OMETRIA CYCL

CYCL OMETRIA

V E T E R U

M,

SL* * «.

Bono Cum D E

O,

In RegiaAcaderoia Upfalienfi»

Conjenfu Amplisfimce Facultatis Philo föchte#

PRISIDE

Vtro Praclarispmo

. PETRO

FONTELIO,

Math. Prof. Ord.

Vublit*difpuistioni fubtnittit

SAMUEL @d)lllf/ V«&a,

S. R. M. Alumnus*

In Atid. Gaß- msjori, Jg. im#

Annoidé7*

V P S A L I >

EicuditHtnricusCurio, S. R- M <5cAcadfttfå UpfalienfiiBibliopola,

' i

is nu i

s Mfg-

'

,

v. •• n

it fs

V-/..- ' _, &'■

•^Ti : si

. :

'

i

-sr".*' V::,; ^{• -} ' K

:■. ^-■

V ⁱ

-•**—ÉUÉH■--t. ⁱ "*«' W' *OK«*h ?

S?k:

" •

PKjEF

ATIO,

(fi\Vodinrebus naturalibus ^fapé {jerifölet,ut p£»lufu

natura vario» indagantis

indußria frußrafit

j

Idem

quoque

in alns quibuscunque

artibus,ubi

paululum

d

confoetis digreßus fiat,

nemo non experitur.

Nim

6?

illa ipfa

artet, qua

cogitationem

a

fenfilibus abducunt,

quem*

juarn minus cateris

elementärt foeci admißa

mdeanturi fuastarnenbabent difficultates in-

explicabiles. Et

ne

longius

eam,

illa ipfa

CTCLO M ETT^IA, quaiamin

manibus iß,

exemplo fit.

Scopulusjnquam,

tot

naufra-

giis infanns, inquem

viri eruditione famaque

telebresimpegerunt.

Quorum ttomini ( modo

neprimasajfecBcnt)non

eb

quiequam

detoge-

turfedpotius

honor

i

fit, in ärdua

^v

tri indaga-

tione

prodiijfe

tenus.

Et

recentiores prater-

eam, ex veteribuspraeipue,

Bryfo, Antiphon Hippocrates Cbius, Conon Hamaus,

& Ar~

tbimedes, bancmeudemtuderunt. Inquorum inventis

cyclometricis, bac differtatione, in-

Senium ipfe exercere, atque

eadem aliis

ex- hiberevolui, ubi operapretium meeo

faÜurum

exißtmo, quod recentiorum

plerorumq; geoda- ßacircularis,

veterum

ißorum doclrtna innita-

tur. Cunique

Archimedcea ratio å plertsqué

Mathematuis reeepta

approbataque fit,

eam geometricis

demonßratiombus probe munitam

A ejfé

eße,

cftendere fum

conattis.

Caterum, etß pri-

11.äpronte

nonnulhsßenle

jeunumque

hoc

ör- gurnentum

videatur, in retejßu tarnen

ea

conti-

ver, qua per

univerfam ßlathejm u/um obti•

nent

fingularem. J hilomatkematicos quippt

nunlat_et,

quodm

geometria

practica £2

ura- nometria, peripherne ad diametrumproportio

ferepupptspt & prora„ Jpgapropttr non

j,nt

caufa omnis am

Alathematici

eins

apodixin

tantopere exoptcrunt, Ö ^ta/w

fedulb qucefive-

<SWw^/czoquofato,

circulus/e

tam con- tumacemprabuit, ut cum

labilem fugacemque

ejus naturam

inverije fe gloriarentur,

/wo#

cn /corumrigor, vel

poßerior dies contrarium

detegeritatq\

Probant. l^erum, beut

qua

fupra

noft^rum inteiligen

d/

rroium

elata funt, nihil

t>dnospertinere putamus, /to

quod

ä

nobis (ciri

ⁱ

potefl,verfiltere nefas eß:Vbiyß

non

femper apo-:

chRicé verumy verolamenproximum

inquirert juvabit. Quod, quomodo in hac controverjie \

praPiterunt

veteres, & eorum

duüum fecuti1

y?/w£ recentiores,

htfee panellis monflrare eß

animus, quas,

ßbi methodus conßet,

intriä

capitapartiriplacuit.

B F^TS ONIS ^, jintiphontis, ££

.

Hippocratis

Chii ^,

^iv^oy^tp^Avst

Crcis }tu(A$Tgjlo6v

deteguntnr.

CAP. I.

