Sida 1 av 8
Tentamen i Linjär algebra, HF1904
Datum: 19 okt 2020 Skrivtid: 14:00-18:00
Lärare: Elias Said, Joakim Dahlfors Examinator: Armin Halilovic
För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.
• Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)
• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B eller Klass C eller Omregistrerad för enklare sortering.
• Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar.
--- Uppgift 1. (2p)
För vilket värde på parameter a har nedanstående system (med avseende på x, y och z) oändligt många lösningar. Lös systemet för detta värde på a.
2 3 7
2 4 8
1 x y z
x y z
x y az + + =
+ + =
+ + = −
Uppgift 2. (2p)
Låt vara planet som går genom punkterna A=(1,1,1), B=(2,2,3) och C=(4,3,4).
Bestäm avståndet från punkten P=(1,0,1) till planet .
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna
3 1 34
2 2i
− −
. Ange svaret på a + form. bi Var god vänd.
Sida 2 av 8 Uppgift 4. (2p)
Bestäm en ekvation för planet som går genom följande två (parallella) linjer
1: ( , , ) (1,1,2) (1,2,1)
L x y z = +t och L1: ( , , ) (1,2,3) (1,2,1)x y z = +t . Ange planets ekvation på formen ax+by+cz+d =0.
Uppgift 5. (2p) Låt L vara den räta linjen som går genom punkten (1,2,4) och som är vinkelrät mot planet Π: x+2y z+ =4 . Bestäm den punkt på linjen L som ligger närmast punkten M=(5,1,2).
Uppgift 6. (3p) Bestäm ett komplext tal z a bi= + som satisfierar ekvationen 2z+3z = + . 1 i
(Notera att z a bi= − .)
Uppgift 7. (2p) Bestäm alla matriser X som uppfyller 2 31 2
[
3 8]
2 3 X
=
.
Uppgift 8. (3p) Ekvationen 2z3−7z2 −10z+50 0= har en lösning z1= − . Bestäm alla 3 i lösningar.
Uppgift 9. (3p)
Låt S vara spegelbilden av punkten P i linjen L. Linjens ekvation är
( , , ) (0,2,2) (1,2,2)x y z = +t . Bestäm spegelbilden S om punkten P =(6,0, 2)− .
P
S L
Uppgift 10. (2p) Bestäm x ur följande ekvation
2 2 2
1
1 0
1 a a b b x x
= .
Lycka till!
Sida 3 av 8
Lösningsförslag:
Uppgift 1. (2p)
För vilket värde på parameter a har nedanstående system (med avseende på x, y och z) oändligt många lösningar. Lös systemet för detta värde på a.
2 3 7
2 4 8
1 x y z
x y z
x y az + + =
+ + =
+ + = −
Lösning:
Detta system kan t.ex. lösas med totalmatris enligt
�2 3 1 1 2 4 1 1 𝑎𝑎� 7
−18 � ~ �1 2 4 2 3 1 1 1 𝑎𝑎� 8
−17 � ~ �1 2 4
0 −1 −7
0 −1 𝑎𝑎 − 4� 8
−9−9� ~ �1 2 4
0 1 7
0 0 𝑎𝑎 + 3�8 90�.
Oändligt många lösningar då 𝑎𝑎 = −3 vilket ger följande fortsättning på lösningen
�1 2 4 0 1 7 0 0 0�8
90� ~ �1 0 −10
0 1 7
0 0 0 �−10
90 �.
Sätt 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 ⇒ � 𝑦𝑦 + 7𝑡𝑡 = 9𝑥𝑥 − 10𝑡𝑡 = −10 ⇒ 𝑦𝑦 = 9 − 7𝑡𝑡 𝑥𝑥 = −10 + 10𝑡𝑡 Svar: 𝑥𝑥 = −10 + 10𝑡𝑡, 𝑦𝑦 = 9 − 7𝑡𝑡, z=t , där t R∈
Alternativ: �𝑥𝑥
𝑦𝑦𝑧𝑧� = �−10
90 � + 𝑡𝑡 �10
−71 � , där t R∈ . Rättningsmall:
Rätt a = – 3 ger 1p. Korrekt metod och en av variablerna x eller y ger +1p.
