Chalmers Skrivtid: 8.30 - 13.30

MATEMATISKA VETENSKAPER Datum: 2014-03-14

Chalmers Skrivtid: 8.30 - 13.30

Telefon: Matteo Molteni 0703-088304

Tentamen i Fourieranalys MVE030 för F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE290 för TM2

Hjälpmedel: Godkänd räknedosa, BETA samt Några tips om Fou- rierserier m.m. i BETA, 2014 (två sidor).

Maxpoäng står inom parentes efter varje uppgift, med summa 62.

Betygsgränser: betyg 3: 30, betyg 4: 40, betyg 5: 50.

1. Utveckla funktionen f(x) = x

i sinusserie i intervallet [0, `], där ` är en positiv konstant. Ange också i vilka punkter se- rien konvergerar och vad dess summa är, och förklara varför.

(5+3)

2. Lös problemet







u

= ku

, 0 < x < `, t > 0 u

(0, t) = 2, u(`, t) = 1, t > 0

u(x, 0) = 2(x − `), 0 < x < `.

Här är k och ` positiva konstanter. (8) 3. Betrakta följande Sturm-Liouville-problem i intervallet [0, 3]:

y

+ λy = 0, y

(0) − y(0) = 0, y(3) = 0.

Hur många egenvärden med λ < 2 nns det? (9) 4. Finn en lösning u = u(x, t) till ekvationen u

= ku

− bu

i övre halvplanet {(x, t) : t > 0}, med initialvärden u(x, 0) = f (x) för x ∈ R. Här är f ∈ L

(R) en given funktion, och b ∈ R och k > 0 är konstanter. Svara med ett så explicit

uttryck som möjligt. (9)

5. Bestäm den bästa approximationen B(x) av funktionen f (x) = |x|, −1 ≤ x ≤ 1,

med polynom av grad högst 3, mätt med normen i rummet L

[−1, 1] . Beräkna också kf − Bk, där normen tas i samma

L

-rum. (6+2)

6. Lös Dirichlets problem ∆u = 0 i cylindern {(x, y, z) : x

+ y

< 1, 0 < z < L}

med randvärden u(x, y, 0) = u(x, y, L) = 0 för x

+ y

< 1 och u(x, y, z) = 1 för x

+ y

= 1, 0 < z < L . (8) 7. Formulera och bevisa satsen om punktvis derivering av Fou- rierserier. Det räcker att betrakta komplexa Fourierserier i

intervallet [−π, π]. (6)

8. Beskriv superpositionsmetoden för att lösa PDE-problem med

givna randvillkor och ev. initialvillkor. (6)

MATEMATISKA VETENSKAPER Datum: 2014-03-14 Chalmers

L ¨ OSNINGAR TILL

tentamen i Fourieranalys MVE030 f¨ or F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE290 f¨ or TM2

Uppgift 1.

Vi s¨ oker i intervallet en utveckling av typ x

=

∞

X

n=1

b

sin nπx

` , och koefficienterna ges enligt formeln av

b

= 2

` Z

0

x

sin nπx

` dx.

H¨ ar partialintegrerar vi tv˚ a g˚ anger och f˚ ar b

= − 2

πn h

x

cos nπx

` i

0

+ 4 πn

Z

x cos nπx

` dx

= (−1)

2`

πn + 4`

π

n

h

x sin nπx

` i

0

− 4`

π

n

Z

0

sin nπx

` dx

= (−1)

2`

πn + 0 + ((−1)

− 1) 4`

π

n

, n = 1, 2, . . . . Detta kan ocks˚ a uttryckas genom

b

= − `

πk och

b

= 2`

π(2k − 1) − 8`

π

(2k − 1)

,

b˚ ada f¨ or k = 1, 2, . . . . D¨ armed har vi funnit den s¨ okta seri- en.

