Sida 1 av 8
Tentamen i Linjär algebra, HF1904
Datum: 21 okt 2019 Skrivtid: 14:00-18:00
Lärare: Elias Said, Joakim Dahlfors Examinator: Armin Halilovic
För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.
• Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)
• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B eller Klass C eller Omregistrerad för enklare sortering.
• Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar.
--- Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z)
= + +
= + +
= + +
4 7 5 3
3 4 3 2
2 2 2
z y x
z y x
z y x
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Beräkna skärningspunkten mellan linjen L: ( , , )x y z =(1, 2, 0)+(2,1, 1)− t och planet 2x+ − =y z 10.
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna
14
2 3 2
1
+ i . Ange svaret på a+ form. bi
Var god vänd.
Uppgift 4. (2p)
Bestäm en ekvation för planet som går genom punkten A=(2,−1,3) och genom linjen )
1 , 2 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 ( ) , , (
:= x y z = +t −
L . Ange planets ekvation på formen ax+by+cz+d =0. Uppgift 5. (3p) Låt L vara skärningslinje mellan plan Π1: x+2y+2z=2
1
2: + + =
Π x y z . Bestäm den punkt på linjen L som ligger närmast punkten M=(1,1,1).
Uppgift 6. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen AX+BX =C+D (med avseende på X)
där
=
= −
=
= −
0 1
1 , 1
0 2
1 , 1
5 1
0 , 0
1 0
1
1 B C D
A .
b) (2p) Bestäm matrisen Y om
−
= −
−
− 8 4
2 4 2
4 1
2 Y .
Uppgift 7. (1p)
En konstant kraft på 6 N, som är parallell med vektorn v =(2, 1, 2)
, förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A=(1, 1, 1) till punkten B=(2, 3, 4). Beräkna det utförda arbetet.
(Längdenheter är i meter.) Uppgift 8. (2p)
Bestäm spegelbilden av punkten P=(3, 4, 3) i planet x+2y+ = . z 2 Uppgift 9. (3p)
Lös ekvationen 8z3+ = . Ange alla lösningar på a bi8i 0 + form.
Uppgift 10. (2p)
Låt V beteckna volymen av parallellepipeden som definieras (spänns upp) av vektorerna , och
u v w . Bevisa att V =| (u× ⋅v) w|. Lycka till!
Sida 2 av 8
Lösningsförslag
Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z)
= + +
= + +
= + +
4 7 5 3
3 4 3 2
2 2 2
z y x
z y x
z y x
Lösning:
Tillämpning av Gausseliminationsmetoden ger:
2 2 2 2 2 2
2 * 1 2
2 3 4 3 , 0 0 1
3* 1 3
3 5 7 4 0 2
x y z x y z
rad rad
x y z y
rad rad
x y z y z
+ + = + + =
− +
+ + = ⇒ − + = −
− +
+ + = − + = −
Rad 2: − = −y 1 ⇒ = y 1
Rad 3: − + = −y z 2 ⇒ = − + = − + = − z 2 y 2 1 1 Svar: ( , , )x y z =(2,1, 1)− Rad 1: x+2y+2z=2 ⇒ = −x 2 2y−2z= − − ⋅ − = 2 2 2 ( 1) 2
Rättningsmall: Rätt tillämpning av Gausseliminationsmetoden samt rätt lösning av en variabel ger 1p. Allt rätt ger 2p.
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Beräkna skärningspunkten mellan linjen L: ( , , )x y z =(1, 2, 0)+(2,1, 1)− t och planet 2x+ − =y z 10.
Lösning:
Skärningspunkten ges via insättning av linjens ekvation i planets ekvation. Detta resulterar i 2x+ − =y z 10 ⇒ 2(1 2 ) (2+ t + + − − =t) ( t) 10 ⇒ 6t=6 ⇒ t= 1
Skärningspunkten har koordinaten vid t=1:
1 2 3 2 1 3
1 x y z
= + =
= + =
= −
Svar: ( , , )x y z =(3, 3, 1)−
Rättningsmall: Rätt lösning av parameter t ger 1p. Fel lösning av parameter t ger 0p.