Uppgift 2. (2p)
Låt vara planet som går genom punkterna A=(1,1,1), B=(2,2,3) och C=(4,3,4).
Bestäm avståndet från punkten P=(1,0,1) till planet .
Lösning:
Först skall planets ekvation bestämmas.
(1,1,2) (3,2,3) AB= och AC =
Planets normal ges via 1 1 2 ( 1,3, 1) 3 2 3
i j k
n AB AC= × = = − −
0 3 0
ax by cz d+ + + = ⇒ − +x y z d− + = (välj t. ex punkt A) ger d = − 1
: 3 1 0
Planetsekvation − +x y z− − =
Avståndet från punkten P till planet ges via: d ax by cz d0 2 0 2 02 a b c
+ + +
= + + (formelbladet)
Sida 4 av 8
2 2 2
1 3 0 1 1 3 3 3 11
11 11 11 ( 1) 3 ( 1)
d = − + ⋅ − − = − = =
− + + −
Rättningsmall:
Rätt planets ekvation ger 1p. Resten rätt ger 1p.
Fel ekvation ger 0p.
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna
3 1 34
2 2i
− −
. Ange svaret på a + form. bi Lösning:
Skriver om 3 1 2 2
z= − − i på polär eller potensform.
2 2
3 1 4
( ) ( ) 1
2 2 4
z = − + − = = och
1 1 7
arg( ) arctan 2 arctan
3 3 6
2
z = +π − = +π = π
−
7
7 7 6
(cos sin ) cos sin
6 6
i i
z z= α+i α = z eα ⇒ z= π +i π =e π
34 34
34 3 1 cos7 sin7 cos(34 7 ) sin(34 7 )
2 2 6 6 6 6
z = − − i = π +i π = ⋅ π +i ⋅ π Vinkeln
7 7 6 18
34 17 17 ( ) 17 2 17 3 2 6
6 3 3 3 3 3 3 3 3
π π π π π π π − +π π π π π π
⋅ = ⋅ = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ = = − + ⋅ = − +
Alltså 34 cos( ) sin( ) cos( ) sin( )5 5 1 3
3 3 3 3 2 2
z π i π π i π i
= − + − = + = −
Svar: 34 1 3
2 2
z = −i Rättningsmall:
Rätt belopp och argument dvs. z ocharg( )z ger 1p. Fel här ger 0p Rätt z34 i polär eller potensform ger 1p.
Ej svarat på a+ib form -1p.
Uppgift 4. (2p)
Bestäm en ekvation för planet som går genom följande två (parallella) linjer
1: ( , , ) (1,1,2) (1,2,1)
L x y z = +t och L1: ( , , ) (1,2,3) (1,2,1)x y z = +t . Ange planets ekvation på formen ax+by+cz+d =0.
Sida 5 av 8 Lösning:
Båda linjernas har riktningsvektor 𝑣𝑣⃗ = (1,2,1) som ligger i planet. Vektorn mellan de två linjernas utgångspunkter, dvs 𝑢𝑢�⃗ = (1,2,3) − (1,1,2) = (0,1,1) ligger också i planet. En normalvektor 𝑛𝑛�⃗ till planet är ortogonal mot båda dessa och erhålls ur
𝑛𝑛�⃗ = 𝑣𝑣⃗ × 𝑢𝑢�⃗ = �𝑒𝑒⃗𝑥𝑥 𝑒𝑒⃗𝑦𝑦 𝑒𝑒⃗𝑧𝑧
1 2 1
0 1 1� = � 1
−11 �.
Då kan planets ekvation skrivas 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 𝑑𝑑 = 0 där insättning av t.ex. (1,2,3) ger 1 − 2 + 3 + 𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑 = −2 så att 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 2 = 0.