F¨ or konvergensen observerar vi att den funna sinusserien

¨ ar Fourierserien f¨ or den udda, 2`-periodiska utvidgningen av f till hela R, och denna funktion ¨ar styckvis glatt i hela

1

2

R. Konvergenssatsen s¨ ager d¨ arf¨ or att Fourierserien konver- gerar mot den utvidgade funktionen i varje punkt d¨ ar den

¨ ar kontinuerlig. Speciellt g¨ aller det alla punkter i det ¨ oppna intervallet 0 < x < `. F¨ or ¨ andpunkterna 0 och ` kan man helt enkelt titta p˚ a serien och se att alla termerna ¨ ar 0, s˚ a den konvergerar mot 0. Detta f¨ oljer ocks˚ a av konvergens- satsen, eftersom den s¨ ager att man d¨ ar har konvergens mot medelv¨ ardet av v¨ anster- och h¨ ogergr¨ ansv¨ ardena f¨ or den ut- vidgade funktionen. Man ser (med en enkel skiss av grafen) att dessa medelv¨ arden ¨ ar 0. Detta besvarar fr˚ agan om kon- vergens.

Anm. Som alternativ f¨ or att finna Fourierserien kan man observera att funktionen x

har derivatan 2x i intervallet (0, `) och f¨ ors¨ oka med att integrera en Fourierserie f¨ or de- rivatan. F¨ or att f˚ a en sinusserie f¨ or x

beh¨ ovs d˚ a en co- sinusserie f¨ or 2x. Det inneb¨ ar en j¨ amn utvidgning av 2x till (−`, `), allts˚ a 2|x|. L¨ agg m¨ arke till att 2|x| ¨ ar derivatan av den udda utvidgningen x

sgn x av x

i (−`, `). Enligt BETA 13.1 (3), eller hellre “N˚ agra tips...”, ¨ ar

2|x| = `− 8`

π

∞

X

n=1

1

(2k − 1)

cos (2k − 1)πx

` , −` < x < `.

H¨ ar flyttar vi ¨ over termen ` till v¨ ansterledet, f¨ or att f˚ a en Fourierserieutveckling utan konstant term, av en funktion som d¨ arf¨ or har medelv¨ arde 0 ¨ over en period. D¨ arefter kan man anv¨ anda satsen om termvis integration av en Fourier- serie. En primitiv funktion av v¨ ansterledet ges i (−`, `) av x

sgn x + `x. D˚ a s¨ ager satsen att

x

sgn x + `x = A

− 8`

π

∞

X

n=1

1

(2k − 1)

sin (2k − 1)πx

`

f¨ or n˚ agon konstant A

. I detta fall m˚ aste vara 0, eftersom

v¨ ansterledet ¨ ar udda. H¨ ar k¨ anner vi igen termerna med

(2k − 1)

i resultatet ovan. De ¨ ovriga termerna f˚ ar man

genom att utveckla `x i sinusserie enligt BETA 13.1 (12),

och resultatet blir samma serie som f¨ orut.

3

F¨ or denna uppgift ¨ ar det allts˚ a knappast enklare att an- v¨ anda tabell och termvis integration. Men det kanske kan g¨ ora det l¨ attare att f¨ orst˚ a varf¨ or koefficienterna har b˚ ade termer som avtar som 1/n och som 1/n

.

Uppgift 2.

Differentialekvationen ¨ ar h¨ ar den vanliga, homogena v¨ ar- meledningsekvationen. Randv¨ ardena ¨ ar inhomogena, p˚ a ett s¨ att som ¨ ar oberoende av t-variabeln. D¨ arf¨ or fungerar ste- ady state-metoden.

Vi b¨ orjar allts˚ a med att finna en funktion u

(x) av enbart x-variabeln som uppfyller v¨ armeledningsekvationen och rand- villkoren. Det ger u

(x) = 0 s˚ a att u

¨ ar av formen u

(x) = ax + b, och dessutom skall man ha u

(0) = 2 och u

(`) = 1.

Det ger a = 2 och b = 1 − 2`, och allts˚ a u

(x) = 2x + 1 − 2`.

Sedan s¨ oker vi en l¨ osning u(x, t) till det givna problemet av formen u(x, t) = u

(x)+v(x, t). F¨ or v f˚ ar vi d˚ a v

= kv

och homogena randvillkor v

(0, t) = 0 och v(`, t) = 0, samt initialvillkor v(x, 0) = 2(x − `) − u

(x) = −1. D¨ arf¨ or kan v best¨ ammas med variabelseparation.

