1. Medelv¨ arde, stan- dardavvikelse och felet i medelv¨ ardet
Antag att vi har N m¨atningar x1, x2, ..., xN av en och samma storhet x. Under antagandet att alla avvikelser fr˚an medelv¨ardet ¨ar statistiska och sm˚a s˚a g¨aller att:
Medelv¨ardet:
¯ x = 1
N
N
X
i=1
xi (1)
Standardavvikelsen:
σ = v u u
t 1
N − 1
N
X
i=1
(xi− ¯x)2 (2)
Medelv¨ardesfelet:
σ¯x= σ
√N (3)
M¨atningar vars gr¨ansv¨ardesfunktion ¨ar given av Gaussfunktionen:
N (x; µ, σ) = 1
√2πσ2 e−(x−¯
x)2
2σ2 (4)
s¨ags vara normalf¨ordelade med medelv¨ardet µ och standardavvikelsen σ. Normalf¨ordelningsfunktion- en talar om sannolikheten P (¯x − t1σ ≤ x ≤ ¯x + t2σ) att en m¨atning x hamnar i intervallet ¯x − t1σ ≤ x ≤ ¯x + t2σ, d¨ar t1 och t2 ¨ar tv˚a posi- tiva konstanter. Se vidare Appendix A och B i l¨aroboken.
R1-1 En m¨atserie gav f¨oljande resultat:
10.3, 10.6, 9.5, 9.7, 10.2, 11.1, 9.5, 9.9, 10.3, 10.2 Best¨am medelv¨arde, standardavvikelsen och me- delv¨ardesfelet.
R1-2 Tio m¨atningar av en resistans gav f¨oljande resultat:
M¨atning R (Ω) M¨atning R (Ω)
1 101.13 6 101.01
2 100.15 7 99.98
3 100.02 8 99.80
4 99.95 9 99.90
5 99.92 10 100.01
Ber¨akna ett uppskattat v¨arde f¨or resistansen och den uppskattade m¨atos¨akerheten i en enstaka m¨at- ning efter 2, 3, 5, 7 och 10 m¨atningar. Ber¨akna felet i medelv¨ardet.
R1-3 Gelehallon i en p˚ase har en vikt som ¨ar normalf¨ordelad med en medelvikt om 3.62 gram och en standardavvikelse om 0.17 g. Hur stor ¨ar sannolikheten att ett gelehallon v¨ager mer ¨an 4 gram? Tillh¨or jag de 5% olyckligaste godis¨atarna om det gelehallon jag plockar upp ur p˚asen v¨ager 3.41 g?
R1-4 Stella ˚aker buss till jobbet. Under en vecka m¨ater hon f¨oljande restider:
Veckodag M˚a Ti On To Fr Restid (min.) 19 27 28 22 29 Antag att restiden ¨ar oberoende av veckodag (och oberoende av vecka, s˚a l¨ange vi h˚aller oss till ter- minstid) och att den f¨oljer en normalf¨ordelning.
Uppskatta sannolikheten att restiden n¨asta m˚an- dag ¨overstiger 30 minuter? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 2005-05-04).
R1-5 Antag att l¨angden av danska m¨an ¨ar nor- malf¨ordelad med ett medelv¨arde av 175 cm och en standardavvikelse om 8.4 cm. Antag att m¨an utg¨or h¨alften av Danmarks befolkning om ca 5.6 miljoner. Hur m˚anga danska m¨an ¨ar d˚a:
l¨angre ¨an 180 cm?
l¨angre ¨an 200 cm?
mellan 155 och 165 cm?
mellan 172 och 179 cm?
R1-6 I Fisheries Science (Feb. 1995) publicer- ades en studie av tv˚a˚ariga sardiner i japanska fiskevatten. Man fann att l¨angden av dessa sar- diner var normalf¨ordelad med µ = 20,20 cm och σ = 0,65 cm.
Hur stor ¨ar sannolikheten att en tv˚a˚aarig sardin i japanska fiskevatten ¨ar mellan 21 och 22 cm l˚ang?
Hur stor ¨ar sannolikheten att den ¨ar kortare ¨an 19,84 cm? Hur stor ¨ar sannolikheten att den ¨ar l¨angre ¨an 22,01 cm? (Tentamensuppgift i Exp.
Met. 2004-05-07).
