Kontrollskrivning 29 sep 2014 Tid: 15.15-17.00
Kurser: HF1008 Analys och linjär algebra (algebradelen) HF1006 Linjär algebra och analys (algebradelen) Lärare: Armin Halilovic, Marina Arakelyan, Fredrik Bergholm Examinator: Armin Halilovic
För godkänt krävs 5 poäng. Godkänd KS ger bonus enligt kurs-PM.
Fullständiga lösningar och svar skall presenteras till alla uppgifter.
Hjälpmedel: Endast utdelat formelblad (miniräknare är inte tillåten)
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Uppgift 1. (2p) Lös olikheten 5− x2 ≤11.
Uppgift2. (1p) Vektorerna a=(−1,2,1) b=(3,0,6) och c=(1,2,−1)är givna. Bestäm konstanten k så att vektorn d =c+kb blir vinkelrät mot a .
Uppgift 3. (1p) Beräkna determinanten
6 5 4
3 2 1
1 0
−1
.
Uppgift 4. (2p) Bestäm planets ekvation på formen ax+by+cz+d =0, då man vet att punkterna A=(1, 1, 1) , B=(2, 3, 4) och C= (2,2,1) ligger i planet.
Uppgift 5. (1p) Bestäm eventuella skärningspunkter mellan följande tre plan ( dvs bestäm gemensamma punkter för de tre planen)
4 2 = + + y z
x , x+2y−z=−3 och −3x+ y+z=−2. Uppgift 6. (2p) Lös matrisekvationen med avseende på X
B A
XA = 2 +3 då ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡ 1 2
1
A 3 och ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
= −
1 1
2
B 0 .
Lycka till.
FACIT
Uppgift1. (2p) Lös olikheten 5− x2 ≤11. Lösning:
16 6
6 16
11 5 5
11
11 5
11
2 2
2 2
≤
≤
−
≤
−
≤
−
+
−
≤
−
≤
−
−
≤
−
≤
−
x x
x x
2 ≥−6
x om x∈ och R x2 ≤16 om−4≤x≤4 Alltså −4≤ x≤4
Svar: −4≤ x≤4
Rättningsmall: En poäng för korrekt olikhet utan absolutbelopp −11≤5−x2 ≤11 . Två poäng om allt är korrekt.
Uppgift2. (1p) Vektorerna a=(−1,2,1) b=(3,0,6) och c=(1,2,−1)är givna. Bestäm konstanten k så att vektorn d =c+kb blir vinkelrät mot a .
Lösning:
) 6 1 , 2 , 3 1
( k k
b k c
d = + = + − +
Skalärprodukten d⋅a=(1+3k,2,−1+6k)⋅(−1,2,1)=3k +2 Vektorerna är vinkelräta om skalärprodukten d⋅ a=0
3 0 2
2
3k+ = ⇔k =−
Svar:
3
−2
= k
Rättningsmall: Rätt eller fel.
Uppgift 3. (1p) Beräkna determinanten
6 5 4
3 2 1
1 0
−1
.
Lösning:
0 3 0 5 3
4 2 11 6 4
3 01 6 5
3 12
6 5 4
3 2 1
1 0 1
=
−
−
= +
−
−
=
−
Svar: 0
Rättningsmall: Rätt eller fel.
Uppgift 4. (2p) Bestäm planets ekvation på formen ax+by+cz+d =0, då man vet att punkterna A=(1, 1, 1) , B=(2, 3, 4) och C= (2,2,1) ligger i planet.
Lösning:
Först bildar vi vektorerna AB =(1,2,3) och AC=(1,1,0). En normalvektor till planet är
) 1 , 3 , 3 ( 3
3 0 1 1
3 2
1 =− + − = − −
=
×
= i j k
k j i AC AB
n r r r
r r r
r .
Planets ekvation: −3(x−1)+3(y−1)−1(z−1)=0 eller
0 1 3
3 + − + =
− x y z
Svar: −3x+3y−z+1=0
Rättningsmall: En poäng för korrekt planets normalvektor. Två poäng om allt är korrekt.
Uppgift 5. (1p) Bestäm eventuella skärningspunkter mellan följande tre plan ( dvs bestäm gemensamma punkter för de tre planen)
4 2 = + + y z
x , x+2y−z=−3 och −3x+ y+z=−2. Lösning:
Vi löser ( t ex med Gaussmetoden) följande system
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
=
−
= + +
⎪⇔
⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
−
=
−
= + +
⎪⇔
⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= + +
−
−
=
− +
= + +
38 19
7 3
4 2
10 7 4
7 3
4 2
2 3
3 2
4 2
z z y
z y x
z y
z y
z y x
z y x
z y x
z y x
Härav z=2, y=−1, x=1
Därmed är P(1,−1,2)skärningspunkten mellan planen.
Svar: P(1,−1,2)
Rättningsmall: Rätt eller fel
Uppgift 6. (2p) Lös matrisekvationen med avseende på X B
A
XA = 2 +3 då ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡ 1 2
1
A 3 och ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
= −
1 1
2
B 0 .
Lösning:
Matrisen A är inverterbar eftersom det(A)=1≠0 . Från XA = 2A+3B har vi XAA−1 = (2A+3B)A−1 dvs
) 1
3 2
( + −
= A B A
X
Först beräknar vi ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
+ 1 5
8 3 6
2A B
och inversen ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
= −
−
3 2
1 1 1
1 1
A .
Därför ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
= −
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
⎥ −
⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡ +
= −
14 9
18 10 3
2 1 1 5 1
8 ) 6
3 2
( A B A 1 X
Svar: ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
= −
14 9
18
X 10 .
Rättningsmall: En poäng för korrekt inversmatris. Två poäng om allt är korrekt.
