Datavetenskapligt program Introduktionskurs i matematik 2004–09–17

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin

T.fn. 471 3207

Prov i matematik

Datavetenskapligt program Introduktionskurs i matematik 2004–09–17

Skrivtid: 9–12.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Manuella skrivdon och ordlista (t.ex. svensk-arabisk).

Den maximala po¨ angen f¨ or varje uppgift st˚ ar inom parentes. F¨ or full po¨ ang p˚ a en uppgift ska l¨ osningen vara v¨ al motiverad och l¨ asligt skriven. Maximal po¨ ang p˚ a tentan ¨ ar 32, f¨ or godk¨ ant kr¨ avs minst 15 po¨ ang. N˚ agra r˚ ad: Det ¨ ar inte ovanligt att problemen ser sv˚ arare ut ¨ an de egentligen ¨ ar. Ta det lungt, arbeta metodiskt, och ha t˚ alamod! Undvik ocks˚ a att fastna p˚ a n˚ agon uppgift i b¨ orjan; g¨ or de problem du tycker verkar enklast f¨ orst.

1. Ber¨ akna a) log

 2

8



− log

 2

16

 [2p]

b) L˚ at s =

22 6

+

2 + 3

q 2 +

. Avg¨ or om s ∈ N. [2p]

2. L˚ at z och w vara tv˚ a nollskilda komplexa tal. Beskriv deras geometriska f¨ orh˚ allande i det komplexa talplanet (och rita figur!) om: a) |z − w| = 2 [2p] b) w = z [1p]

3. L˚ at A = {1, 2, 3} och B = {2, 3, 4} vara tv˚ a m¨ angder. Best¨ am a) A ∪ B b) B ∩ A och c) P(B). [3p]

4. L˚ at z = (1 + i)

. Best¨ am arg z (i radianer) och |z|. Skriv z p˚ a formen a + bi. [3p]

5. L˚ at L : N r {0} → N definieras rekursivt genom

L(n) =  0 om n = 1

1 + L( 

10

) annars.

Ber¨ akna L(8452) och (L ◦ L)(12345). [3p]

6. Skriv det decimala talet 851 p˚ a a) bin¨ ar form [2p] b) hexadecimal form [2p]

7. Ange alla m¨ ojliga v¨ arden p˚ a sin v om cos v = −4 5 . [3p]

8. Visa, f¨ orslagsvis genom att rita l¨ ampligt valda trianglar, att sin(π/6) = 1/2, att sin(π/4) = 1/ √

2 och att sin(π/3) = √

3/2. [3p]

9. Konstruera en ekvation med obekanta x och y, vars l¨ osningsm¨ angd utg¨ ors av en cirkel i det reella xy-planet, med centrum i (2, −3) och som har radie 4. [3p]

10. L˚ at Γ = {a, b, c, d} vara en m¨ angd med fyra symboler, och l˚ at γ : Γ → Γ ges av γ(a) = b, γ(b) = d, γ(c) = a och γ(d) = c. Visa att γ ¨ ar en bijektiv funktion, och best¨ am γ

. [3p]

Lycka till!

2

Svar till tentamen i Introduktionskurs i matematik 2004–09–17

1. a) 9, b) Ja, s = 5 ∈ N.

2. a) Avst˚ andet mellan z och w ¨ ar 2 b) w ¨ ar spegelbilden av z i den reella axeln, d.v.s. den punkt som ligger vinkelr¨ att p˚ a andra sidan om den reella axeln och har samma avst˚ and fr˚ an axeln som z.

3. a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, b) A ∩ B = {2, 3},

c) P(B) = {∅, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}}.

4. z = 16 (arg z = 0, |z| = 16).

5. a) L(8452) = 4 och (L ◦ L)(12345) = 1.

6. a) (1101010011)

, b) (353)

. 7. sin v = ±3/5.

8. Se t.ex. sidan 112–113 i Startboken.

9. Om d : R

×R

→ R betecknar det Euklidiska avst˚ andet i planet kan ekvationen skrivas d((x, y), (2, −3)) = 4.

Ett alternativ ¨ ar

(x − 2)

+ (y + 3)

= 16.

10. Det ¨ ar l¨ att att kontrollera att inversen ges av γ

(a) = c, γ

(b) = a, γ

(c) = d och γ

(d) = b. Eftersom det finns en invers, m˚ aste γ vara bijektiv.

3