Något om (ODE) och Mathematica

Något om (ODE) och Mathematica

Bertil Nilsson 2021-08-15

ť Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till ordinära differentialekvationer med flitig användning av Mathemat- ica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.

ť Introduktion och terminologi

En differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller en okänd (sökt) funktion och dess derivator. Uppgiften är att bestämma funktionen så att (DE) uppfylls. Naturligtvis kan man också ha system av differentialekvationer, där man söker flera obekanta funktioner likt variabler i ett vanligt ekvationssystem.

Många frågeställningar inom naturvetenskap och teknik leder naturligt till modeller som innehåller differentialekvationer. Utan dessa skulle man behöva genomföra mängder med laboratorieförsök och all slags planering och förutsägelser bli tids- och arbetskrä- vande till alldeles för höga kostnader. Att använda (DE) som redskap för att härma verkliga förlopp kallas simulering och därmed tillhör de ett av de allra viktigaste matematiska hjälpmedlen för en ingenjör och för produktutvecklande företag handlar det om

“Computational Thinking” och avgörande konkurrenskraft. Därför är det viktigt att lära sig

finna analytiska lösningar till några vanliga enkla typer av differentialekvationer både för hand och med Mathematica,

använda Mathematica för att bestämma analytiska lösningar och numeriska lösningar då differentialekvationen är för svår eller omöjlig att lösa analytiskt. Det sistnämnda är naturligtvis det som är vanligast i verkliga livet,

ställa upp en differentialekvation som modell för en fysikalisk situation, tolka och utvärdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga fysikaliska situationen för att avsluta med simulering och optimering i Mathematica.

Om y x är den sökta funktionen i en (DE) kallas x för den oberoende variabeln. Ofta används tiden t som oberoende variabel eftersom många (DE) gestaltar hastighetsförlopp och då är ju derivator med avseende på tiden inblandade. Beror y av endast en variabel säges (DE) vara en ordinär differentialekvation (ODE). I problemformuleringar brukar man friskt blanda de olika skrivsätten för derivator. Likaså brukar det inte heller vålla någon förvirring att utelämna den oberoende variabeln.

Exempel: Samma (ODE) i olika skepnader

y' x y x x, y' y x, ^y_x y x Vi söker funktionen y x där x är den oberoende variabeln.

Om y beror av flera variabler säges (DE) vara en partiell differentialekvation (PDE). Dessa är mycket vanliga i ingenjörstillämp- ningar, t.ex. hållfasthetsberäkningar med den så kallade Finita elementmetoden. Som namnet (PDE) antyder har vi att göra med partiella derivator. De faller helt utanför ramen för denna kurs.

Exempel:Vi söker utböjningen u hos en vibrerande sträng på en gitarr eller harpa.

Uppenbarligen varierar den både med läget x längs strängen och tiden t, alltså u x, t . Den klassiska PDE som beskriver strängens rörelse i rummet och tiden kallas för vågekvationen

2u t² c^{2 2}_x^u₂

där c är en positiv konstant som bär karakteristiska data för strängen, så som längd, diameter och elasticitet.

En (DE) säges vara av ordning n om n:te derivatan är den högsta förekommande derivatan av y. Man talar om första, andra osv.

ordningens differentialekvation.

Exempel:Vi ser att y' x y x ^x är en första ordningens ODE x³y'''' x y'' x sin x är en fjärde ordningens ODE y'' x y x x är en andra ordningens ODE yⁿ x cos x y' x x är en n:te ordningens ODE En (ODE) säges vara linjär om den kan skrivas på formen

i 0n aix yⁱ x f x a0 x y x a1x y' x anx yⁿ x f x

där aix och f x är funktioner av x. Annars kallas den olinjär. Då f x 0 säger vi att (ODE) är homogen annars inhomogen.

Exempel: Visst är x_²

a₂x

y'' x sin x

a₁x

y' x tan x

f x

en linjär (ODE) av andra ordningen. Även de fyra differentialekvationerna i

föregående exempel är linjära, men tydligen är

y' x y² x ^x en första ordningens olinjär ODE y'' x cos y x 0 en homogen andra ordningens olinjär ODE y'' x y x x en andra ordningens olinjär ODE y'' x sin y''' x 0 en homogen tredje ordningens olinjär ODE

Derivator med avseende på tiden är mycket vanliga i fysik. Ofta skrivs de med “prickar”, t.ex. Newtons accelerationslag mx F som är en andra ordningens (ODE). Här är x t läget eller koordinaten för kroppen med massan m som utsätts för kraften F i positiv x- riktning. Med definition av hastighet och acceleration har vi prickbeteckningarna x ^x_t, “x-prick”, för hastigheten och x ^x_t ²_t2^x,

“x-prickprick”, för accelerationen.