F¨ or en separerad l¨ osning v = X(x)T (t) f˚ ar man som van- ligt

1 k

T

(t)

T (t) = X

(x) X(x) = λ, f¨ or n˚ agon konstant λ, och X

(0) = X(`) = 0.

I fallet λ > 0, s¨ ag λ = µ

d¨ ar µ > 0, leder detta till X(x) = a cosh µx + b sinh µx. Randvillkoren medf¨ or b = 0 och a = 0, s˚ a man f˚ ar bara noll¨ osningen.

F¨ or λ = 0 f˚ ar man X(x) = ax + b, och inte heller i det fallet finns det n˚ agra l¨ osningar X(x) ut¨ over noll¨ osningen.

Om λ < 0, s¨ ag λ = −ν

med ν > 0, har man X(x) = a cos νx + b sin νx. Randvillkoren ger d˚ a att b = 0 och cos ν` = 0, s˚ a att ν = (n − 1/2)π/` f¨ or n˚ agot n = 1, 2, . . . . Motsvarande funktion T (t) ¨ ar proportionell mot

e

.

4

F¨ or v ans¨ atter vi nu en summa av separarade l¨ osningar v(x, t) =

∞

X

n=1

a

cos (n − 1/2)πx

` e

. Initialvillkoret s¨ ager d˚ a att

∞

X

n=1

a

cos (n − 1/2)πx

` = −1, 0 < x < `.

Dessa cosinusfunktioner bildar ett fullst¨ andigt ortogonalsy- stem i L

[0, `], eftersom de utg¨ or egenvektorerna till ett re- gulj¨ art Sturm-Liouville-problem. Deras normer i detta L

- rum ges av

cos (n − 1/2)πx

`

2

= Z

0

cos

(n − 1/2)πx

` dx = `

2 , det sista via “dubbla vinkeln”. D¨ arf¨ or ges koefficienterna av

a

= 2

` Z

0

(−1) cos (n − 1/2)πx

` dx

= − 2

(n − 1/2)π sin (n − 1/2)π = 4(−1)

(2n − 1)π . Detta best¨ ammer v, och slutresultatet blir att u ges av u(x, t) = 2x + 1 − 2` +

∞

X

n=1

a

cos (n − 1/2)πx

` e

, d¨ ar a

¨ ar som angetts ovan.

Uppgift 3.

Vi s¨ oker f¨ orst negativa egenv¨ arden, och s¨ atter λ = −µ

d¨ ar µ > 0. D˚ a ¨ ar y(x) = a cosh µx + b sinh µx och d¨ armed

y

(x) = aµ sinh µx + bµ cosh µx. Det f¨ orsta randvillkoret

medf¨ or d˚ a bµ − a = 0, s˚ a att y(x) = b(µ cosh µx + sinh µx),

och h¨ ar kan vi kasta faktorn b. Insatt i det andra rand-

villkoret ger detta att µ cosh 3µ + sinh 3µ = 0, dvs. vi f˚ ar

ekvationen tanh 3µ = −µ. Men tanh-funktionen ¨ ar positiv

5

p˚ a positiva halvaxeln, s˚ a denna ekvation har ingen l¨ osning µ > 0. D¨ arf¨ or finns det inga negativa egenv¨ arden.

Fallet λ = 0 ger y(x) = ax + b, och randvillkoren medf¨ or a − b = 0 och 3a + b = 0. Detta ekvationssystem l¨ oses bara av a = b = 0, och d¨ arf¨ or ¨ ar 0 inte ett egenv¨ arde.

Det ˚ aterst˚ ar att s¨ atta λ = ν

med ν > 0. D˚ a ¨ ar y(x) = a cos νx+b sin νx och d¨ armed y

(x) = −aν sin νx+bν cos νx.

Det f¨ orsta randvillkoret ger bν − a = 0, s˚ a att y(x) ¨ ar (proportionell mot) ν cos νx + sin νx. D˚ a medf¨ or det andra randvillkoret att ν cos 3ν + sin 3ν = 0 och tan 3ν = −ν.