POftquam

^chirimatum

inter

inventiones,

alias növorum

_quibuS

^epi•

^ inGraeciaolim fummacontentio- necertatiimeft. five åThaletc fivePy- thagora, tefteLaértio ^invitaThaletis*

longe elegantiffimum illnd theorema

profe<åum effer* Circulum scquari tri- angulo,cujus altitudoradio, bafisperi- pheriseeflfet aequalis. Intiriumomnium

curae veHae funt,ut redarn peripheriac äqualem exhiberent;_{ka namquecircu-}

I lumquadrari poilc ^,nemodubitabat.

. §.z. Quoniam, é<W, ^ut loquitur Emociusincomment.adÄrch.,^«nv<#t?

i <pu<t£i ivtytiotvl<rt]v rfi rijcuxä»

1 _«CTO? ««Igvof i57 tytxfAivbv. Idéo nihil '1 vctenbus inexperti omilTum eft.quod adejusinvenuonem videbatur

i pertinere-Tentätacflamultis,fed infe- 1 heiter, ea alea, primumabiis, quime-

chanicacirculirevolutiorie,redarn cttm

peiipheria^pariafacientemsdefinire^co*

I natiiunt. Equidem elt _pra>

i darumlliud utileqi geometricx fupel-

1 ledilisinftrumentum,ab Eudide_quoq$

inter principia relatum, fed quae (olat

mentisacie»ioq> ejusabaco>c&ncipi de-

A a. bes

/

bet. Itaoue rebus Phyficisnoneft Eden-

ter alplicanda, ne in

periculofo*

erro-

rum icopulos nos incaurosdeducat.

§. Cum hacnon fuccederet via»

alia tentandum erat. Bryfo quidem in

bunc modum rätiocinatur. Quadratum | circuio arcumfcriptum eodem majus, inlcriptum autem minus, proportionis

ergointermediacifculoäquale^erit

Quod

quantumå veroabludit,deaionftrationé feqnentiapoarébtt.

4. Circuio circumfcribatur qiia-

p." j'

dratum, & ad pun&a conta&us infcriba*

tura'iudjqtiae^exfpbol.9. quarti, funt in proporrionedupla quod intereaeft me¬

diumproportionale,oélogoiioeidemcir¬

cuioinlcfiptoaccjuäri, hoc modo demon- ⁽

ftrari potert. Ducattir reéia a centroA»

adangulum quadrati circumfcripti, quaS bifle abitlatusquadrati infcripti, & ar- cum,quaretranfit^perangulumoftogoni.

Ent_per 2,tertiiB Fad A C perpendicu- larb, dt per 4 fcxti ACäd A But ABi t \ A'< ad AF,funtiraq;AC, AE AF, con-

tinue porportonales. dt per 1 lexti,tri-

angtila ABC, ABE, ABF, irieadempro*

fort'örte, ut& eorUm aeqUeranltipliciÄ* j quädratü infcriptum* oÄögonum.Ä:qua- dracü circumfcriptum. O&ogonü^aütem

circuio multo minus eft ergodt quadra*

tumpropor iöntsintermedia.ftaq; fuoju¬

reBrvfonis quadraturainter<ptvfoygpQci yta>ptT&*f ab Anftotele de repie- hen-

henfionefopbift.1.i.^{c• i}o.refer'ur,

§ f. Poftqnambicconatus,inip(a,quod

ainnt,herba,efletoppreflus,Antiphoad

conf; git, ratus e peripherias

continuataleétioneeotandem perveniri,

ut tegmentum ulturum tuse

tubtenfas

a;*

quaretur Verum

htiit paralogifmo

ave- teribussr^«»'7wifi oppofitum ett

theo*

rema longépult

herrimum,quod Eucl-di

eft i rertii,reÄam piamcnnqi.quarlibet peripheris puncta

conne&entem,

imra

circulumcadeie,

6. Antiphontis errori non

valde

diflimilis ett loannis Alphonfi Kloh-

nenfis, qui indecimo tepcimo reperto geometrico, centefimam partem

torius

circumferentiae,tamefleredarn,ttfetttri- gefimafecundapars

dianierr»>demon'tra-

re conarur. Quod^>fi vel maxime vero proximumfit,non tamen ieviter

ett hal-

lucinatusyquod id proverovendirarit,

§* y. Non praftereundus

ett Hippo-

crates Chius, exmercarorePhilofophus, qui,uteratprofundi ingenii,

duas

^res

in

geometria maximas tentavit,

quadratu-

ramcirculi,& duplicationem cubi; & in

hacquidemfelicius

ett verfatus, quod,

ut

ettapudEutociumin

Eratotthenis cubo,

primusoftendit

pofteritati viam duplandi

cubum: Siduabuslineis reåisquarum major efiet minoris

dupla, duae mediat

proportionales invenirentur.

In cyclo-

tnetrico veronegotio*ti

perlunulas

cir-

eulus

Ciiliispoffetquadrari,non minori laude

cffetdignup, etfi ipfe fpe

fua

fuerit fru-

ftratus*

8. Demonftrationem Hippocratis

non poenicebit paulo altius expendere.