Om en funktion satisfierar en differentialekvation kallas den för en lösning eller partikulärlösning. Exempelvis ser vi efter insät- tning att y x x³ är en partikulärlösning till y' x 3x². Men även y x x³ 3 och y x x³ 7 eller y x x³ C1, där C1 är en godtycklig konstant. Mängden av alla partikulärlösningar kallas för den allmänna lösningen eller lösningsskaran. Att lösa en differentialekvation är att finna den allmänna lösningen. I detta fall är alltså y x x³ C1 den allmänna lösningen till den linjära ordinära differentialekvationen y' x 3x² och representerar genom olika val av C1 ett oändligt antal partikulärlösningar, se nedan.

I denallmänna lösningentill en differentialekvation ingår alltid lika många godtyckliga konstanter Cisom

differentialekvationen har ordning. 3 2 1 1 2 3 x

30 20 10 10 20 30 y x

x³ 20 x³ 10 x³ x³ 10 x³ 20

Ibland har vi också en så kallad trivial lösning y x 0. Exempelvis har y' x y x 0 den triviala och (oftast) för ingenjörer ointressanta lösningen y x 0, vid sidan om y x C1 x. Att båda är lösningar inses efter insättning.

ť Begynnelsevärde och randvillkor

För att få den speciella lösning som motsvarar lösningen till ett fysikaliskt problem måste vi fixera samtliga konstanter Ci genom att vid någon känd ögonblicksbild applicera så kallade begynnelsevärden (BV) eller begynnelsevillkor. Namnet kommer sig av att man oftast känner tillståndet då man börjar studera systemet, det vill säga i begynnelsen. För entydighet måste vi ange lika många begynnelsevärden som vi har ordning. En uppsättning ODE BV kallas för ett begynnelsevärdesproblem (BVP). Ibland fixeras konstanterna vid olika lägen eller tidpunkter, då talar man om randvärden (RV) eller randvillkor och randvärdesproblem (RVP).

Ofta ser man en kombination av dem och ibland innehåller (ODE) ytterligare konstanter som ska fixeras med hjälp av kända tillstånd under resans gång. I brist på fantasi kallas även dessa tillstånd lite vanvördigt för (RV).

Exempel:En bil påverkas av en konstant framdrivande kraftFd, luftmotståndet som är proportionellt mot farten i kvadratFa cx² och rullmotståndet som är proportionellt mot fartenFr kx. Sök det begynnelsevärdesproblem BVP som bestämmer bilens läge

som funktion av tiden, det vill säga x t . x

m

d

Fr

Fa

Lösningsförslag: Skådespelet vi söker beskrivs av Newtons accelerationslag mx F, där x t är läget i ett jordfast koordinatsystem,

x

t x hastigheten, ²_t2^x x accelerationen och F summan av de krafter som verkar i koordinatriktningen x. Eftersom det är en andra ordningens differentialekvation så vi behöver två (BV) för entydig lösning. Antag därför att bilen startar från vila och att vi rullar ut måttbandet samtidigt som vi startar klockan. Då får vi

BVP

mx Fd cx² k x ODE x 0 0

x 0 0 BV .

Vi återkommer med mer konkreta exempel på hur Ci bestäms med hjälp av (BV) och (RV) under varje avsnitt längre fram.

Notera att begynnelsevärden (BV) och randvillkor (RV) skall appliceras på den allmänna lösningen. För att få en entydig lösning behövs det lika många BV RV som vi har Ci, det vill säga lika många som differentialekvationen har ordning.

Man börjar alltså med att bestämma den allmänna lösningen till (ODE) därefter appliceras BV RV.

ť Ordinära differentialekvationer och Mathematica

En stor klass av ingenjörsproblem kan modelleras av så kallade separabla första ordningens (ODE), linjära första ordningens (ODE) eller linjära andra ordningens (ODE) med konstanta koefficienter. Men innan vi ger oss i kast med dessa och en uppsjö exempel kan det vara läge att se vad en av våra bästa vänner Mathematica har att säga i ärendet.

Vi börjar med en enkel första ordningens differentialekvation y' x y x 0 och dess lösning.

DSolve y ' x y x 0, y x , x y x c1 x

I Mathematica används funktionen DSolve för att lösa en stor klass av differentialekvationer, allt från enkla separabla och linjära av godtycklig ordning till mycket komplicerade olinjära. Den löser även system av differentialekvationer och är mycket lättanvänd.