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna
14
2 3 2
1
+ i . Ange svaret på a+ form. bi
Lösning:
Låt 1 3 1 2 3 2 4
( ) ( ) 1
2 2 2 2 4
z= + i= ⋅z eiα där beloppet z = + = =
Sida 3 av 8
Medan argumentet som befinner i den första kvadranten (både reella och imaginära del är
positiva)
3
arg( ) arctan 2 arctan 3
1 3
2
z π
α = = = =
14 14 2 12 2 2
14 ( ) ( 2 2 ) ( )
3 14 3 3 3 3 3
1 3 1 3
2 2 2 2
i i i i i i
z i e z i e e e e e
π π ⋅π π+ π π+ ⋅ π π
= + = ⇒ = + = = = = =
(2 )
3 2 2 1 3
cos( ) sin( )
3 3 2 2
i
e i i
π = π + π = − +
(Observera att den nya vinkeln ligger i den andra kvadranten)
Svar:
14
1 3 1 3
2 2 i 2 2 i
+ = − +
Rättningsmall: Rätt belopp och argument ger 1p. (Fel belopp eller fel argument ger 0p.) Rätt till
(2 ) 3 i
e
π
ger 1p. Rätt omskrivning av
(2 ) 3 i
e
π
till a+bi form ger 1p.
Uppgift 4. (2p) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkten A=(2,−1,3) och genom linjen L:=(x,y,z)=(1,1,0)+t(1,−2,1). Ange planets ekvation på formen
=0 + + +by cz d
ax .
Lösning:
Linjen 𝐿𝐿 i planet och då även punkten 𝑃𝑃0 = (1, 1, 0) som med 𝐴𝐴 = (2, −1, 3) ger en vektor 𝑃𝑃0𝐴𝐴
�������⃗ = (1, −2, 3) i planet. ⇒ planets Normalriktning 𝑛𝑛�⃗ = (𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐) erhålls då ur 𝑛𝑛�⃗ = 𝑃𝑃�������⃗ ×0𝐴𝐴 𝑣𝑣⃗ = �𝑒𝑒⃗𝑥𝑥 𝑒𝑒⃗𝑦𝑦 𝑒𝑒⃗𝑧𝑧
1 −2 3
1 −2 1� = ⋯ = (4,2,0) = 2(2,1,0) så planets ekvation kan skrivas 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑑𝑑 = 0. Isättning av 𝑃𝑃0 = (1, 1, 0) ger 2 + 1 + 𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑 = −3.
Svar: 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3 = 0
Rättningsmall: Rätt planets normalvektor =1p. Allt rätt=2p.
Uppgift 5. (3p) Låt L vara skärningslinje mellan plan Π1: x+2y+2z=2 1
2: + + =
Π x y z . Bestäm den punkt på linjen L som ligger närmast punkten M=(1,1,1).
Lösning:
Kalla sökta punkten 𝑃𝑃. Ekvationen för 𝐿𝐿 fås genom att lösa systemet
= + +
= + +
1 2 2 2
z y x
z y x
Vi löser systemet med hjälp av totalmatrisen
�1 2 21 1 1�2
1� ~ �1 2 2 0 1 1�2
1� ~ �1 0 0 0 1 1�0
1�
som med 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 ger y=1–t och x=0.
Sida 4 av 8
Därmed är �𝑥𝑥
𝑦𝑦𝑧𝑧� = �0
10� + 𝑡𝑡 � 0
−11 � linjens ekvation.
𝑃𝑃 ligger på linjen 𝐿𝐿 och vid kortaste avstånd är 𝑀𝑀𝑃𝑃������⃗ ortogonal mot 𝐿𝐿:s riktningsvektor 𝑣𝑣⃗ = (0, −1, 1) så att 𝑀𝑀𝑃𝑃������⃗ ∙ 𝑣𝑣⃗ = �(0 − 1), (1 − 𝑡𝑡 − 1), (𝑡𝑡 − 1)� ∙ (0, −1, 1) = 0, alltså 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 − 1 = 0 ⇒ 𝑡𝑡 = 1/2 och då är 𝑃𝑃 = (0, 1, 0) +12(0, −1, 1) = �0,12,12�.
Alternativt kan linjen 𝐿𝐿:s riktningsvektor, som är ortogonal mot båda planens normalvektorer, erhållas ur 𝑣𝑣⃗ = 𝑛𝑛�⃗2× 𝑛𝑛�⃗1 = �𝑒𝑒⃗𝑥𝑥 𝑒𝑒⃗𝑦𝑦 𝑒𝑒⃗𝑧𝑧
1 1 1
1 2 2� = � 0
−11 �. Då fås ett plan, med normalvektor 𝑣𝑣⃗ som
−𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 𝑑𝑑 = 0 där båda punkterna ligger. 𝑀𝑀 i planet ger 0 ∙ 1 − 1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + 𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑 = 0 så planets ekvation är −𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 0. Sökt punkt ligger i skärningen mellan alla planen så
�1 2 2
1 1 1
0 −1 1�2
10� ~ �1 2 2
0 1 1
0 −1 1�2
10� ~ �1 0 0 0 1 1 0 0 2�0
11� ~ �1 0 0 0 1 0 0 0 1� 0
1/21/2� och P=�0,12,12�.
