Tentamen: MVE045 Matematisk analys, IT2
2019-10-29, 14.00 – 18.00 GRADERINGS KRITERIER
Examinator: Zoran Konkoli, telefon 5480, Mikroteknologi och nanovetenskap – MC2, Chalmers
Telefonvakt: Adam Malik, telefon: 5325
Hjälpmedel: bifogat formelblad (och ingenting annat)
Hela tentamen ger 50 poäng. Tentamen rättas enligt principer som är beskrivna på kursens hemsida. Eventuella bonuspoäng från duggor adderas innan betyget räknas. Godkänt på alla duggor ger 5 poäng max. När alla poäng har adderats, för betyget 3 på tentamen krävs minst 20 poäng, för betyget 4 krävs 30 poäng, och för betyget 5 krävs 40 poäng. Tid och plats för granskning av tentamen kommer att anslås på kursens hemsida.
Grupp 1: G frågor (8 x 3p)
1. Vad är realdelen och imaginärdelen av z:
𝑧𝑧 =3 + 2𝑖𝑖 + 𝑖𝑖5 2 + 𝑖𝑖3
• 0.5p kra: konjugat regel användning; studenten inser att man måste förlänga med konjugat av 2-i
• 0.5p zz*: principen att zz*=Rez^2+Imz^2
• 1p alg: algebra med komplexa tal (just i detta fall multiplikation)
• 1p i^n: kunskap hur man förenklar högre potenser med i
2. Variabler 𝑎𝑎 och 𝑏𝑏 uppfyller sambandet 𝑎𝑎 = √𝑏𝑏 − ln 𝑏𝑏. Vi betraktar lösningen 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 1. Om 𝑏𝑏 ändras en smula från 1 till 1 + Δ𝑏𝑏 hur skall man justera 𝑎𝑎? Bestäm ändringen Δ𝑎𝑎 om Δ𝑏𝑏 = 0.1 (i linjär
approximation). Ökar eller minskar 𝑎𝑎?
svårt att belöna olika moment men grovt sätt, äntligen vet man vad linjär approximation är, eller inte;
på samma sätt man vet vad differential betyder eller så vet man inte det; finns inte en naturlig graderings skala med ”mittemellan” läge
• 2.5 (om allt rätt) LAR: linjär approximation grunder; enstaka insatser belönas med 0.5 poäng:
o LAR början/mallen: att man visar på något sätt att det handlar om a=f(b) och da=f’(b)db och slutligen att da=konstant db
o df: f identifierat och f’ räknat och använt i LAR sammanhanget; att bara räkna derivatan utan någon helst användning ger inga poäng; eller användning utan förståelse tex da=f’(b) ger inga poäng heller
o rp: rätt referens punkt identifierat och använt i LAR sammanhanget på ett förnuftigt sätt; räknar man bara derivatan av rena slumpen (bara för att räkna) detta ger inga poäng
• 0.5p diff/DB: differential betydelsen där visar att man känner till df = nytt – gammalt; att man fattar vad differential betyder; skriver man da=1-1/20 då förmodligen kan man inte det;
skriver man da=a då vet man inte det heller 3. Beräkna gränsvärdet
𝑥𝑥→0limcos �5𝑥𝑥 + 𝜋𝜋2�
sin 6𝑥𝑥
• 0.5p typ: att kända igen typen av gränsvärdet (vad ”faran” ligger)
• 2.5p tekn: tekniken demonstrerat;
o 1.0p ins: insyn att det går att använda en speciell teknik (LH regler); att man nämner LH i texten någonstans
o 1.0p sep: att man tydligt visar hur LH används (separata derivator av nämnaren och täljaren)
o 0.5p der: korrekta derivator; slarv fel av typ med en konstant som fattas är ok (om man glömmer inre derivata i täljaren eller nämnaren), men inte alltför mycket, om det händer det två gånger i rad det kan tyda på en brist på förståelse
4. Beräkna derivatan av f:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥2 cos 𝑥𝑥2 Notera att sin 𝑥𝑥2 står för sin(𝑥𝑥2) och cos 𝑥𝑥2 står för cos(𝑥𝑥2).
Detta problem är i princip så enkelt att det är svårt att belöna olika moment. Att räkna inre derivatan är super viktig för detta problem.