Strängt taget handlar det om att skriva av rätt! Lägg märke till att Mathematica förstår den vanliga nomenklaturen med ' när vi menar derivata. Notera de nödvändiga []-parenteserna eftersom y x ska vara en funktion av x! För övrigt kan man naturligtvis använda vilka namn man vill. Observera dubbla likhetstecken eftersom det är en ekvation! Det är inte bara namnet som antyder släktskap med Solve, utan även hantering av indata och resultat. Som vanligt gäller att när man väl förstått filosofin bakom Mathematica är det mesta självklart! Här kommer några till. Notera speciellt, som sig bör, att vi får lika många obestämda konstanter ci, vilka vi kallar Ci vid handräkning, som vi har ordning. Det är ordning på Mathematica

DSolve y ' x y x Sin x , y x , x

y x c1 x 1

2 sin x cos x 

DSolve1 x² y ' x 2 x y x 1 x² ArcTan x , y x , x

y x c₁x² 1 1

2^x² 1tan¹x²

DSolvex '' t 4 x ' t 4 x t ^{2 t}, x t , t

x t c₂ ^{2 t}t c₁ ^{2 t} 1 2

2 tt²

Man kan givetvis ta med begynnelsevärden eller randvärden för att få konstanterna bestämda. Dessa paketeras då tillsammans med differentialekvationen i en lista. Tänk på att även begynnelsevärdena ska anges som ekvationer, det vill säga med två likhetstecken.

Så begynnelsevärdesproblemet

BVP y' x y x sin x ODE

y 0 2 BV

är bara att skicka rakt in i Mathematica och piggar sedan upp oss med en bild över situationen.

yAvx DSolve y ' x y x Sin x , y 0 2 , y x , x Simplify Plot y x . yAvx, x, 0, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "yA x "

y x 1

2 5 ^x sin x cos x 

1 2 3 4 5 x

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

yAx

Då varken vi eller Mathematica kan finna en analytisk lösning finns funktionen NDSolve till vår hjälp för att göra en ren numerisk lösning. Utdata från denna är en InterpolatingFunction som kan verka lite märkvärdig innan man blivit vän med den. Den fungerar dock som vilken annan funktion som helst. För övrigt är den ett kraftfullt redskap om man vill göra interpolation i t.ex.

mätdata. Som exempel kör vi en repris på begynnelsevärdesproblemet ovan. Det enda som skiljer i menyn som serveras jämfört med DSolve är att man, likt Plot, måste ange i vilket intervall man vill att spektaklet ska utspela sig.

NyAvx NDSolve y ' x y x Sin x , y 0 2 , y x , x, 0, 5

y x InterpolatingFunction Domain:0. 5. Output:scalar ^x

Plot y x . NyAvx, x, 0, 5 , PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y_N x "

1 2 3 4 5 x

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

yN x

Den triviala lösningen y x 0 levereras normalt inte av Mathematica. Exempelvis det inledande exemplet i repris DSolve y ' x y x 0, y x , x

y x c₁ ^x

Notera dock att om vi med (BV) startar någonstans på x-axeln, det vill säga y x0 0, så är vi dömda att stanna kvar där enligt den triviala lösningen. Detta inser naturligtvis Mathematica. Så återigen, olika (BV) kan ge helt olika lösningskurvor, eftersom (ODE) är rik på lösningar genom olika val av Ci.

DSolve y ' x y x 0, y 17 0 , y x , x y x 0

ť Riktningsfält

En första ordningens (ODE) kan alltid skrivas på den generella implicita formen g x, y, y' 0 I många fall kan vi lösa ut y' explicit och skriva den på formen

y' f x, y

Lösningarna till denna (ODE) kommer att utgöras av kurvor i xy-planet, en för varje konstant C1. Vi vet ingenting om deras utseende men vi kan dra slutsatsen att om en lösningskurva går genom en viss punkt x0, y0 så måste kurvans tangent i den punkten ha riktningskoefficienten f x0, y0. Om dessa ritas ut i ett antal xy-punkter, oftast ett rutnät, får vi ett så kallat riktningsfält. För givna (BV) kan man då skissa lösningskurvan och få en kvalitativt god bild över situationen och studera dramatiken i dess omgivning.

Ibland gäller nämligen att små störningar i (BV) ger en helt ny lösningskurva, så kallat kaotiskt beteende. Kanske har du hört om

“butterfly”-effekt som utgör en av flera svårigheter med att göra långa väderleksprognoser. Vi lättar upp stämningen med ett

Exempel: Rita riktningsfält och lösningskurva till BVP y' xy ODE y 0 ¹₂ BV . Lösningsförslag: Först lösningen till (BVP)

yAvx DSolvey ' x x y x , y 0 1 2

, y x , x

y x

x2 2

2 ^

Sedan ritar vi in denna tillsammans med riktningsfältet som är färglagt efter riktningskoefficientens storlek.

