Kontrollskrivning 21 sep 2015 Tid: 13.15-15.00
Kurser: HF1008 Analys och linjär algebra (algebradelen) HF1006 Linjär algebra och analys (algebradelen) Lärare: Armin Halilovic, Marina Arakelyan, Inge Jovik Examinator: Armin Halilovic
För godkänt krävs 5 poäng. Godkänd KS ger bonus enligt kurs-PM.
Fullständiga lösningar och svar skall presenteras till alla uppgifter.
Hjälpmedel: Endast utdelat formelblad (miniräknare är inte tillåten)
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Uppgift 1. (1p) Lös ekvationssystemet
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− +
= + +
=
− +
5 2
3
6 2
2 z
y x
z y x
z y x
.
Uppgift2.(1p) Bestäm t så att vinkeln mellan vektorerna ur =(1,2,2)och vr =(2,0,t)blir . 2 π Uppgift 3. (1p) Beräkna arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna
) 1 , 0 , 2
=(
ur och vr=(1,0,1).
Uppgift 4. (1p) Beräkna determinanten
7 6 5
4 0 3
2 0 1
.
Uppgift 5. (2p) Bestäm ekvationen för planet genom punkten M =(2,−1,3)som är parallell med vektorer a =(3,0,−1)ochb=(−3,2,2).
Uppgift 6. (2p) Bestäm avståndet från punkten A=(3,3,0) till linjen (x,y,z)=(1,0,2)+t(1,1,1)
Uppgift 7.(1p) Låt Fr
=(1,–1,2) vara en kraft med startpunkt (angreppspunkt) i P=(1,2,2). Beräkna momentvektor Mr OP Fr
×
= → kring punkten O=(0,1,2).
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (1p) Lös ekvationssystemet
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− +
= + +
=
=
− +
5 2
3
6 2
2 z
y x
z y x
z y x
.
Lösning: ( t ex med Gaussmetoden)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
−
= +
−
=
=
− +
⎪ ⇔
⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
−
= +
−
=
=
− +
⎪ ⇔
⎩
⎪⎨
⎧
=
− +
= + +
=
=
− +
5 5
2 3
2 1
2
2 3
2 5
2 3
6 2
2
z z y
z y x
z y
z y
z y x
z y x
z y x
z y x
Härav z=1, y=1, x=2 Svar: x=2, y=1, z=1
Rättningsmall: Rätt eller fel.
Uppgift2. (1p) Bestäm t så att vinkeln mellan vektorerna ur=(1,2,2)och vr=(2,0,t)blir 2 π .
Lösning: För att vinkeln ska mellan två vektorer ska vara 2
π krävs att vektorernas
skalärprodukt är lika med noll. Dvs. ur⋅vr=2+0+2t=0om t=−1. Svar: t =−1
Rättningsmall: Rätt eller fel.
Uppgift 3. (1p) Beräkna arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna )
1 , 0 , 2
=(
ur och vr=(1,0,1). Lösning:
) 0 , 1 , 0 ( 1
0 1
1 0
2 =− = −
=
× j
k j i v
u r
r r r r
r .
Den parallellogram som bestäms (späns upp) av vektorerna ur och vr har arean
1 1=
=
×
= u v
A r r .
Svar: Arean= 1.
Rättningsmall: Rätt eller fel.
d
A
P B
Π Uppgift 4. (1p) Beräkna determinanten
7 6 5
4 0 3
2 0 1
.
Utveckla determinanten kring kolumn 2. Vi får då direkt att
7 6 5
4 0 3
2 0 1
= −6(4−6)=12
Svar: 12.
Rättningsmall: Rätt eller fel.
Uppgift 5. (2p) Bestäm ekvationen för planet genom punkten M =(2,−1,3)som är parallell med vektorer a =(3,0,−1)ochb=(−3,2,2).
Lösning:
Planets normalvektor är 2 3 6 (2, 3,6)
2 2 3
1 0
3 = − + = −
−
−
=
×
= i j k
k j i b a
n r r r
r r r r r
r
Planets ekvation är 2(x−2)−3(y+1)+6(z−3)=0
Svar: 02(x−2)−3(y+1)+6(z−3)= eller 2x−3y+6z−25=0. Rättningsmall: Rätt normalvektor ger 1p.
Uppgift 6. (2p) Bestäm avståndet från punkten A=(3,3,0) till linjen (x,y,z)=(1,0,2)+t(1,1,1)
Lösning:
Låt L vara den givna linjen (x,y,z)=(1,0,2)+t(1,1,1). Vi kan bestämma den punkt B på linjen L, som ligger närmast punkten A genom att först bestämma ekvationen för planet Π som går genom A vinkelrät mot L. Därefter bestämmer vi B som skärningspunkt mellan planet Π och linjen L:
Planet som går genom A=(3,3,0) vinkelrät mot linjen har ekvationen har en normalvektor = och därför är planets ekvation:
0 ) 0 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3 (
1 x− + y− + z− = eller x+ y+z−6=0.
Skärningspunkten mellan linjen och planet får vi genom att lösa systemet
1 0
6 ) 2 ( ) 1 ( 0 6 2
1
⇒ =
=
− + + +
⇒ +
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
− + +
+
=
= +
=
t t
t t z
y x
t z
t y
t x
som ger skärningspunkten B=(2,1,3).
Härav AB→ =(−1,−2,3) och därmed är avståndet = |AB→ |= 1+4+9 = 14.
Anmärkning: Det finns flera andra metoder att bestämma avståndet mellan en punkt och en rät linje.
Svar: 14
Rättningsmall: Rätt planets ekvation ger 1p.
Uppgift 7.(1p) Låt Fr
=(1,–1,2) vara en kraft med startpunkt (angreppspunkt) i P=(1,2,2). Beräkna momentvektor Mr OP Fr
×
= → kring punkten O=(0,1,2).
Lösning:
Först OP→ =(1,1,0).
=
×
=OP→ F
Mr r
=
−1 2 1
0 1 1
k j ir r r
) 2 , 2 , 2 ( 2 2
2ir− rj− kr = − − .
Svar: (2,−2,−2)
Rättningsmall: Rätt eller fel.
