Sida 1 av 6
Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 3
Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar
Examinator: Armin Halilovic
För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.
Komplettering sker inom sex veckor efter att resultat meddelats.
Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.
• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)
Låt u=( p1, ,2)
, v=(2,3,q)
. Bestäm p och q så att u och v
blir parallella.
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Vi betraktar linjen L: (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0)
Bestäm
a) en enhetsvektor parallell med linjen ( det finns två sådana enhetsvektorer) b) 3 punkter ( bland oändligt många) som ligger på linjen L.
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) a) (2p) Bestäm det reella talet a så att
i ai 5 2 1
−
+ blir reellt.
b) (1p) Bestäm z ur ekvationen
i z
z 3 10 4
2 + = −
.---
Var god vänd.
Uppgift 4. (4p) För vilket värde på a har systemet
= + +
=
− +
= + +
4 3
3
2 2
1 az y x
z y x
z y x
i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.
Uppgift 5. (2p) Bestäm en ekvation för planet Π som går genom punkten A=(1,2,3) och genom linjen L: (x,y,z)=(1+t,t,t).
Uppgift 6. (3p)
a) (1p) Lös ekvationen z48= 1− −i. b) (2p) Bestäm Re(w om) w=(1+i)100.
Uppgift 7. (4p)
a) (2p) Lös följande matrisekvation med avseende på X X
X
−
=
+
0 1
1 1 2 1
4 3 0 0
2 1 0
1 0 1
b) (2p) Lös följande matrisekvation med avseende på Y [1 2]Y =[3 2].
Uppgift 8. (4p) Följande två plan Π1: x+2y+2z=0och Π2: 2x− y+2z=0skär varandra längs en linje L. Det finns två plan P1 och P2 som går genom linjen L och delar mitt itu vinklarna mellan Π1 och Π2. Bestäm ekvationer för P1 och P2.
Lycka till.
Sida 2 av 6
FACIT
Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)
Låt u=( p1, ,2)
, v=(2,3,q)
. Bestäm p och q så att u och v
blir parallella.
Lösning:
) 2 , , 1 ( p u=
och v=(2,3,q)
är parallella om de har proportionella kordinater dvs q
p 2
3 2
1 = = . Härav 2
= 3
p och q=4.
Svar:
2
= 3
p och q=4.
Rättningsmall: 1 poäng för varje parameter.
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Vi betraktar linjen L: (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0)
Bestäm
a) en enhetsvektor parallell med linjen ( det finns två sådana enhetsvektorer) b) 3 punkter ( bland oändligt många) som ligger på linjen L.
Lösning:
a) En riktningsvektor är v = (1, 2, 0) . En enhets vektor parallell med linjen är )
0 , 2 , 1 5( 1
|
| 1
1 = v =
e v
.
b) Tre punkter på linjen för vi om vi substituerar tre värden ( vilka som helst) på parametern t i ekvationen (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(v1,v2,v3):
T ex. t = 0⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+0⋅(1,2,0) = (0,2,1) t = 1⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+1⋅(1,2,0) = (1,4,1) t = 10⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+10⋅(1,2,0) = (10,22,1)
Svar: a) En enhets vektor parallell med linjen är (1,2,0) 5 1
|
| 1
1 = v =
e v
. b) Tre punkter (0,2,1) , (1,4,1) och (10,22,1)
(Det finns oändligt många korrekta svar) . Rättningsmall: a,b) Rätt eller fel.
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) a) (2p) Bestäm det reella talet a så att
i ai 5 2 1
−
+ blir reellt.
b) (1p) Bestäm z ur ekvationen
i z
z 3 10 4
2 + = −
.Sida 3 av 6
Lösning:
a)
i ai 5 2 1
−
+ =
29
) 5 2 ( ) 5 2 ( 5 2
5 2 5 2
1 a a i
i i i
ai = − + +
+
⋅ +
−
+ .
Om detta tal skall vara reellt måste imaginärdelen vara 0, vilket ger 2a+5=0 d v s a =−5/2.
c)
Vi substituerar yi x z yi x
z= + , = − i ekvationen
i z
z 3 10 4
2 + = −
och får
. 4 10 5
4 10 ) ( 3 ) ( 2
i yi
x
i yi
x yi x
−
=
−
−
=
− + +
Vi identifierar reella delar på båda sidor och imaginära delar på båda sidor och får:
=
⇒ =
−
=
−
=
. 4 2 4
10 5
y x y
x
Därmed z =2+4i.
Svar: a) a=−5/2 b) z =2+4i
Uppgift 4. (4p) För vilket värde på a har systemet
= + +
=
− +
= + +
4 3
3
2 2
1
az y x
z y x
z y x
i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.
Lösning:
Systemets determinant det(A) =
a 3 3
2 1 1
1 1 1
− =0 för alla a. (Beräkna själv). Därmed fallet
”exakt en lösning” inte kan förekomma.