Show Plot y x . yAvx, x, 0, 1.05 , VectorPlot 1, x y , x, 0, 1 , y, 0, 1 , VectorColorFunction Hue , AspectRatio Automatic, AxesLabel "x", "y"

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x

0.6 0.7 0.8 y

ť Separabel första ordningens (ODE)

En (ODE) kallas separabel om den kan skrivas på formen

g y ^y_x f x

där g y och f x är kända och kontinuerliga funktioner i var sitt intervall. Då har de primitiva funktioner G y respektive F x i dessa intervall. Med definition av primitiv funktion och kedjeregeln i färskt minne får vi så den allmänna lösningen på följande sätt

g y ^y_x f x g y ^y_x f x 0 ^{G y}_y ^y_x

KR: ^{G y}_x F x

x 0 _x G y F x 0 G y F x C1

Namnet separabel kommer sig av att om vi även betraktar måtten x och y som variabler så kommer x och y att separeras av likhetstecknet

g y _x^y f x g y y f x x

Eftersom G y g y y och F x f x x får vi i praktiken den allmänna lösningen genom att först separera variablerna och sedan “hänga på två integraltecken och en konstant i högerledet”

g y y f x x C1

Samma svar kommer vi fram till genom att formellt integrera båda sidor av g y ^y_x f x med avseende på x och sedan betrakta det som variabelsubstitution i vänsterledet

g y ^y_x x f x x C1 g y y f x x C1

Strängt taget får vi en integrationskonstant för varje obestämd integral. Men dessa kan bakas samman till en enda, vilket ju också är behovet med tanke på att vi har att göra med en första ordningens (ODE). Vi ser också att lösa en separabel (ODE), liksom kom- mande första ordningens (ODE), faller tillbaka på att kunna integrera. Repetera gärna “Något om Integraler och Mathematica”. Mot bakrund av hur lösningsmetoden är uppbyggd kommer den allmänna lösningen naturligt ut på implicit form h x, y 0. Vid hand- räkning brukar man nöja sig med detta svar om det inte är uppenbart att kunna lösa ut y x explicit, medan Mathematica däremot tycker om att späka sig till det yttersta för att i varje läge försöka leverera explicit form, inte sällan med hjälp av diverse exotiska funktioner. Det kan därför ibland vara svårt att jämföra lösningarna. Vi sammanfattar

En separabel differentialekvation g y ^y_x f x har allmänna lösningen g y y f x x C1

Exempel: Lös differentialekvationen y' 4 x x² 0.

Lösningsförslag: Separabel y 4 x x² x y 2 x^{2 1}₃x³ C1. För den här typen av enkla separabla brukar man säga att de

“integreras direkt”.

DSolvey ' x 4 x x² 0, y x , x

y x c1

x³ 3 2 x²

Exempel: Lös differentialekvationen y' 12 x² 8 x³ 0 med begynnelsevillkoret (BV) y 1 2.

Lösningsförslag: Vi har ett (BVP) och börjar alltid med att lösa (ODE) som är separabel y 12 x² 8 x³ x

y 12 ¹₃ x³ 8 ¹₄x⁴ C1 4 x³ 2 x⁴ C1. För den här typen av enkla separabla brukar man säga att de “integreras direkt”.

Konstanten C1 fixeras sedan av (BV) y 1 2: 2 4 1³ 2 1⁴ C1 C1 4. Så lösningen till (BVP) är y 4 x³ 2 x⁴ 4.

DSolvey ' x 12 x² 8 x³ 0, y 1 2, y x , x

y x 2x⁴ 2 x³ 2

Exempel: Lös differentialekvationen y' 5 x² cos 3x .

Lösningsförslag: Separabel eller “direkt integration” y 5x² cos 3x x y ⁵₃ x^{3 1}₃sin 3x C1. DSolvey ' x 5 x² Cos 3 x , y x , x

y x c₁ 5 x³ 3

1

3sin 3 x

Exempel: Lös differentialekvationen y' ^x_y.

Lösningsförslag: Separabel y' ^x_y y y x x ¹₂ y^{2 1}₂x² C1 x² y² C₁². Att döpa om konstanter eller att ge dem ny innebörd, i detta fall 2C1 C₁² är ett mycket vanligt hyss i branschen. Vi har ju att göra med en godtycklig konstant. Om det är ett (BVP) vi löser kommer det att bli rätt till slut ändå. Mathematica levererar lösningen på explicit form.

DSolvey ' x

x y x

, y x , x

y x 2 c1 x²,y x 2 c1 x²

Geometriskt betyder den implicita formen x² y² C₁²cirklar med centrum i origo och valfri radie C1.

x y

Exempel: Lös differentialekvationen y' ^x_y.