• 1p: ind: inre derivata räknat, eller man visar att man bryr sig om den
o 0.5p man fattar att det är någonting att tänka på, man försöker men ändå det blir kanske fel (tex (x^2)’=2 felet)
o 0.5p för rätt räknat inre derivata
• 2p: resten (med explicit kvot derivata)
o 0.5p kr: kvot regel är rätt; små fel (i tecken) tolereras; eller man försöker med produkt regel och potens lagar
o 0.5p ds: derivata av sinus är korrekt
o 0.5p dc: derivata av cosinus är korrekt (man skall absolute inte glömma minuset) o 0.5 alg: förnuftig algebra med trigonometriska funktioner, eller algebran har drivits till
slutet till bästa förmåga (givet möjliga strukturella fel som gör att det går inte att förenkla); eller man försöker samla alla termer på något sätt; grova algebra fel tolereras inte (tex någonting som man borde veta sedan gymnasietiden)
• 2p: resten (med tan u derivata) o 1.5p dtan: tan derivata är rätt
o 0.5p ubyte: att man byter tillbaka till x^2
5. Beräkna derivatan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 med implicit derivering i 𝑥𝑥 = 1 och 𝑦𝑦 = 𝜋𝜋/4. Funktionen definieras med 𝑥𝑥 = (cot 𝑦𝑦)2.
• 1.5p det allmänna implicit derivata principen: att man vet att detta är en speciell teknik, som skiljer sig från implicit derivering; det viktigaste momentet är att veta hur implicit derivata tekniken fungerar, att man börjar på rätt sätt, dvs...
o 1p idp: att vet vad implicit derivata principen är; man börjar med att derivera höger och vänster sidan
o 0.5p kedj: att y’(x) dyker upp med användning av kedjeregel
• 1.5p resten
o 0.5p der: individuella explicita derivator är korrekta
o 0.5 inm: inmatning av värdena är korrekt; att man fattar att tan pi/4 = cot pi/4 = 1 och vad sin och cos är i pi/4.
o 0.5p alg: kringliggande algebra är korrekt, utan större fel
anmärkning 1: om studenten gjorde fel i visa moment ovanför, men demonstrerade en bra struktur i lösningen, tex igenom att ha ett tydlig struktur på d/dx x = d/dx f(y) så gav jag hela 3 poäng utan tvekan (även om man inte viste vad hur cot y är definierat); för egentligen allt annat är detaljer. de olika moment ovanför är till för att ”belöna” de som saknade sådan struktur i sin lösning
anmärkning 2: att använda explicit derivata teknik borde ge inga poäng, i princip. problemet går att lösa med explicit derivata, och jag valde ett sådant problem så att studenter kunde kolla resultat efteråt om det så skulle behövas. dock, jag valde att belöna lösningen med explicit derivata (2.5 poäng) bara om lösningen var nära 100% korrekt, vilket skulle signalera att studenten har en rutin som tog över och problemet löstes snabbt: med i så fall inga grova derivata fel för förekomma. En viktig moment av implicit derivata tekniken är att kedjeregel måste användas, och om kedjeregeln finns inte alls i det explicit derivata tekniken, detta betraktas som en grov fel, och man får 0 poäng på uppgiften.
6. Du vet att ∫ √1 − 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 =12�𝑥𝑥√1 − 𝑥𝑥2+ arcsin(𝑥𝑥)� + 𝑐𝑐. Beräkna integralen
� 3�16 − 4𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥
• 1 fa: förberedande algebra innan substitutionen
o 0.5p s3: städa konstanten; lägg 3 framför integralen
o 0.5p e4/s4/er: extrahera/städa 4 från under roten, eller liknande
• 1.5p sub: substitution
o en klok val av substitution för x->u o korrekt dx och du förhållande
• 0.5 sf: alternativ ”substitionsförsök”: om en substitution har påbörjats, med leder ingenstans;
detta ger 0.5 om allt substitutions teknik är korrekt (dx vs du förhållande, etc)
• 0.5 bs: korrekt bakåt substitution från u till x 7. Hur mycket är 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑧𝑧10} och 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑧𝑧10} om 𝑧𝑧 = 1 − 𝑖𝑖?
• 1.5p +pf: rätt polär form: fel vinkeln -0.5p; fel radie -0.5p o 0.5p principer
o 0.5p rätt r
o 0.5p rätt phi
• 0.5p +DM: de Moivre principen
• 0.5p +r10: rätt r^10 term
• 0.5p +phired/phi10: reducerings principen kunskaper demonstrerade för vinkeln phi^10 anmärkning: syftet med detta problem är att demonstrera kunskapen av den polära formen och hur man kan använda den; det går att räkna på andra sätt, med då måste hela uträkningen vara utan större algebraiska fel (inga poäng annars)