Superlatus quadrati HIcirculo H I KL

F. I I- infcripti, dekribatur circulus HM IG,qui

eft quadrandus,Sc quia quadratum I L duplum eft quadratiIH>^exfchol.47. pri-

mi,itacirculusIK LH circuliHMIG»

perz duod. ErgoquadransIGH femcir#

culoHM left£cqualis,ablatocomuni (eg#

mentoHNI, lunula HMIN triangulo H

GI asquacur,Prxterea radio Hlfiat femi-

F. III. circulus,in_quolemihexagonuinfcribatur,

- fuperqieius lateribus femicirculi. Qno-

niara ORduplum ettHl,eruntquadrata

exfchol ₄ fecundi proportionis quadru¬

ple,&femicirculusO YR quatrorfemi- circulis,HMI,OSP»PTQ, Q VR,^per

2 duod.UEqualis.-jp^emptiscomunibusfeg-

memis, fitresill?elunulae,modopaulo^an-

tetradito, quadrentur, åcfummaexkhol primi auferatur å tapezio> exceffus

eritfemicirculoarqualis,cuiper14fecun¬

di quadratum aequale conftitui poteft.

Circulo _ergo quadratum «qtialc eft de- fcriptum,quod eratfaciendum.

i- 9. Nondifttendumeft,Hippocra#

tern prius hujus demonftrationis mem-

brum _de quadraturalunula? quadrantis

geometricademonftratione firmaffe,_po¬

steriusverö non item. Et enim falfo fibi per-

perfvafft,

lunulas fexanguli.eode ^utqua«

dratiirodo,inveniri_pore Qjod effema- nefettö falfuru,velhinc rationabi itPfcol.

ligipoteft,bbypothetice in nnraeris in- veniatur quadrari Sc fexang' I? luuula,

quar, currmultoma'or fit lunulaquadra¬

ri_,farisliquet, Hippoeratemåi'copoiuo

r longeaberratfe

10 Poffquam in lunula hexagoni

nonnulljs ^vdeban r cardocotiusmeniii-

rat oniscirculi verri, non defueiunt qui

omni modo aunixi funt. ut artem qua- drandieasinvenirent. Inter_{quos pnn-}

cipemloctim tenet vir CL. Chriftianus

Sev. longomontanus ^, quilongo tempo¬

ris decurfu^» pertinaciIaborc,pl"r>micqj

editisfcriptis,quadraturam circuli ex lu-

nulis Hexagoni deducere eft conatus.

Cui viro de Mathematicisoptimémeriro, optanda eilet veriiüma circuli menfura-

tio. Sed de eahoc loconon attinetplu-

ra dicere.

14

Dinoßrati

& Conoms Helicum

natura exponitnr.

CAP. II.

I. Veteres ut y&tftfMKy 9weJ<? adeo

erantaddi&i, ita ejus ope mulfafcitüju#

Clinda,ufuq;^noninut.lia erutrunr. Sed

ad circuli quadraturam inveibgandam,

maximefpe&antTiT&tyvvigxox i. ^e* qua- dratrixab officio ica dicta, qua; £ Dino-i ftrato extogitata eit. Etnt»yuiw,ordi-

A _{4 nata}

natai _quam Conon Hamam, & deincfe'

Archimtdesexcoluerunt»

i. Dinoftratus ut autoreftPappus

Alexandrinus_ovpay. Ma&. 1. iv. p.SS.

rtT&yuvifymv ad hunc fere modum de-

fcribit. Sic quadratum A BCD. inquo

centro D. radio DA,quadrans defcriba«

tur,moveatnrquc DC ^centro D immo- \

bilim quadrante AC,itaut BCinterea

l|

aequalitemporeAD Tm&tfofausCDper-

"

currat, donec coincidant B C, DC in AD,_quartiminterfe&iovolutamCE de- fignabit,cujusbafisDE, DC&quadrajis

A C funt continue proportionales. Si igitur per xi fexti lineis re&isDE, DC

tértia proportionalis inveniatur, erit ea

quadranti arqualis,quae duplicata dimi-

diaj, quadruplicata toti perepheriae c- 1

quatur.

$• 5. Kon defuerunt Dinoftratoaf- feclas,quippeNicomedes & Hippias,alij-

queeandempofteaexcolnerunt- Verun-

tamenfufpeciameam facitPappus,quod quasfttuiri infuppofitioneaflumatur* Si

enim reifta quadrantem contingens BC 1

eodem tempore de parivelo-

citacead radium DAdefeenderet, _quoal¬

terradiusäpun&oconta&us Cquadran¬

temC Apercurrit, utique proportioqua- dtantisad radiumnotaeile deberet, _qua*

cum ignorafit,defcriptioquadratricisju¬

re improbatur.