Lösningsförslag: Separabel y' ^x_y y y x x ¹₂ y^{2 1}₂ x² C1 x² y² C1. Geometriskt betyder den implicita formen en hyperbel där orienteringen bestäms av tecknet på C1. Fallet C1 0 ger strålarna y x som också är hyperbelns asymptoter, se nedan. Mathematica levererar lösningen på explicit form.

DSolvey ' x x

y x , y x , x

y x 2 c₁ x²,y x 2 c₁ x²

x y

x y

x y

C1 0 C1 0 C1 0

Exempel: Lös differentialekvationen x^{3 2y}_y'. Lösningsförslag: Separabel x^{3 2 y}_{y' 2 y}^{y' 1}

x³ 1

2 y y ¹

x³ x ¹₂ln y ¹

2 x² C1 ln y ¹

x² 2 C1

y ^{x2 2 C1} y ^{2 C1 x2}  ^{2 C1} C1 y C1 x².

DSolvex³

2 y x

y ' x , y x , x

y x c1

1 x2

Exempel: Lös differentialekvationen y' 2 x xy.

Lösningsförslag: Separabel y' 2 x xy _{y 2}^y' x _{y 2}¹ y x x ln y 2 ¹₂x² C1 y C1

x²

2 2.

DSolve y ' x 2 x x y x , y x , x

y x c₁ ^x22 2

Exempel: Lös differentialekvationen yy' x y'.

Lösningsförslag: Separabel yy' x y' y 1 y' x y 1 y x x ¹₂ y² y ₂¹x² C1 y² 2 y x² C1. Implicit form räcker gott! Men med kvadratkomplettering av y får vi y² 2 y 1² 1² x² C1 x² y 1² C1 1 x² y 1² C₁² vilket vi identifierar med cirkelns ekvation x x02 y y02 r², det vill säga lösningskurvorna är cirklar med centrum i 0, 1 , se nedan. Mathematica levererar lösningen på explicit form.

DSolve y x y ' x x y ' x , y x , x

y x 1 x² 2 c1 1,y x x² 2 c1 1 1

1.0 0.5 0.5 1.0x 0.5

1.0 1.5 2.0 y

Exempel: Lös differentialekvationen y' ^{x x y}.

Lösningsförslag: Separabel, ty vi har y' ^{x x y} y' ^{x y x} y' ^{x y} 1 ¹y 1 y ^x x

y

1 ^y y ^x x u 1 ^yosv. ln 1 ^{y x} C1 ln 1 ^{y x} C1. Implicit form räcker!

Mathematica levererar lösningen på explicit form.

DSolvey ' x ^{x x y x} , y x , x Simplify

y x log1 ^{c1 x}

Exempel: Lös differentialekvationen x y' cos y sin y 0.

Lösningsförslag: Separabel, ty vi har att x y' cos y sin y 0 x y' cos y sin y ^{cos y}_{sin y} y ¹_x x u sin y osv. ln sin y ln x C1 C1 ln C1 sin y C1x. Implicit form räcker!

Mathematica levererar lösningen på explicit form.

DSolve x y ' x Cos y x Sin y x 0, y x , x

y x sin^{1 c1}x

Exempel: Lös differentialekvationen x² 1y' x y.

Lösningsförslag: Separabel, eftersom x² 1y' x y ¹_y y _x2^x₁ x u x² 1 osv. ln y ¹₂lnx² 1 C1

2 C1 ln C1 ln ^y

2

x² 1 ln C1 y²

x² 1 C1 y² C1x² 1, Geometriskt betyder detta en kurvskara i xy-planet där varje bestämt värde på C1 ger en medlem av denna kurvskara. För C1 0 fås hyperbler, C1 0 ellipser och för C1 0 linjen y 0.

Mathematica levererar lösningen på explicit form.

DSolvex² 1 y ' x x y x , y x , x

y x c₁ x² 1

Exempel: Lös BVP

xy' 4 ODE

y 0 3 BV .

Lösningsförslag: Separabel, ty ^xy' 4 y' 4 ^x y 4 ^x C1. Till slut fixeras så konstanten C1 av (BV) y 0 3:

3 4 ⁰ C1 C1 7. Så lösningen till (BVP) y 4 ^x 7.