8. Hitta lösningen till 𝑦𝑦′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 med begynnelsevillkoret 𝑦𝑦(1) = 2.
• 0.5 +mall: den fria konstanten finns
• 0.5 +int1: antiderivata till den första termen har hittats
• 0.5 +int2: antiderivata till den andra termen har hittats
• 1.5 +bva: begynnelse villkor användning är korrekt; spelar ingen roll om algebraiska fel förekommer
Grupp 2: VG frågor (3 x 4p)
9. Du frågar en kompis om funktionen f definierad som nedan är kontinuerlig eller inte.
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑥𝑥2− 1 𝑥𝑥 − 1 +
𝑥𝑥2− 4 𝑥𝑥 − 2
Du får följande svar: ”Funktionen är kontinuerlig överallt. Med konjugatregler �𝒙𝒙𝟐𝟐− 𝟏𝟏� = (𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) och �𝒙𝒙𝟐𝟐− 𝟒𝟒� = (𝒙𝒙 + 𝟐𝟐)(𝒙𝒙 − 𝟐𝟐) efter lite algebra får man 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 + 𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 vilket är en polynom och alla polynomer är kontinuerliga enligt en sats i ADAMS.” Diskutera detta svar. Vad är rätt med den, vad är fel med den? Kan du erbjuda ett koncist svar på frågan? När du argumenterar, referera gärna till relevanta satser, precis som din kompis försökte göra.
Kontinuitet är ett vasst definierat koncept (som har ingenting med derivata att göra). Man skall kunna argumentera i vilka punkter är funktionen kontinuerligt (50%) och i vilka punkter är det inte det (50%) med oändlig precision. Att försöka peka på relevanta satser och använda dem är viktig! Det viktigaste aspekt är att f/g är kontinuerlig om f och g är det och g skall inte vara noll i punkten man betraktar.
• 1p +punkter/kp: att man identifierar två problematiska (kritiska) punkter x=1 och x=2; man behöver inte känna till satser etc, men om man skriver kod, då leder det till att två ”if”
kommando kryper in i koden: ”if (x=1) then...” och ”if(x=2)then...”; det går inte att hävda att dessa ”försvinner på grund av algebran” och få 1p här
• 1p +disk: att man argumenterar varför funktionen är diskontinuerlig i x=1 och x=2
• 2p +kont:
o alternativ 1:
i princip, att argumentera att konjugat regel garanterar kontinuitet är fel:
rationella funktioner är kontinuerliga inte på grund av konjugat regel men på grund av en speciell sats från ADAMS och om detta satsen nämns/diskuteras det blir 2p direkt
o alternativ 2:
om man argumenterar på långa omvägar att konjugat regel leder till kontinuitet är ok men ger bara 1p per se, för att få 2p detta måste komplementäras med...
1p +kdef (satser): att man visar kännedom av kontinuitets definition och hur man använder den i kontinuitets kontext; om man känner till definitionen men använder det på ett helt fel sätt detta ger inga poäng
o alternativ 3:
1p +Df: fokus på Df och argument att ”continuous extension” är inte samma som den ursprungliga funktionen
1p +kdef: kännedom av kontinuitets definition
anmärkning: 1p +rättsvar/grunder: om svaret är alltför kaotisk eller svår att tyda eller helt enkelt magert i argument, dock studenten visar på något sätt det grova kunskapen vad det handlar om: detta ger 1 p: tex det kan vara så att studenten cirklar kring argument ovanför, tallar om dessa implicit, med argumenterar aldrig tydligt.
10. Går det att hitta fria konstanter 𝑎𝑎 och 𝑏𝑏 så att funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är deriverbar för alla reella tal? Om
”ja”, förklara varför och hitta konstanterna. Om ”inte”, förklara varför.
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎 sin(𝑥𝑥 − 𝑏𝑏) 𝑥𝑥 < 0𝑥𝑥2+ 1 𝑥𝑥 ≥ 0
• 1p +villkor: dem allmäna villkor för derivarbhet diskturas och den kritiska punken identifieras
• 1p +kontEq: kontinuitets villkor i form av ekvation med a och b är korrekt
• 1p +derEq: samma för derivata
• 1p +lösningen: lösningen av ekvation system för a och b är korrekt, om man har fel ekvation system det kan inte blir bra lösningar, men om inte grova fel då det angivna lösningen accepteras och detta blir 0.5p; om ekvationssystemet för a och b är så felaktig att man inte behöver analysera cos(b)=0 då inga poäng ges där
11. Hitta med separationstekniken den allmänna lösningen till differentialekvationen (𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 1)𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑥𝑥2𝑓𝑓′(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥)3= 2𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑥𝑥3+ (𝑥𝑥 + 1)2𝑓𝑓(𝑥𝑥)
a) Bestäm två separata lösningar 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) och 𝑓𝑓2(𝑥𝑥) med begynnelsevillkor 𝑓𝑓1(0) = 1 respektive 𝑓𝑓2(0) = −1.
b) Om du adderar dessa lösningar, blir 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓2(𝑥𝑥) också en lösning med
begynnelsevillkoret 𝑓𝑓(0) = 𝑓𝑓1(0) + 𝑓𝑓2(0) = 1 − 1 = 0? Om ”ja”, förklara varför, om ”inte”
förklara varför.