$. 4- Deindenonminor de vero Ii«

mitqquadratricisoccurritdifficultr.^, ete nim

iiim

pun&mn E quando

Oerquadratr^icem

1 definiendumerat,evanekit. Sienimin-

telligantur B C& DC,eovnodi&umeft

moru ferri ad A D, qu* quanto propms adeamacceflferint,^tantominusearum in- terle&io norari pocft: Donec concur- rentibus rs,fed:io ^{^mms,} in eopun&o»

i ubi maxime fuerat_opus,eyanefcit.

!j §.

fé

Quamobrena

^non fine caufa

1 Conon illeHamaeusob admirabile judi-

cium,&fnmmatnerudit imeto.inepiftola

ab Achimede, libro de lineis IpiralibuJ praefixa, laudatus,aliam helicemper as-

quales rädd portiones crefcenreexcogira#

vir,cujus latentesaffeciiones admirando

prorfus ingeniolibrodidoexpiicavitAr-

chimedes. Sedcum fint eadem valdem- i tricara, fatius fuerit& certius circulnm

, revohere, quam iitashelices macbinari,ut dens Judicium fuum fert

lumen illud Belgii, W. Snellins in cy- clometrico fiio,

§. 6.Nonpr*tereundum eft filentio,

laudefua digna eflfe hane quadrandicir- culumviam,cuminnumcris fuam digni-

tatemtueatur,(Quamquäl fealiger ab iis longiuseftdigreftus)tarnen cumpeream

clkqi'gh# geometrica haberinonpoifit, &

<ju» motuimaginario abfolvitur, concipi debeat,adufiimminuscommudé applicari pofle cenfetur.

§. 7. Proportio perimetri ad dia-

metrum, utid^obiternotem» å fc al_{ige ro}

aflignata,eftpotentia decupla,.quamvel

A _$ Indis

vel Arabibus deberipleriqjftatuunt.Sed

eamfalfitats jam olim Bryfo arguit hoc

modo. Eftofifieri poteft,ntperimetrus

ad diametrum fit potentia decupla, &

ponatur diametrus efle i» eritigtur pe¬

rimetrus majorqua 3* Sedoftendic Ar-

chimedej efTe minorem: Nam

3^eftte-

tragonicum latus numeri9** qu* rninor eft 10. Non ergocirculi perimetrus ad diametrü eft decupla pofentia,quoderat

derr.onftrandum. Patet igitur hujusmo-

di terragonifmum fecundum Arabés efle

falfum, &extra lim'tesArchimedis. In#

dis v. eamattribuit Peurbackiusinträd.

fuper propof. Ptol. de fmib. Sc chordis ubiita icribit. Indi vero dicunt,fi quis

Iciret radices_numerorumreda radiceca-

rentium invenire, ille facile inveniret,

quanta effet diameter refpedu circum#

ferentise. Et fecundum eos , fi diame'

ter eflet 1 _, erit circumferencia Radix de i o* fiduo eritradix _{de 40,}fitria erit

radix de90,Sc fic dealiis.Eteft differentia inter Indos Sc pradicos _geometrise 1

& plusquam

feptimapars

uniusminuti.

H«c Adrianus Romanus in Apolog.

proArchimede _p.101,

Circvli

dimenfio

ex Archimedeexpo-

fita

äefenditur,

é

quomodo ipfius duUu

aecuratior

poflmodum inventafit,

mon-

flratur.

_{CÄP. III.}

i.ReftatMathematumdeliciae Ar*

A**

ed «bimedesSyracufanus, qui labilemfuga*

oc cemq> rotnndinaturam,primus omnium

us luculentiftimeexplicavit, isnfxct^icfA.ov ab

& Antiphonteacceptumadbginavurr i tra

e- Sc exrracirculiim adfcripriere adhibmc,

r- fcilicer.quando adinve.monem perij. he-

g. rix nullaapparueruntveftigia>iutralimi-

tescertifiimoseamconclulir, cuius pra>

^

clarum inveotum ^a quoquam

folliritari

ld non eft ferendum. Vt autem appareat,

a£ quamproculidagentes åveroabhnt.Ar*

JT

_e

chirncdis rationem dimetiendi circulum

proponemus.

$.2. h«f kvkk@->r<r& !$•)tfjtywvaofoum

tt ytovlu,å,ti^fjtXviXt£kfvtfitii'ov^uicct«»

is ti dt ireeJjutlp®* rjf ßxeret.Omnis,

a. circulusaequalis eft triangulo re&ängulo,

, cujusquidemquae excentro>sequalis

eft

i, ei,quasadangulumre&um,perimecrusy.