DSolve ^xy ' x 4, y 0 3 , y x , x Simplify y x 7 4 ^x

För att applicera (BV) har vi i detta och tidigare exempel använt oss av obestämd integral. Man bör även bemästra att genomföra kalkylen med bestämd integral. Egentligen är det samma sak man gör men de olika betraktelsesätten är en fråga om smak och de dyker upp i diverse olika framställningar. Vi tar dem parallellt

BV med obestämd integral BV med bestämd integral

xy' 4 Separera

y 4 ^x x Integrera

y 4 ^x C1

y 0 3 : 3 4 ⁰ C1 BV

C1 7

y 4 ^x 7 Lösningen

till BVP

xy' 4 Separera

3

y y ₀^x4 ^x x Integrera med BV direkt Gränserna är ögonblicksbilder Känd respektive allmän y₃^y 4 ^x₀^x Insättningstecken, döljer C1. y 3 4 ^{x 0} Nu är det bara att hyfsa

y 3 4 ^x 4

y 4 ^x 7 Lösningen till BVP

Exempel: Lös BVP ^1 x³y' x²y ODE

y 1 2 BV .

Lösningsförslag: Innan vi exercerar våra nyvunna kunskaper ännu en gång, kontrollerar vi facit med lösningen på explicit form.

DSolve1 x³ y ' x x²y x , y 1 2, y x , x

y x 2^{2 3 3} x³ 1

BV med obestämd integral BV med bestämd integral

1 x³y' x²y Separera

1

y y _{1 x}^x2₃ x Integrera u 1 x³osv.

ln y ¹₃ln 1 x³ C1

3 ln y ln 1 x³ 3 C1 lna^b b ln a , ln ab ln a ln b 3 C1 ln C1

y³ C11 x³

y 1 2 : 2³ C11 1³ BV

C1 4

y³ 4 1 x³ Lösningen till BVP

1 x³y' x²y Separera

2 y 1

y y ₁^{x x}_{1 x}²₃ x Integrera med BV direkt Gränserna är ögonblicksbilder Känd respektive allmän ln y ₂^{y 1}₃ln 1 x³ ₁^x Insättningstecken, döljer C1. ln y ln 2

1

3 ln 1 x³ ln 1 1³ Nu är det bara att hyfsa 3 ln y 3 ln 2

ln 1 x³ ln 2 ln y³ ln 1 x³ ln 2²

y³ 4 1 x³ Lösningen till BVP

ť Linjär första ordningens (ODE)

Enligt definition ovan kan en första ordningens linjär (ODE) skrivas på formen y' p x y q x

där p x och q x är kända och kontinuerliga funktioner. Som lösningsstrategi ska vi välja att multiplicera båda sidor i differentialek- vationen med en funktion f x och sedan jämföra vänsterledet med derivatan av produkten f x y. Vi får då

f x y' f x p x y f x q x Lika om

f ' x f x p x

x f x y f x y' f ' x y

Vi ser att om vi väljer f x så att f ' x f x p x blir _x f x y f x q x . Detta är en separabel (ODE) vars allmänna lösning är y x _{f x}¹  f x q x x C1

Frågan är bara om det finns ett f x så att f ' x f x p x ? Men visst! Detta är också en separabel (ODE) med lösningen f ' x f x p x _{f x}^f p x x ln f x p x x C1 f x ^{p x x C1}

Att lösa en linjär första ordningens (ODE) på detta sätt kallas för metoden med integrerande faktor, just på grund av det lämpliga faktorvalet som gör att lösningen fås efter en integration. Med detta val kallas f för integrerande faktor och vi benämner den med

. Vanligtvis väljer man i att sätta integrationskonstanten C1 0 eftersom den ändå kan divideras bort, ty

x ^{p x x C1 p x x C1 p x x}A med A 0

p x xA y' p x y ^{p x x}A q x Förkorta bort A 0

p x x y' p x y ^{p x x}q x

Men glöm aldrig C1 i den allmänna lösningen. Liksom i det separabla fallet gäller det att vara en smidig integrator! Vi sammanfattar.

En linjär första ordningens differentialekvation y' p x y q x har integrerande faktorn x ^{p x x}. Då är y' p x y q x _x x y x q x med allmänna lösningen y x ¹_x  x q x x C1.

Lär er inte formeln utan metoden! Glöm inte att multiplicera högerledet q x med x före separation!

Exempel: Lös differentialekvationen y' y 1.

Lösningsförslag: Separabel eller linjär, här väljer vi det senare. Genomför gärna det förstnämnda! Då blir integrerande faktorn

1 x x, och därmed _x ^xy ^x 1 Separabel ^xy ^x x Som vanligt är  ^xy ^x C1

y 1 C1 x.

DSolve y ' x y x 1, y x , x y x c₁ ^x 1

Exempel: Lös differentialekvationen y' y ^x.

Lösningsförslag: Linjär (ODE) med ^{1 x x}, så _x ^xy ^{x x} Separabel ^xy ^{2 x} x

xy ¹₂ ^{2 x} C1 y ¹₂ ^x C1 x. DSolve y ' x y x ^x, y x , x

y x c₁ ^{x x} 2^

Exempel: Lös differentialekvationen y' 5 y ^x.