(a) delen kriterier
• 1p +reducering: ekvationen går att förenkla avsevärt
• 1p +septek: separations tekniken har demonstrerats, metod och integraler skall vara någorlunda korrekta (att hävda ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅/𝒅𝒅𝟓𝟓 = 𝐥𝐥𝐥𝐥|𝒅𝒅| är ett grovt fel)
• 1p +bva: tekniken för begynnelse villkor användning har demonstrerats
anmärkning: det hände att visa studenter kunde inte hitta den rätta reducering metoden och då förstås problemet går inte att lösa och all som följer rasar. dock, om en bra strukturerad
metodik/tankesätt (och argumentation) har demonstrerats i sätt att tänka kring ett svårt problem som man har inte sätt tidigare, detta belönades med poäng.
(b) delen kriterier
• 1p: y1+y2 funkar bara för linjära diff operatorer, inte här; eller man måste inse att mallen funkar inte, att det går inte att hitta en konstant så att kombination av lösningar blir bra.
Grupp 3: MVG frågor (2 x 7p)
12. Lös differentialekvationen med begynnelsevillkoren 𝑦𝑦(0) = 1 och 𝑦𝑦′(0) = 0. Hitta alla lösningar.
𝑦𝑦′′(𝑥𝑥)2= 1 + 2sin 𝑥𝑥 + sin2𝑥𝑥
• 2p reducering: processen att förenkla differentiella ekvationen; här är det viktig att man inte missar +/-
• 2p +int1: den första integralen av den högra sidan
• 2p +int2: den andra integralen av den högra sidan
• 1p +bva: begynnelse villkor användning är korrekt
13. Hitta approximationerna 𝐴𝐴0(𝑥𝑥), 𝐴𝐴1(𝑥𝑥), och 𝐴𝐴2(𝑥𝑥) till funktionerna 𝑓𝑓0(𝑥𝑥) = sin �𝜋𝜋𝑥𝑥+42𝑥𝑥 �, 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 sin �𝜋𝜋𝑥𝑥+42𝑥𝑥 �, och 𝑓𝑓2(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2sin �𝜋𝜋𝑥𝑥+42𝑥𝑥 � så att 𝑓𝑓0(𝑥𝑥) ≈ 𝐴𝐴0(𝑥𝑥), 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) ≈ 𝐴𝐴1(𝑥𝑥), och 𝑓𝑓2(𝑥𝑥) ≈ 𝐴𝐴2(𝑥𝑥) när 𝑥𝑥 blir stor. Leta efter approximationer på formen 𝐴𝐴(𝑥𝑥) ≈ 𝑥𝑥𝛼𝛼�𝑎𝑎0+𝑎𝑎𝑥𝑥12�. Hitta konstanterna 𝛼𝛼, 𝑎𝑎0 och 𝑎𝑎1
för varje approximation 𝐴𝐴0, 𝐴𝐴1, och 𝐴𝐴2 och diskutera för varje approximation om den beter sig som ett polynom eller inte. Använd approximationerna som du har hittat för att bedöma, för varje 𝑓𝑓𝑖𝑖 med 𝑖𝑖 = 0, 1, 2, om den har en asymptot i oändligheten (eller inte). Om ”ja” ange typen av asymptoten, och specificera ekvationen som beskriver asymptoten. Tips: börja med att hitta approximationen till sin �𝜋𝜋𝑥𝑥+42𝑥𝑥 � i formen 𝑥𝑥𝛽𝛽�𝑏𝑏0+𝑏𝑏𝑥𝑥12�.
• 2p +för: förberedelsen för TU; lite algebra behövs för att omvandla funktionen så att man ser hur TU kan göras i u=1/x
• 1p +TU: rätt Taylor utveckling till den önskade graden; att bryta för tidigt ger mindre poäng
• 1p +bs: baksubstitution från u till x
• 3p +analys: analys av resultat för tre fall testar kunskapen av olika asymptot typer och funktions typer; 1 poäng per fall A0, A1, A2.