Svar: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 2 = 0 Rättningsmall:
Rätt en normalvektor ger 1p. Allt rätt =2p.
Uppgift 5. (2p) Låt L vara den räta linjen som går genom punkten (1,2,4) och som är vinkelrät mot planet Π: x+2y z+ =4 . Bestäm den punkt på linjen L som ligger närmast punkten M=(5,1,2).
Lösning:
Linjens ekvation är P P tr där P= 0+ 0 =(1,2,4)och r planets normal n= =(1,2,1) dvs.
1 2 2 ,
4
x t
y t t
z t
= +
= + ∈ℜ
= +
Punkten på linjen som ligger närmast punkten M är Q=( , , )x y z Vektorerna MQ
och r
är vinkelräta vilket ger
0 ( 5, 1, 2) (1,2,1) 0 5 2( 1) 2 0 MQ r = ⇒ x− y− z− = ⇒ x− + y− + − =z
2 9 0 (1 ) 2(2 2 ) (4 ) 9 0 6 0 0
x y z t t t t t
⇒ + + − = ⇒ + + + + + − = ⇒ = ⇒ =
Svar: Närmaste punkten till punkten M erhålls för t = är 0 Q=(1,2,4)=P0 Rättningsmall:
Rätt linjens ekvation samt rätt ger 1p. Fel linjens ekvation ger 0p.
Allt rätt=2p
Uppgift 6. (3p) Bestäm ett komplext tal z a bi= + som satisfierar ekvationen 2z+3z = + . 1 i
(Notera att z a bi= − .) Lösning:
z a ib och z a bi= + = − substitueras i ekvationen 2z+3z = + 1 i
2(a ib+ ) 3(+ a ib− ) 1= +i ⇒ 2a+2bi+3a bi− = +1 i ⇒ 5a bi− = + 1 i
5 1 5 1 1 1 1
a bi i a och b a 5 och b
⇒ − = + ⇒ = − = ⇒ = = −
Sida 6 av 8 Svar: 1
z= − 5 i Rättningsmall:
Rätt 5a bi− = +1 i ger 1p. Fel här ger 0p.
Rätt ekvationssystem: 5a=1 och − =b 1 ger ytterligare 1p.
Allträtt=3p
Uppgift 7. (2p) Bestäm alla matriser X som uppfyller 2 31 2
[
3 8]
2 3 X
=
.
Lösning:
Matrisen 𝑋𝑋 måste vara av typ 1 × 3 så en ansats blir [𝑥𝑥11 𝑥𝑥12 𝑥𝑥13] �1 2
2 32 3� = [3 8] som ger � 𝑥𝑥11+ 2𝑥𝑥12+ 2𝑥𝑥13 = 3
2𝑥𝑥11+ 3𝑥𝑥12+ 3𝑥𝑥13 = 8. Då fås �1 2 2 2 3 3�3
8� ~ �1 2 2 0 −1 −1�3
2� ~ �1 0 0 0 1 1� 7 Sätt 𝑥𝑥13= 𝑡𝑡 ⇒ 𝑥𝑥12= −2 − 𝑡𝑡, 𝑥𝑥11= 7 så att 𝑋𝑋 = [7 (−2 − 𝑡𝑡) 𝑡𝑡]. −2�
Svar: 𝑋𝑋 = [7 −2 − 𝑡𝑡 𝑡𝑡]. Rättningsmall:
Korrekt tillhörande system � 𝑥𝑥11+ 2𝑥𝑥12+ 2𝑥𝑥13= 3
2𝑥𝑥11+ 3𝑥𝑥12+ 3𝑥𝑥13 = 8 ger 1p.
Allt rätt=2p
Uppgift 8. (3p) Ekvationen 2z3−7z2 −10z+50 0= har en lösning z1= − . Bestäm alla 3 i lösningar.
Lösning:
Eftersom ekvationen har reella koefficienter så även konjugatet till z1= − dvs. 3 i
1 3 2
z = + =i z en lösning. Polynomdivision 3 2
1 2
2 7 10 50
( )( )
z z z
z z z z
− − +
− − ger den tredje lösningen.