Svar: P=(0,1/2,1/2)
Rättningsmall: Korrekt ställt system för linjen L ger 1p. Korrekt ekvation för linjen 𝐿𝐿 =2p, allt korrekt =3p.
Uppgift 6. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen AX+BX =C+D (med avseende på X)
där
=
= −
=
= −
0 1
1 , 1
0 2
1 , 1
5 1
0 , 0
1 0
1
1 B C D
A .
Lösning:
Från ekvationen får vi (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)𝑋𝑋 = (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷) (*) Vi beräknar:
(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) = �1 + 0 1 + 00 + 1 −1 + 5� = �1 1 1 4�, (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷) = � 2 2−1 0�
Eftersom Det(A+B)=4–1=3 ≠0 är A+B inverterbar.
(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)−1=1∙4−1∙11 � 4 −1
−1 1 � =13� 4 −1
−1 1 �. Från (*) har vi:
𝑋𝑋 = (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)−1(𝐶𝐶 + 𝐷𝐷), 𝑋𝑋 =13� 4 −1
−1 1 � � 2 2
−1 0� =13� 9 8
−3 −2�
Rättningsmall: Korrekt fram till 𝑋𝑋 = 13� 4 −1
−1 1 � � 2 2
−1 0� ger 1p, allt korrekt =2p.
b) (2p) Bestäm matrisen Y om
−
= −
−
− 8 4
2 4 2
4 1
2 Y .
Lösning: Determinanten � 2 1
−4 −2� = 0 så matrisen � 2 1
−4 −2� är inte inverterbar.
Sida 5 av 8
Sätt 𝑌𝑌 = �𝑦𝑦11 𝑦𝑦12
𝑦𝑦21 𝑦𝑦22� så erhålls � 2𝑦𝑦11+ 𝑦𝑦21 2𝑦𝑦12+ 𝑦𝑦22
−4𝑦𝑦11− 2𝑦𝑦21 −4𝑦𝑦12− 2𝑦𝑦22� = � 4 2
−8 −4� . Härav för vi ett system med följande ekvationer:
2𝑦𝑦11+ 𝑦𝑦21= 4
−4𝑦𝑦11− 2𝑦𝑦21 = −8 2𝑦𝑦12+ 𝑦𝑦22= 2
−4𝑦𝑦12− 2𝑦𝑦22.
Vi kan lösa systemet med hjälp av totalmatrisen
�
2 0 1 0
−4 0 −2 0
0 2 0 1
0 −4 0 −2
�
−84
−42
� 𝑦𝑦11 𝑦𝑦12 𝑦𝑦21 𝑦𝑦22
𝑟𝑟2 + 2𝑟𝑟1~
𝑟𝑟3 + 2𝑟𝑟4
�
2 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0
� 40 20
�.
Sätt 𝑦𝑦11= 𝑡𝑡
𝑦𝑦12= 𝑠𝑠 så erhålls � 𝑡𝑡 𝑠𝑠 4 − 2𝑡𝑡 2 − 2𝑠𝑠�
( Metod 2: Vi kan separat lösa ett system med första två ekvationer med avseende på två variabler 𝑦𝑦11 och 𝑦𝑦21. Därefter kan vi lösa sista två ekvationer m.a.p 𝑦𝑦12 och 𝑦𝑦22)
Rättningsmall: Korrekt totalmatris/ekvationssystem =1p, allt korrekt =2p.
Uppgift 7. (1p)
En konstant kraft på 6 N, som är parallell med vektorn v =(2, 1, 2)
, förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A=(1, 1, 1) till punkten B=(2, 3, 4). Beräkna det utförda arbetet.