». baG. Archimediseftde dimenfionc cir#

x culiprop. i. Sit circulus FHIK _{Fig. V.}

it Iis triangulo T, fi enim

fieri poteft, fit

_{Fig." VI.}

a major,& infcribatur eidem quadratum

j HK&biflecenturlatera,donecper ide-

cimifegmenta minoraexceffu fiant, quo circulus Aguium fuperat. Reåilineum itaque triangulo roajuseft. SitcentrumL

&perpendicularisLM,quaeminoreftla- teretrianguli,& perimerer re£hlinei

bafi

trianguli minorerit, minus utiqne reéti-

lineumAgulo, quod eft abfurdum. Sit

verocirculus fi fieri poteft minor trian¬

gulo, circumfcribatur circulo quadratum NO

NO» &bifleeenturarcttf,ad punda fe-

dionum aganturcontingentes,Re&aN

Rfubtendens rcfttimangulumN GR<

major eft G R i. e. RH. & N RG per i fexti,majus eft triangulo R H G,

* $ N Rmajus quoq;eftdimidiofigur* N

FGH» relinquuntur ita omniafegmenta

minora exceflt»,_quotriangulum circulum

fu_peraf, Eftproinde redilineumcircum- (criptuminustriangulo, quod eft abfurdü:

eftenimmajusquodLG xqualis fitcathe-

totrigoni, &perimetcrbafimajor, igitur

circulusAgulosequatur,quoderatdemon»

ftrandum,

§. Hav-nt xvkAs $ f

ål&ptTiit rg/?rÅätcnuv igi

iKehrtrtvt« gGfopu t?tygpitfx, (a&tyn

F. VII. rf.«* rfgx* i^iofaovoKcpofxovoif' Cujuslibet

circulicircumferentia fu* diametritripla eft,&plus parte qu*minoreft feptima, majorveroquamJ°: EfthareArchimedis"

prop.) libri didi- Sit circulus, cujus

diameterAX»centrumV&YXcirculum contingens, ang. Y V X fit tertia pars redi,itaque VY ad YX fehabet ut $o6

ad ifj. unde _{per 47} primi VX paulo major quam i6f invenitur. Dividatur !

YVXinduo «qua proredarn VB> erit,

per5 fexti,Y V ad VX^utYB ad BX. &

utraqueVY,VX ad YX,^utVX ad BX.

quarmajorem ad fe inricem habet _pro portionem, qu« 5-71 ad iyj. Eoaem

modoinreliquis bifledonibus eft proce- dendum, BtfleceturBYX, CX1fj,VX

vero majorqnas 116i\SicbifariamCVX

fe&o,BX i f3' VX major quam 2334*.

Deni _]ueDVXbiflecetur, EX ^{15 3»} VX

maiorquae 4673I invenitur. Quoniam

Y VXeftIre&i, erit EMlat polygoni 96

lat. circulo circiimfcripti. Sicut autent VX adEXmajorem habetproportionem qua?4673lad i/^.itaAXadEMper 1/

quinti.Ambitusigiturpolygoniaddiame-

truinmajoremhabet proportionemquam 14688 ad 4673!,qua? minoreft tripla Sc J. multomagis circuli perripheria majot

erit jj* Sit in eodem circulo AF latut hexagoni, AXF,periotertii, erit tertia

Pars recki. Pofito A X if6o eritAF 78o,hincXF paulo minor 1371 inveni¬

tur. Dividatur induo_«qua AX Fper rettam GX, erit FAG _{per 21} tertii»

GXF,ie GX Aarqtialis. Quare,per 4

fexti,AX ad AG, ficGA ad GH, & ita AX ad AH* Verum ficutAX ad AH, itautraquefirotilFXiAXad AF,Sc fi-

cututraque ffmiilFX, AX ad FA, fic

XG ad G A» Quare,XG ad G Amino¬

rem habet proportionem qu« 2911 ad

780. Inde X AminorpröVenit quam 3013*. Deinde in dtio _{«qua dividatur}

AXGdu&aXL Eademratiöné XIad IA minofemhabet proportionemquam

J9M4ad780,vel 1823ad240,hinc AX

minor quse183 8J(. Item IAXre&alcX

biflecetur. _{K X ad}KAminorem Kabe¬

bitproportionemquae3661 had240,i.e.

ioof

joOyad66.Hinc AXminor qu*toO^.

VlfirnofecetufXXA refta LX,XL ad L AminoremHabebitproportionem,qua

»0165ad 66.hincAX _{m;norqti* 1017^}

Ctimau emAF fa^toriusperipheriaeerit

L A larus polygam 96 Lat. citculo im

fcripti. Quareambitustodus

polygoni

ad diametrum AX minorem habebit proportionem qnx6^6 ad 2017J, quae minore'.'r muito magis circulj pere-

pheriaea minor erit, quoderat demon- ftrandum.