− +
=
−
=
= + +
⇔
=
−
−
=
= + +
⇔
=
−
=
−
= + +
⇔
= + +
=
− +
= + +
3 / ) 3 ( 1 0
3 / 1
1
1 ) 3 (
3 / 1
1
1 ) 3 (
1 3
1
4 3
3
2 2
1
a z
z y x
z a
z z y x
z a
z z y x
az y x
z y x
z y x
− +
=
−
=
= + +
⇔
3 / ) 3 ( 1 0
3 / 1
1 a z
z y x
=
−
=
= + +
⇔
3 / 0
3 / 1
1 a z
z y x
Härav ser vi att systemet har oändligt många lösningar om a=0och ingen lösning om a≠0 Svar i) Exakt en lösning kan inte förekomma
ii) oändligt många lösningar om a=0 iii) ingen lösning om a≠0.
Rättningsmall: a) Korrekt determinant =1p. En poäng för varje korrekt del. Allt rätt = 4p.
Sida 4 av 6
Uppgift 5. (2p) Bestäm en ekvation för planet Π som går genom punkten A=(1,2,3) och genom linjen L: (x,y,z)=(1+t,t,t).
Lösning:
Linjen L går genom punkten B=(1,0,0) och har en riktningsvektorv=(1,1,1). Först BA=(0,2,3)
En normalvektor till det sökta planet är n=BA×v=
) 2 , 3 , 1 ( 2 3 1
1 1
3 2
0 =−i + j− k = − −
k j
i
.
Planets ekvation är −1(x−1)+3(y−0)−2(z−0)=0 eller −x+3y−2z+1=0. Svar: −x+3y−2z+1=0
Rättningsmall: a) En poäng för en korrekt normalvektor. Allt rätt = 2p.
Uppgift 6. (3p)
a) (1p) Lös ekvationen z48= 1− −i. b) (2p) Bestäm Re(w om) w=(1+i)100. Lösning:
a)
i k
i
z e
e z
i
z
48) 4 2 (5
96 / 4 1
5 2 / 1 48
48
1 2 2
π π
π +
=
⇒
=
⇒
−
−
=
, där k=0,1,2,47.b) w i e i e πi eπi
π
50 25 50 100 2 4 / 1
100 2 2 2
) 1
( = =
= +
= ( periodiska egenskaper)
=250(cosπ i+ sinπ)=−250. Därmed Re(w)= −250.
Svar: a) i
k
e
z 48
) 4 2 (5
96 /
21
π+ π
= b) Re(w)= −250. Rättningsmall: a) Rätt eller fel
b) allt rätt 2p ( -1 för varje räknefel) Uppgift 7. (4p)
a) (2p) Lös följande matrisekvation med avseende på X X
X
−
=
+
0 1
1 1 2 1
4 3 0 0
2 1 0
1 0 1
b) (2p) Lös följande matrisekvation med avseende på Y [1 2]Y =[3 2].
Lösning:
⇒
−
=
+
X X
0 1
1 1 2 1
4 3 0 0
2 1 0
1 0 1
⇒
=
2 1
2 2 0
2 1
2 X ⇒
−
− −
= 1 2
2 2 2 2
1 0 2 X 1
=
⇒
−
−
− −
= 2 0
2 1 2 1 0
2 2 1 2
1 X
X
b) Från ekvationen inser vi att Y har format 2x2.
Sida 5 av 6
Låt
= d c
b
Y a . Då gäller
⇔
=[3 2] ]
2 1
[ Y [1 2] ⇔[( +2 ) ( +2 ]=[3 2]
a c b d
d c
b a
Härav a+2c =3 och b+ d2 =2
eller a=3−2c och b=2−2d, där c och d varierar fritt.
Svar: a)
=
0 2
2 1 2
X 1
b) a=3−2c och b=2−2d, där c och d varierar fritt.
Rättningsmall: a) allt rätt 2p ( -1 för varje räknefel) b) allt rätt 2p ( -1 för varje räknefel)
Uppgift 8. (4p) Följande två plan Π1: x+2y+2z=0och Π2: 2x− y+2z=0skär varandra längs en linje L. Det finns två plan P1 och P2 som går genom linjen L och delar mitt itu vinklarna mellan Π1 och Π2. Bestäm ekvationer för P1 och P2. Lösning:
(Tips: Rita en figur.)
Planen Π1 och Π2 har normalvektorer a =(1,2,2)och b =(2,−1,2)
. Vi bestämmer tillhörande enhetsvektorer och får (1,2,2)
3 1
1=
n och (2, 1,2) 3
1
2 = −
n .
Därför är (3,1,4) 3 1
2 1+ n = n
och ( 1,3,0) 3
1
2
1− n = −
n
normalvektorer till sökta plan P1 och P2. De sökta plan går genom punkten O= (0,0,0) (eftersom Π1 och Π2 går genom origo).
Därmed har vi följande ekvationer för P1 och P2. P1: 3x+y+4z=0 och P2: −x+3y=0.
Svar: P1: 3x+y+4z=0 och P2: −x+3y=0. Rättningsmall: rätt P1 ger 2p ( 1 för normalen) rätt P2 ger 2p ( 1 för normalen)
Sida 6 av 6