(Längdenheter är i meter.) Lösning:
Arbetet W = •F AB
där
2 2 2
1 1
6 (2, 1, 2) (4, 2, 4)
2 1 2
F F v
v
= = ⋅ =
+ +
och
(2, 3, 4) (1, 1, 1) (1, 2, 3)
AB= − =
(4, 2, 4) (1, 2, 3) 4 4 12 20 W = • F AB= • = + + = Nm
, Svar: Arbetet = 20 Nm Rättningsmall: Rätt eller fel
Uppgift 8. (2p)
Bestäm spegelbilden av punkten P=(3, 4, 3) i planet x+2y+ = . z 2 Lösning:
Sida 6 av 8
- Bestämning av linjens ekvation som går genom punkterna P och spegelbilden (spegelpunkten) S samt är vinkelrät mot planet. Linjens riktningsvektor är parallell med planets normal.
Linje L:
3 4 2
3
x t
y t
z t
= +
= +
= +
kommer att skära planet i punkten Q.
Avståndet mellan punkterna P och Q är lika med avståndet mellan punkterna Q och S, dvs. PS=2PQ
- Bestämnings av skärningspunkten Q genom insättning av linjens ekvation i planets:
(3+ +t) 2(4 2 ) (3+ t + + =t) 2 ⇒ t= −2 ⇒ Q= −(3 2, 4 2 ( 2), 3 2)+ ⋅ − − =(1, 0, 1) - Bestämning av spegelbilden (spegelpunkten) S:
2 ( ,x y, z) (3, 4, 3) 2((1, 0, 1) (3, 4, 3)) ( 4, 8, 4)
PS= PQ ⇒ s s s − = − = − − −
( ,x y, z) ( 4, 8, 4) (3, 4, 3) ( 1, 4, 1) S s s s
⇒ = = − − − + = − − −
Svar: Spegelbilden S = − − − ( 1, 4, 1)
Rättningsmall: Rätt bestämning av punkten Q samt motivering att PS=2PQ
ger 1p. Fel beräkning av punkten Q ger 0p.
Uppgift 9. (3p)
Lös ekvationen 8z3+ = . Ange alla lösningar på a bi8i 0 + form.
Lösning.
3 3 3
8z + =8i 0 ⇒ 8z = −8i ⇒ z = − i (binomisk ekvation)
( )
3 3 3 3 23 3 i2 i 2 n
i i i
z z e z z e z e och i e e
π π π
α α α + ⋅
= ⇒ = = − = =
3 2
3 3 3 i 2 n
z i z ei e
π π
α + ⋅
= − ⇒ =
- Beloppet: z3 =1 ⇒ z =11/3 =1
- Argumentet: 3 2
3 2
2π n π2 n 3π
α = + ⋅ π ⇒ α = + ⋅ , där n=0, 1, 2
0 0
0 cos sin
2 2 2
n= ⇒ α =π ⇒ z = π +i π =i
1 1
2 7 7 7 3 1
1 cos sin
2 3 6 6 6 2 2
n= ⇒ α = +π π = π ⇒ z = π +i π = − − i
Sida 7 av 8
2 2
2 11 11 11 3 1
2 2 cos sin
2 3 6 6 6 2 2
n= ⇒ α = + ⋅π π = π ⇒ z = π +i π = − i
2 0 3 0
2 15
3 3
2 3 6 2
n= ⇒ α = + ⋅π π = π π= =α ⇒ z =z
Svar: Ekvationen 8z3+ = har lösningarna: 8i 0
z0 = i , 1 3 1
2 2
z = − − i , 2 3 1
2 2
z = − i
Rättningsmall: Rätt
3 2
3 3 i 2 n
z ei e
π π
α = + ⋅ ger 1p. Fel i detta steg ger 0p. Rätt erhållna samtliga vinklar ger 1p. Rätt svarat på a+biform ger 1p.
Uppgift 10. (2p)
Låt V beteckna volymen av parallellepipeden som definieras (spänns upp) av vektorerna , och
u v w . Bevisa att V =| (u× ⋅v) w|.
Låt vektorerna u och v vara basvektorer till parallellepipeden (parallellogram) medan höjden av parallellepipeden ges via beloppet av den ortogonala projektionen av vektorn w i vektorn
(u v × ). Då är volymen V =basarea höjden⋅ . - Basarea A= ×u v
- Höjden 2 2
( ) ( )
( )
Pr u v
w u v w u v
w u v
h oj w u v u v
u v u v u v
×
• × • ×
= = • × × = × =
× × ×
-
( )
( )
w u v
V basarea höjden u v w u v
u v
= ⋅ = × ⋅ • × = • ×
×
V.S.B
Rättningsmall: Rätt höjd ger 1p. Fel höjd ger 0p.
Sida 8 av 8