1 2 2
(z z z z− )( − ) ( 3 )( 3 )= − +z i z− − =i z −6 10z+
3 2
3 2 2
2
2 7 10 50 2 5 2 7 10 50 (2 5)( 6 10) 0
6 10
z z z z z z z z z z
z z
− − + = + ⇒ − − + = + − + =
− +
2 5
(2 5)( 6 10) 0 2 5 0
z z z z z 2
⇒ + − + = ⇒ + = ⇒ = −
Svar: Lösningar till ekvationen är z1= − , 3 i z2 = + och 3 i 3 5 z = − 2 Rättningsmall:
Korrekt till och med (z z z z− 1)( − 2)=z2−6 10z+ . Rätt polynomdivision ger +1p. Allt
Sida 7 av 8 Allträtt=3p
Uppgift 9. (3p)
Låt S vara spegelbilden av punkten P i linjen L: Linjens ekvation är
( , , ) (0,2,2) (1,2,2)x y z = +t . Bestäm spegelbilden S om punkten P =(6,0, 2)− .
P
S L
Lösning:
Vi bestämmer först den punkt i linjen, dvs. punkten Q som ligger närmast punkten P. (Det kan vi göra på flera olika sätt. Här är en av flera möjliga metoder.) På grund av symmetrin är
QS PQ = .
P
S L
Q
Låt r = (1,2,2)
. Då har vi
0 ( 6, , 2) (1,2,2) 0 2 2 2 0 PQ r = ⇒ x− y z+ = ⇒ x+ y+ z− =
2 2 2 2
2(2 2 ) 2(2 2 ) 2 0 ( , , )
3 3 3 3
t+ + t + + t − = ⇒ t= − ⇒ Q= − Utgående från origo dvs. O =(0,0,0) har vi
men eftersom
OS OP PQ QS = + + QS PQ =
får vi
20 2 8 40 4 16 22 4 10
2 (6,0, 2) 2( , , ) (6,0, 2) ( , , ) ( , , )
3 3 3 3 3 3 3 3 3
OS OP = + PQ= − + − = − + − = − Svar: Spegelbilden ( 22 4 10, , ) 2( 11,2,5)
3 3 3 3
S = − = −
Rättningsmall:
Rätt Q ger 1p. Fel punkt ger 0p.
Rätt analys till och med OS OP = +2PQ
ger +1p.
Allt korrekt=3p
Sida 8 av 8 Uppgift 10. (2p) Bestäm x ur följande ekvation
2 2 2
1
1 0
1 a a b b x x
= . �1 𝑎𝑎 𝑎𝑎2 1 𝑏𝑏 𝑏𝑏2
1 𝑥𝑥 𝑥𝑥2� = �1 𝑎𝑎 𝑎𝑎2 0 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏2− 𝑎𝑎2 0 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑥𝑥2− 𝑎𝑎2� =
= (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥2− 𝑎𝑎2) − (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏2− 𝑎𝑎2) =
= (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) − (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 + 𝑎𝑎) =
= (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)�(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) − (𝑏𝑏 + 𝑎𝑎)� = (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑏𝑏).
(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑏𝑏) = 0 ⇒𝑥𝑥1 = 𝑎𝑎, 𝑥𝑥2 = 𝑏𝑏 om 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 och 𝑥𝑥 valfritt om 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏.
Inses även direkt då två lika rader i en determinant ⇒ determinanten lika med noll.
Svar:
Fall1: Om 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 har vi två lösningar 𝑥𝑥1 = 𝑎𝑎, 𝑥𝑥2 = 𝑏𝑏
Fall2: Om 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 har vi oändligt många lösningar. Determinanten är 0 för varje tal x.
Rättningsmall:
Korrekt Fall 1 ger +1p Korrekt Fall 2 ger +1p
( 2 p endast om båda fall är korrekta)