Genom att skissa graferna f¨ or b˚ ada leden i denna ekvation ser vi att ekvationen har en f¨ oljd av l¨ osningar ν

> 0, k = 1, 2, . . . , som vi numrerar i v¨ axande ordning.

Vi vill veta hur m˚ anga av dem som motsvarar ett egen- v¨ arde λ

= ν

som ¨ ar mindre ¨ an 2. Grafiskt ser man att den f¨ orsta l¨ osningen ν

ligger p˚ a den gren av kurvan f¨ or tan 3ν som ges av π/2 < 3ν < 3π/2, och p˚ a den v¨ anstra, undre halvan av denna gren, allts˚ a d¨ ar π/2 < 3ν < π. (Rita!) Det f¨ oljer att ν

< π/3 och allts˚ a att λ

= ν

< π

/9 < 2. Den andra l¨ osningen ν

ligger p˚ a n¨ asta gren, given av 3π/2 <

3ν < 5π/2. Det ger ν

> π/2 och d¨ armed λ

> π

/4 > 2.

Detta betyder att λ

¨ ar det enda egenv¨ ardet mindre ¨ an 2, s˚ a svaret p˚ a uppgiften ¨ ar: ett.

Uppgift 4.

Vi Fouriertransformerar i x-variabeln, och s¨ oker funktionen ˆ

u(ξ, t). Den transformerade ekvationen blir ˆ

u

(ξ, t) = −kξ

u(ξ, t) − ibξ ˆ ˆ u(ξ, t).

F¨ or fixt ξ ¨ ar dess l¨ osningar ˆ

u(ξ, t) = Ae

,

d¨ ar “konstanten” A kan bero av ξ och b¨ or skrivas A(ξ). Det transformerade initialvillkoret s¨ ager att ˆ u(ξ, 0) = ˆ f (ξ) och medf¨ or A(ξ) = ˆ f (ξ), s˚ a att

ˆ

u(ξ, t) = ˆ f (ξ)e

.

6

Den s¨ okta l¨ osningen u(x, t) ¨ ar den inversa Fouriertransfor- men av h¨ ogerledet h¨ ar. F¨ or att finna den observerar vi f¨ orst att effekten av faktorn e

blir en translation p˚ a invers- sidan. Enligt BETA 13.2 (37) ¨ ar e

Fouriertransformen av funktionen

K

(x) = 1

√ 4πkt e

.

D¨ arf¨ or ¨ ar ˆ f (ξ)e

Fouriertransformen av faltningen av K

och f . F¨ or u f˚ ar vi resultatet

u(x, t) = f ∗ K

(x − bt) eller utskrivet

u(x, t) = 1

√ 4πkt Z

−∞

f (x − bt − y) e

dy.

Uppgift 5.

I detta L

-rum bildar Legendrepolynomen P

, n = 0, 1, . . . , ett fullst¨ andigt ortogonalsystem. Satsen om b¨ asta approxi- mation s¨ ager att B(x) ¨ ar ortogonalprojektionen av funktio- nen f p˚ a det delrum som sp¨ anns upp av P

, n = 0, 1, 2, 3, och ges av

B(x) =

3

X

n=0

c

P

, d¨ ar

c

= 1

kP

k

hf, P

i.

H¨ ar tas b˚ ade skal¨ arprodukten och normen i L

[−1, 1].

Eftersom f ¨ ar j¨ amn och P

och P

¨ ar udda, blir c

= c

= 0. I BETA 12.2, sidan 263, ser vi att P

= 1 och P

= (3x

− 1)/2 och att kP

k

= 2/(2n + 1). Det ger

c

= 1 2

Z

−1

|x| dx = Z

0

x dx = 1

2

7

och c

= 5

2 Z

−1

|x| 3x

− 1

2 dx = 5 2

Z

x(3x

−1) dx = 5 2

 3 4 − 1

2



= 5 8 . Den s¨ okta b¨ asta approximationen ¨ ar d¨ arf¨ or

B(x) = 1

2 P

+ 5

8 P

= 15

16 x

+ 3 16 .

