cosh ξ − cos η .

Finns det n˚ agot villkor p˚ a konstanten a f¨ or att systemet skall vara ortogonalt? Best¨ am skalfaktorerna f¨ or ett s˚ adant ortogonalt koordi- natsystem och ange ett uttryck f¨ or gradienten av ett skal¨ arf¨ alt φ(ξ, η).

(10 po¨ ang)

4. Vad ¨ ar v¨ ardet av integralen R

S F · d ~ ~ S, d¨ ar S ¨ ar en sf¨ ar med radien a och mittpunkt i origo medan vektorf¨ altet ~ F ges av ~ F = _4π ^q _{|~ r−~} ^{~ r−~} _r ^r

0

|

med

~

r ₀ = ^3a ₅ (ˆ x + ˆ y − ˆ z)? (10 po¨ ang)

5. Ytan till en mycket l˚ ang cylindrisk kavitet (kan betraktas som o¨ andligt l˚ ang) med radien a h˚ alls vid den elektriska potentialen φ (ρ = a, ϕ, z) = φ ₀ cos 2ϕ, d¨ ar ρ, ϕ, z ¨ ar cylindriska koordinater. Best¨ am det statiska elektriska f¨ altet i kaviteten. Skissera ekvipotentialytor och f¨ altlinjer.

(10 po¨ ang)

6. I mitten av en sf¨ ar finns en radioaktiv k¨ alla som avger konstant v¨ arme- effekt W . K¨ allans storlek ¨ ar mycket mindre ¨ an sf¨ arens radie a. Vid ytan g¨ aller Neumanns randvillor f¨ or temperaturf¨ altet

∂T

∂r = konstant.

Finn ett uttryck f¨ or den station¨ ara temperaturf¨ ordelningen i sf¨ aren givet att temperaturen var konstant T (~ r) = T ₀ vid t = 0 och att materialets v¨ armekonduktivitet ¨ ar λ (notera att vi inte ¨ ar intresserade av den tidsberoende l¨ osningen som g¨ aller fram till station¨ arl¨ osningen).

(10 po¨ ang) 2