§. 4. Hifce Archisnedes demonftra- tionibusfirmiffimis,& ca! ^ulo accuratil- fimo luamkujcaa firmavit.Quam

mirum eil, J. Scabgerum» virum alias

vari«(5cItupfendaeraditione inltru&um,

au non percepilTe, aut oppugüare fuiflfe

aufum,quod ipfius hypoihehbus adver-

farecur. Sed iampridem ejusparalogi- (mos, Clavius Chrittmannus, Ådriaaus

Romanus_, aliiq, excufferunt,utdeijsin prxfentiaagerenihd attmeat. Tantum

notamusnovos circuliquadratotes,hanc regiam v»am femper habuifle mfeftam»

quodipforum inventionum fulf'tate de- tegeret &redargueret. Nihilominus in- ftarRegulaleibiajcenferfdebet,_{ad quam} quatenusaliornminventa aceedunt, vel

ab eadifcedunt,^tantnm ea,verovelcon-

fentire , vel ddientire, ftatuendum eft.

Quod uteviclensfiat,propoficum Archi- anedis atteadendum _venit,

§* S'

§, f. Eutociusincomment.exHera- *

clidis libello de vita Archimedis, hoc fi-

gnificanreraljegat. r5™ hr Q>n<ncünyyvt Muyfai. Scilicetlaudat ibidem Hera-

clides Archimeciem, ob peripherise vit»

neceffariaminvenrionem,hoc tarnen ad*

dit,idabeoproxime efle demonftratum.

Archimedes ipfe in libro de fphsera&

cylindro, inftarpoftulati habendum vult,

TWY civtu iri^/iTa. iyxtrwv ygep/jtfxwv ihctyl-

wijvocinfv & prop. 1. ejusdem

librb probat cujuslibet rettilinei circulo circumicripti

ambitum peripheriam

ex- cedere,& confequenter infcripti eidem cédere, quodtarnen

generali luce affum-

pfit porjusquam

demonftravit. Vnde

col#

ligere licet»

Archimedem

non

utBryfo

voluit,determinaflemediam, velut An- tipho,ftatuiffefiibtenfas

arcubus

aequari,

fedcircumferentiamcirculi,interinfcripti

&circumfcripti polygoni ambitum ver- fari. Exquorum ambitucognirc,elici

pof-

fetproportio, quas non

longe recedit £

proportioneperimetri

circuli ad diame-

trum. Vndegeodaifiae circularis ulus fa-

ciljs & parabili» proveniret. Nunquam

vero voluitArchimedesmonftrare,quae- niam lineaperipher^effet sequalis,

quod

in indaganda ratione circuli ad diame-

tri quadrattim , proportionem

affumpfit

quam jufto majoremeife probare

voluit,

ut mox apparcbit.

J. 6. O' qr&f to vis

hxpi-

liv

Hfl? 7IT(sgtyuvov Koyov tyti ovtot> <sr£$f JF.VIII. Circiilusaddiametri quadratum propor-

tionemhabet _quam U ad 14. Efto cir»

culus cujusdiamerrns SR>& circumfcri-

baturquadratum VP,fiatque OQaequa- lisperipheru circnlij acq eideo SO Q

cirailoäquale, iamper 1 fexti SO Q fe

habet adSOPurbaies O Q^ad PO i.^e«

2i ad _7»cumau'cm PV ficSPOquadru- plum. SQjOad P Verituc 2i

ad 28 i.e.

ur »iad 14.quoderatdemonftraiidum.

§. 7 Eadem proportio,cumaliacom-

modiordan non poflet, mox rqceptaeft,

& in hunc ulque diem vulgo adhibita.

Apud veteres Macrobium in fonanium fcip-c.io,Piin.l.i.c.ij Scalios pallimin-

venirur. Hodieq» éam omnes

fere

pra&i*

ci Scmecbanici in praxiq

lotidiänä

reti-

uent* Veruritamenfatendum éft, eam in geomecrico & Aftronomico calculo, quando

fcrupulose öpcrari velimus, ufq;

adeoaccuratamnöneile,_quin fenübilem quendam errorem pjriat Quamobrem

«lri'icer defudarunt illi, qui vcfttgiis infi- j

ftenresArchimedis, ex polyg.mo pluri- i xnorumlat. circulo inltripto Sc Circura- fcripto, ardiorcs limites

nobis prarfxe-

runt Quod, licet praeter Archimedis j

inftiturum fit,cumne ea quidem via ad exquifitiHimum pervcnin

pofle putabat,

laudabiletarnenelt, cum exatSEoremvul- _j

gan in pron-ptu habere,

perutile fit

^ne-

ceüariumque, qusenamautemilla fit, ia

fe-

fequentibui oftendetiir.