R1-7 En automatisk f¨argblandningsmaskin kan st¨allas in s˚a att den i genomsnitt doserar milliliter pigmentl¨osning per f¨argburk. Man har funnit att den m¨angd pigmentl¨osning som maskinen verkli- gen doserar i varje burk f¨oljer en normalf¨ordelning kring det inst¨allda v¨ardet med en standardav- vikelse om 0.4 milliliter. N¨ar man tillverkar en speciell bl˚a nyans m˚aste man kassera de burkar i vilka maskinen doserar mer ¨an 6 milliliter pigment- l¨osning, eftersom f¨argen annars blir f¨or m¨ork. Be- st¨am hur man skall st¨alla in s˚a att endast 1%
av burkarna m˚aste kasseras. (Tentamensuppgift i Exp. Met. 2004-06-15).
R1-8 Visa att
X(xi− ¯x)2 =X
x2i − 1 N
Xxi
2 (5) Den h¨ar formeln kan vara nyttig n¨ar man skall r¨akna ut standardavvikelsen, eftersom man inte f¨orst beh¨over r¨akna ut medelv¨ardet.
R1-9 Vid en m¨atning av en kontinuerlig vari- abel erh¨olls f¨oljande resultat:
x 0 ≤x < 1 1 ≤x < 2 2 ≤x < 3 3 ≤x < 4 4 ≤x < 5
n 0 2 0 1 4
x 5 ≤x < 6 6 ≤x < 7 7 ≤x < 8 8 ≤x < 9 9 ≤x < 10
n 2 6 3 1 1
Ber¨akna medelv¨arde och varians. Plotta resul- tatet i ett histogram. Skissa den normalf¨ordelning som svarar mot dessa v¨arden i samma plott.
R1-10 5 studenter m¨atte l¨angden av ett rum, deras resultat blev 3,30 m, 2,90 m, 3,70 m, 3,50 m och 3,10 m. Inga uppgifter om m¨atnoggrannheten
¨ar k¨anda. Uppskatta sannolikheten att resultatet skulle bli 4,00 meter eller st¨orre om vi l¨at en sj¨atte student m¨ata samma rum.
2. Histogrammerade data och viktat medel- v¨ arde
F¨or klassindelade data xi (k intervall) med fre- kvensen fi g¨aller att (xi r normalt lika med mitt- punkten i varje klass):
Medelv¨ardet:
¯ x = 1
N
k
X
i=1
fixi d¨ar N =
k
X
i=1
fi (6) Standardavvikelsen:
σx= v u u
t 1
N − 1
k
X
i=1
fi(xi− ¯x)2 (7)
= v u u
t 1
N − 1 hXk
i=1
fix2i − 1 N
Xk
i=1
fixi
2i
Antag nu att vi har N m¨atningar x1, x2, ..., xN av en och samma storhet x, med k¨anda os¨akerheter σ1, σ2, ..., σN. Den b¨asta uppskattningen av det sanna medelv¨ardet ¯x ¨ar d˚a:
Medelv¨ardet:
¯ x =
PN i=1wixi
PN i=1wi
(8)
d¨ar viktfaktorerna wi definieras som wi = 1
σi2 (9)
Felet (os¨akerheten) i ¯x ¨ar σ¯x= 1
q PN
i=1wi
(10)
R2-1 Sex studenter m¨atte h¨ojden p˚a labb-huset och fick f¨oljande v¨arden: 8.2 ± 1.2 m, 7.8 ± 0.9 m,
8.4 ± 0.2 m, 8.6 ± 0.6 m, 9.2 ± 2.5 m, 7.9 ± 1.3 m.
Vilken ¨ar den b¨asta kombinerade uppskattningen av h¨ojden p˚a huset?
R2-2 I en artikel publicerad i en vetenskaplig tidskrift anges det 95-procentiga konfidensinter- vallet f¨or egenfrekvensen hos en viss typ av balkar till (229.764 Hz, 233.504 Hz). Best¨amningen ba- seras p˚a fem m¨atningar, vi kan anta att best¨am- ningen beskrivs av en normalf¨ordelning. Best¨am det 99-procentiga konfidensintervallet. Hur m˚an- ga m¨atningar beh¨over man g¨ora f¨or att det ur- sprungliga intervallet skulle motsvara ett 99-pro- centigt konfidensintervall? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 2003-05-09).