Lösningsförslag: Ej separabel men linjär. Jämför med prototypen y' p x y q x y' 5 y ^x. Så ^{5 x 5 x} och

x ^{5 x}y ^{5 x x} Separabel  ^{5 x}y ^{4 x} x ^{5 x}y ¹₄ ^{4 x} C1 y ¹₄ ^x C1 5 x.

DSolve y ' x 5 y x ^x, y x , x

y x c1 5 x x

4^

Exempel: Lös differentialekvationen y' 2 y 3.

Lösningsförslag: Separabel eller linjär, som omväxling väljer vi det senare. Då blir integrerande faktorn ^{2 x 2 x}, så

x ^{2 x}y ^{2 x} 3 Separabel  ^{2 x}y 3 ^{2 x} x ^{2 x}y ³₂ ^{2 x} C1 y ³₂ C1 2 x. DSolve y ' x 2 y x 3, y x , x

y x c1 2 x 3 2^

Exempel: Lös BVP x y' 2 y 3 x 1 ODE

y 2 1 BV .

Lösningsförslag: Efter division med x får vi en linjär (ODE), y' ²_x y 3 ¹_x, och därmed är vi i välkänd terräng. Vi får här

2

x x 2 ln x lnx² x², så att _xx²y x²3 ¹_x Separabel x²y x^{3 1}₂x² C1 y x ¹₂ ^C_x¹₂. Slutligen med (BV) y 2 1: 1 2 ¹₂ ^C1

2² C1 2.

DSolve x y ' x 2 y x 3 x 1, y 2 1 , y x , x Simplify

y x 2 x² x 1

2^

ť Linjär andra ordningens (ODE) med konstanta koefficienter

Vi ska studera en i ingenjörssammanhang vanligt förekommande variant av andra ordningens linjära (ODE), nämligen då koefficien- terna framför y'', y' och y är reella konstanter. Då så inte är fallet har vi i allmänhet stora bekymmer att vänta och överlåter verk- samheten till Mathematica. Alltså

y'' a y' b y f x

där a och b är reella konstanter. Den allmänna lösningen till denna (ODE) består av två delar y x yh x ypx

där homogena lösningen yh x är lösningen till motsvarande homogena differentialekvation y'' a y' b y 0 och yp x är en partikulärlösning till den orörda y'' a y' b y f x . Man börjar alltid med den homogena lösningen eftersom den behövs för att göra en korrekt ansats av partikulärlösningen.

Homogena lösningen yh x

Studera den homogena differentialekvationen

y'' a y' b y 0

och byt y mot r och derivator mot potenser, så får vi en vanlig andragradsekvation i r som kallas för den karakteristiska ekvatio- nen. Denna har alltid två rötter som bestäms med välkänd formel

y'' a y' b y 0 r² ar¹ br⁰ 0 r² ar b 0

r1,2 a

2 ^a₂² b Den homogena lösningen beror nu på de två rötterna r1 och r2. Vi sammanfattar

Till den homogena differentialekvationen y'' a y' b y 0

hör karakteristiska ekvationen r² ar b 0 med rötterna r1,2 a

2 ^a₂² b . Den homogena lösningen yhx får vi då som ett av de tre fallen

Fall 1:r1 r2reella yhx C1 r₁x C2 r₂x

Fall 2:r1 r2reella yhx C1x C2 r₁x

Fall 3:r1,2 Α Β, Β 0 komplexkonjugerade yhx ^ΑxC1cos Βx C2sinΒx

Lär dessa utantill!

Vi ser att det är den homogena lösningen som bär de två konstanterna C1 och C2. För att övertyga sig om riktigheten i de tre fallen och att det inte finns några andra kan vi argumentera på följande sätt.

Gör variabelsubstitutionen y x z x ^r2x. Derivera produkten en och två gånger. Efter hyfsning har vi y' x ^r2xz' x r2z x

y'' x ^r2xz'' x 2 r2z' x r₂²z x Insättning i y'' a y' b y 0 ger

r₂xz'' x 2 r2 a z' x r₂² ar2 bz x 0

Eftersom ^r2x 0 för alla x och r2 är rot till karakteristiska ekvationen kan vi tillsammans med sambandet r1 r2 a mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation förenkla

r₂x



0

z'' x 2 r2 a

r₂ r₁

z' x r₂² ar2 b

0

z x 0

till en linjär (ODE) av första ordningen i z' x .

z' x ' r2 r1 z' x 0 Denna har då enligt tidigare avsnitt lösningen

z' x C1 r₁ r₂ x

som är separabel. Om nu r1 r2 får vi

z x _r^C1

1 r₂ r₁ r₂x C2

Substituera tillbaka y x z x ^r2x _r^C1

1 r2

r₁ r₂ x C2 ^r2x _r^C1

1 r2 C1 C1 r₁x C2 r₂x vilket är fall 1.