§. 8. Quandoquidém in

luperiofibu$

mondratumeft,periphcriam circuli intet infcripti& circumfcripti polygonianabi-

tum verfari: Ideo (iinterextrema me¬

diumqusratur,id iis utiq; vero propius

accedit. Cumqueexpraccedenti Epilo- gifmo» 6g,lat.96,circulocircumfcriptae*

diameteradperimetrum inventafit, ma¬

jorem habere proportione» quam 14688»

ad467}'. Quarepofitadiametrö ²⁰⁰⁰

000, eritperimetermajorquam61865?•

Prarterea diameterfigur» infcriptac totide laterum,inventaeft minoremadperime¬

trumhabereproportionem, quam 2oi7j

ad63 36. Ergo & hicfuppofitadiamerro eadem, perimeter minor erit 6181819,

lamFaéiaadmedium redu&ione, diame¬

terad perimettum fehabet,ut ^2000000 ad628^736. vel iooooooad 3141868,

AqUibus abie6ti»tribusultimisnotis,ad- huccommodioris calculo numeri,iiimi-

rum haberi poffunt. Quas quidem

medianonlongerecedit ab ea> quam ex

majoreU» minoreil,,mediani \'0\elicuit

J. BaptiftaRicciolus,

§• 9* pragmatia,quoniam non-

nuliis minus accurara vifa eft, alia via huicmalo occurrendum efie ftatuebant:

Inq irendo ^nimirum proportionem nu- merisa^curationbus conftantem. Intes quosexvetenbus,Eutociocelte,eftApol*

ioiiius Perg*us, Philo Apogadarus, Et

B Cl«-

Claudius PtolomaßUl. Et hujuiquidem Iii

proportioeft,03?4°°°rs> fcuteam exprimir, _pC

antea memoratusRicciolusin Almagefto te]

fuonovo. Hac v.rhultofubtiliorc,&ac- jm curatioremVieta reperit,nempe de

Qua: cum Ludolphi proportione tam br ar<åé conlentit, ^ut haud iciam^{> an} ille Ve

fuam vel ä Vieta fiimpferit, vel adillius ^m,

examinaric. _tai

10. Catterum Ludolphus _{ille å j}

Ceulen logifta exercitatisfimus, horuna

omnium accuratarn diligentiam fupera- fui vir: Qui feätionumveftigiis, ad circuli $n menfuramoftendendaminfiftens,eandem a]j

infcriptarum inventionem,adtaxationera _pe

diametri _{3 j} cyphrarum^, fexagies conti- tei

nuavit* Adeoque refolutione irrationa- _p0 litim,qui in tra&atu ejus decirculo ex- i _Q ftant,putavit fe inminimis numeris, ve- jn ramproporfionem peripheriac circuli ad ^£),

diametrum,^{aut verae} adeovicinamelicu# _qU ifle^üt nullafenfibilisdfferentia interce- dii deret. Quo pa&o terminos iftos nobif jn{

fummo cum labore expreflit, quos tan» dr;

quamexantiatoruinlaborurateftes,fepul- 00

chrofuo(quod Lugduni Batavorum po- fitumeft) infcribi juflit. Indeeos V. Cl. ' iMag. Jonas Fornelius» Aftr. in hac eft Regia Acad. Prof. Ord., prxceptor tio

mein abfquemeritalaudenunquam no- coi fninandus.å fedefcriptos, mecum com- fit

municavit Etquoniam circularis lineaß ris

addiametrum veramratiooe», omnife#

culo

culo apodi&icé frußra quasfivit morta.

lium induftriasexifttmavimc reraapro-

pofitomeo minimé «lienam fadurum,fii

termino« iftos,fcitu jiicundos,ufuq*^non

inutiles, adverum quam proximé acce#

dcntei, du&u Archimedaeo,_{Sc ope} alge- brse, ab antea memoratoLudolpho, in.

ventos» iconifmo» ficut in eju« monu#

men tohodiedepidnscernitur,repraefen#

tarem. Quem ipfum fig.ixqualitercun#

que adumbrateconatus fum.

}U, No»intadumrelinquerc pof-

fum,quodvir eruditionis proftindae W*

Snellius,_prop.51 Cyclometrici _{fui, paulo}

alirerhanc proportion?exprimat. Quip-

pe å dextra incipiendo, ^nota decima* ' tertia, Scdecimafeptima, in _utraquepro- portione nobiscft 1, quaeSnellio eft _4.