F¨ or att finna normen av f − B skriver vi f = f − B + B och utnyttjar vi att f − B och B ¨ ar ortogonala. Pythagoras sats ger d¨ arf¨ or

kf k

= kf − Bk

+ kBk

. H¨ ar ¨ ar

kf k

= Z

−1

|x|

dx = 2 Z

0

x

dx = 2 3 och

kBk

=

3

X

n=0

|c

|

kP

k

= 1

4 · 2 + 5

8

· 2

5 = 21 32 . Detta ger

kf − Bk

= 2

3 − 21 32 = 1

96 , och kf − Bk = 1/ √

96.

Anm. En alternativ metod f¨ or att ber¨ akna B(x), utan att anv¨ anda Legendrepolynom, ¨ ar att ans¨ atta B(x) = P

n=0

a

x

. Skillnaden f (x)− P

n=0

a

x

¨ ar d˚ a ortogonal mot alla poly- nom av grad h¨ ogst 3. Speciellt ¨ ar den ortogonal mot 1, x, x

och x

, vilket utskrivet ger ett ekvationsssystem. Genom att l¨ osa det finner man koefficienterna a

.

Uppgift 6.

Vi anv¨ ander cylindriska koordinater (r, θ, z). Observera att alla de givna randvillkoren ¨ ar oberoende av θ, s˚ a detsamma kommer att g¨ alla f¨ or l¨ osningen. Vi skriver allts˚ a u = u(r, z).

Eftersom randvillkoren f¨ or z = 0 och z = L ¨ ar homogena,

8

kan vi separera det tv˚ a variablerna. F¨ or en separerad l¨ os- ning R(r)Z(z) till ekvationen ∆u = 0 f˚ ar vi, via uttrycket f¨ or Laplaceoperatorn i plana pol¨ ara koordinater,

R

+ r

R

R = − Z

Z ,

och detta m˚ aste ha ett konstant v¨ arde, s¨ ag λ. De homoge- na randvillkoren ger Z(0) = Z(L) = 0. F¨ or Z har vi d˚ a ekvationen Z

= −λZ och en standardsituation, d¨ ar vi ser att Z = sin

z och λ = (

)

f¨ or n˚ agot n ∈ {1, 2, . . . }.

Med det λ-v¨ ardet blir ekvationen f¨ or R r

R

+ rR

−  nπ

L



r

R = 0.

Detta ¨ ar den modifierade Besselekvationen, med paramet- rar µ = nπ/L och ν = 0. L¨ osningarna ¨ ar linj¨ arkombina- tioner av de modifierade Besselfunktionerna I

(

r) och K

(

r), och K

m˚ aste f¨ orkastas eftersom den ¨ ar singul¨ ar i 0. Vi f˚ ar R(r) = I

(

r).

F¨ or u ans¨ atter vi nu u(r, z) =

∞

X

1

c

I

( nπ

L r) sin nπ L z.

Randv¨ ardet 1 f¨ or r = 1 medf¨ or

∞

X

1

c

I

( nπ

L ) sin nπ

L z = 1,

f¨ or 0 < z < L. Vi beh¨ over allts˚ a utveckla funktionen 1 i si- nusserie i intervallet [0, L]. Det inneb¨ ar en (underf¨ orst˚ add) udda utvidgning, allts˚ a funktionen sgn x i [−L, L]. Dess ut- veckling hittar man enklast i “N˚ agra tips ...”, men ocks˚ a i BETA 13.1 (25) eller (2) med α = 1:

sgn x = 4 π

∞

X

1

1

2k − 1 sin (2k − 1)π

L z.

Det f¨ oljer att c

= 0 f¨ or j¨ amna n och att c

=

0(nπ/L)

f¨ or udda n. Sammanfattningsvis kan svaret p˚ a uppgiften

9

skrivas u(r, z) = 4

π

∞

X

k=1

1

(2k − 1)I

((2k − 1)π/L) I

 (2k − 1)π

L r



sin (2k − 1)π

L z.