Om däremot r1 r2 blir z' x C1och efter separation

z x C1x C2

varav y x z x ^r1x C1x C2 r₁x som är fall 2. Fall 3 är något mer komplicerat men utveckling av fall 1 med hjälp av Eulers identitet ger

y x C1 r₁x C2 r₂x C1 ^{Α Β}x C2 ^{Α Β}x Eulers identitet

ΑxC1cosΒx sin Βx C2cosΒx sin Βx

Αx C1 C2 cosΒx C1 C2 sinΒx

ΑxAcosΒx Bsin Βx

där vi infört nya komplexa konstanter A C1 C2 och B C1 C2. Eftersom reella lösningar är de enda fysikaliskt relevanta bör dessa väljas rent reella och fall 3 skall användas då vi har komplexkonjugerade rötter till karakteristiska ekvationen.

De tre möjliga fallen av homogena lösningar illustreras kvalitativt i följande figurer. Vokabuläret är hämtat från mekanikens studium av svängningsproblem

x y x

x y x

x y x

Fall 1:Överkritisk dämpning.

Inte så vanligt förekommande i ingenjörssammanhang.

Fall 2:Kritisk dämpning.

Lösningskurvan skär x axeln högst en gång. Typiskt utseende för en ny hjulupphängning på en bil.

Fall 3:Underkritisk dämpning.

Mycket vanligt insvängningsförlopp.

Typiskt utseende för en gammal hjulupphängning på en bil.

Exempel: Sök homogena lösningen till y'' 4 y' 5 y 0.

Lösningsförslag: Vi får karakteristiska ekvationen och dess två rötter

r² 4 r 5 0 r1,2 4

2 ₂⁴² 5 2 3 r1 5

r2 1 Solver² 4 r 5 0

r 1 , r 5

Två olika reella rötter, så Fall 1 ger direkt yh x C1 5 x C2 x. Detta upptäcker naturligtvis även Mathematica.

DSolve y '' x 4 y ' x 5 y x 0, y x , x

y x c₁ ^x c₂ ^{5 x}

Exempel: Sök homogena lösningen till y'' 4 y' 4 y 0.

Lösningsförslag: Vi får karakteristiska ekvationen och dess två rötter r² 4 r 4 0 r1,2 4

2 ⁴₂² 4 2 0 r1 2

r2 2 Solver² 4 r 4 0

r 2 , r 2

Reell dubbelrot, så Fall 2 ger direkt yhx C1x C2 2 x. Detta upptäcker naturligtvis även Mathematica.

DSolve y '' x 4 y ' x 4 y x 0, y x , x Simplify

y x ^{2 x} c2x c1

Exempel: Sök homogena lösningen till y'' 4 y' 13 y 0.

Lösningsförslag: Vi får karakteristiska ekvationen och dess två rötter

r² 4 r 13 0 r_1,2 ⁴₂ ⁴₂² 13 2 3 r1 2 3

r₂ 2 3 Solver² 4 r 13 0

r 2 3 , r 2 3

Komplexkonjugerade rötter, så Fall 3 ger direkt yh x ^{2 x}C1cos 3x C2sin 3x . Detta upptäcker naturligtvis även Mathematica.

DSolve y '' x 4 y ' x 13 y x 0, y x , x Simplify

y x ^{2 x} c₁sin 3 x c₂cos 3 x 

Partikulärlösningen ypx

Studera nu den ursprungliga inhomogena differentialekvationen

y'' a y' b y f x

där den homogena lösningen yh x är bestämd enligt föregående avsnitt. Vi ska nu bestämma en partikulärlösning ypx som beror av högerledet. Det räcker att hitta en och för enkelhets skull nöjer vi oss här med att behandla några enkla och i praktiken vanligt förekommande funktioner f x . Övriga (i praktiken alla) fall överlåter vi till Mathematica. Vi sammanfattar resan i en kokbok och illustrerar sedan med några exempel.

Steg 0: Innan man börjar så kan man dra lite nytta av lineariteten hos (ODE) för att bespara sig alltför volymiösa handräkningar.

Nämligen om f x f1 x f2 x där fix är funktioner som vi befattar oss med enligt Steg 1 nedan, så gäller f x f1x f2x yp x y_p1x y_p2x

Man kan alltså genomföra Steg 1-3 nedan för varje fix och sedan lägga samman yp_i x till den slutliga yp x som motsvarar f x .