! Qtiodprocul dubio redins eft. JEtenim

intradatuLudolphi dccirculo, A. _<596 Delphisexcufo» ubi _{proporrio hajc ali#}

quantb minoribus numeris coroprehen*

, ditur, Sc ex polygono lat. _1075741814 infcripto &circumfcripto, initio ^a qua#

dratofado,ad diametrum _iooooocooo

oooooooooooofcooo, inrentus eft _514I"

59101558979515847, minor _5141591-

^^/^979515846.

Vbinota penultima

eft_{4, qua:}nobiseft r. Eandem _propor- tionem _fine dubio ulrerius å Ludolpho

eontinuaram Snellius accepit, Sc expref-

fit} _quara Lapicida,iifdem planenurne-

tis ^non eft exfculpta.

B » $-1».

i*. Quod, fiquis jamvol^et fcm- pulofisfimecalculum

inftituere, hac

pro- portione (correftis tamen

primum,

eo modo,utjamdi&umeft,numensjluipo-

teft. Sumendo nimirum ex fig-ix ter- minum quemcunque voluerit, perinde

eft,^cumintereos,nonmajor unitate fit difterenria, qux in tam magno numere eftinfenfibilis. Verumcumfint ilhnu-

merivaldeprolixi, Si incalculo txdioft, prxftat f vel7 notasabinitio

adfume-

re,iifque calculumabfolvere. Vel,fi quis

velit, aliam proporcionem numeris ^pau-

cioribus conftantem habere ^, adfiunat

eam,quamMe insa patre luo inventam

efle ait, adhibetque in fua Geometria pra&ica, nempe",'. Qu« ^cum Ludol- phi6primis numerisfatisexa&é convenit.

Quamproinde fivequis eligat, fivc Lu- dolphi, qux calculo fatisaptaeft. Vel

aliam,ipfixquivalentem, pcriudeeft,cos- demnamque numerosinde deducet.

i* i3•Qi10 certioresdemimerisLudol- pbxis eflfe deberemus, examinarunt eos viriernditi: Etquidemid fibi propoluit Grimbergerus é loc. Ielif, qui eos veros efte calculo fuo comprobavit. Prxterea

eofdemnonparunu confirmat, quod Snellius,alia metbodolongc faciliorieof

dem bmitescfexkngulo,Ludolph*is^pau*

lolaxiores prxfixit. De quibus videa¬

tur cyclometricus ejus, Hilce accedit

Vietac

Victse cakuli confenfus, qm anteCo- lonienfem ex arquationsbus algebraicis,

inquibusiucomparabilis fui',eofdem^nu-

meros,licetnonaiqué extenfosinvenerat, Quapropter minime lufpe&i nob.s eflf©

debent illinumeri,_quos tanta inter lite- ratosnomina>calculoluocomprobarunt.

Pr*terhos,Magnus ille ApolloniusPer#

gseus» AdrianusRomanus, aliique hane

eandem materiam excoluerunt, _{quos ia}

^

prajfentiabrevitatis

caufa

prarteimuto.

14. Cacterum, quinoviscircahoc problema inventisorbi innotefcere vo- luerunt, Sc apodi&ic* ejus folucionis

laude animopratceperunt, facileinvene-

runt,quidinhane regiam yiamobiici pof-

fet , uc eorum epichirimatibus tanto

I majordeberetur honos. Quidam nume- I ^roruna ratiocinium plane improbarunt⁵

Aliiineo,id folum aefiderarunt,quodin

ultimis peripheri* legmentis habendi«^, femper aliquid numeris non quadratis

adhaereat,quod in radicesplene deriyari

nequeat.Il'i,eådemquaidproponunrfa-»

cilitarereiiciuntur, hi,cumnonignota A- nalyticis proferant,^non videntur eorum

propofirum re&epercepilfe. Qui luben»

£ tesconcedunt,furdorumnumerorum ra*

dices,^non poflfe omni ciK&ßa'xs rigore,

ut prorfus nihil ^remaneat,inveniti. Eo

tarnen lealgebraIpeciofae'bpe, progredi pofle cxiftimant, ut ne parteLo.**, avero

k aberrent. Quod^cum prorfus infenfibile

B 3 fit,

fir,_pronihiJo arftknatur. Prseterea fub-

tiliffimo epilogifmoadmultasmyriadnm

myriadaj numeros

extendunt,

ut fi qua:

Lubricitas in calculofiat,ea poft /omm

aut 60 °*m extra&ionem, in ultimam ^ant

penulrimam110tamrecidat. Propterquam fi quistotum ilhim numerorum appara-

tum rcpudiet, iniquus certe exiftiman-

dus cft » cum in fcirpo, quod ajunt*

nodum dedita _{opera quserat.}

JjÜ la^tdUi (fojUl Q VI 3

^S1 uvp OOOO O OO o O DOO0OOOO

O o OOOOOOQO

O 00 ooooö

f

ußp&tjkw dp rjv j&iy

M