R2-3 Vid tre m¨atningar av ljushastigheten er- h¨olls:
(2.99769 ± 0.00050) · 108m/s (2.99690 ± 0.00080) · 108m/s (2.99840 ± 0.00070) · 108m/s
Ber¨akna medelv¨ardet och dess os¨akerhet.
R2-4 F¨or att m¨ata resistansen hos en resistor m¨ats sp¨anningen ¨over resistorn samtidigt med str¨ommen genom resistorn. F¨oljande v¨arden er- h¨olls:
I (A) σI (A) U (V) σU(V) 0,50 0,02 4,39 0,05 1,00 0,02 8,22 0,05 2,00 0,05 15,80 0,1 3,00 0,05 23,10 0,1
Best¨am resistansen med hj¨alp av ett viktat medel- v¨arde ur formeln R = U/I.
3. Felfortplantning
Om funktionen z = f (x1, x2, ..., xN) ¨ar en funk- tion av flera variabler x1, x2, ..., xN) med os¨aker- heterna σ1, σ2, ..., σN och om alla xi ¨ar okorrole- rade, kan os¨akerheten i z skrivas
Felfortplantningsformeln:
σz = v u u t
N
X
i=1
∂f
∂xi
2
σi2 (11)
F¨or tv˚a variabler med z = z(x, y) f˚ar vi s˚aledes σz =
s ∂z
∂x
2
σ2x+ ∂z
∂y
2
σ2x (12) Om de tv˚a variablerna x och y ¨ar korrelerade g¨aller d¨aremot
Den allm¨anna felfortplantningsformeln med tv˚a variabler:
σz =
s ∂z
∂x
2
σx2+ 2∂z
∂x
∂z
∂yσxy + ∂z
∂y
2
σx2 (13) d¨ar σxy beskriver korrelationen mellan variablerna.
R3-1 Tv˚a resistanser best¨amdes till: R1= 10.7±
0.2 Ω och R2 = 25.5 ± 0.5 Ω. Ber¨akna den kom- binerade resistansen R, n¨ar man:
a) seriekopplar resistorerna, R = R1+ R2 b) parallellkopplar resistorerna, R1 = R11 +R12 R3-2 Den elektriska effekt som utvecklas i en resistor i en likstr¨omskrets kan ber¨aknas ur upp- m¨atta v¨arden p˚a sp¨anning (U ) och resistens (R) som:
P = U2 R
Antag att os¨akerheten i U och R ¨ar k¨and som σU
och σR, ber¨akna d˚a σP.
R3-3 Om sp¨anningen i uppgift R3-2 ¨ar m¨att till 125 ± 2 V och resistansen till 62 ± 1 Ω, vilken blir d˚a effekten?
4. Linj¨ ar regression
Betrakta tv˚a fysikaliska variabler x och y som vi misst¨anker ¨ar linj¨art relaterade, dvs satisfierar den linj¨ara relationen y = a+b·x. Den r¨ata linjens parametrar a och b kan anpassas till den experi- mentella datam¨angden [(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)]
genom linj¨ar regression eller som vi ocks˚a s¨ager:
minsta kvadratanpassning till r¨at linje. Metoden g˚ar ut p˚a att minimera uttrycket:
χ2 =
N
X
i=1
(yi− a − b · xi)2
σi2 (14)
d¨ar σi ¨ar os¨akerheten i m¨atv¨ardet yi. Viktad anpassning:
a= P wx2P wy − P wx P wxy
∆ , σa=r P wx2
∆(15)
b= P w P wxy − P wx P wy
∆ , σb =r P w
∆(16) d¨ar ∆ = P w P wx2 − (P wx)2. Vi skall ¨aven h¨ar ange hur kovariansen σab ber¨aknas (se kapitel 5):
σab = −P wx
∆ (17)
Oviktad anpassning (σi = 1):
a= P x2P y − P x P xy
∆ , σa= σyr P x2
∆ (18)
b= NP xy − P x P y
∆ , σb = σy
rN
∆ (19) d¨ar ∆ = NP x2−(P x)2 och den b¨asta uppskat- tningen av os¨akerheten i y:
σy = v u u
t 1
N − 2
N
X
i=1
(yi− a − b · xi)2 (20)
R4-1 Anv¨and data i uppgift R2-4. Best¨am ett v¨arde p˚a R med hj¨alp av en anpassning till den
r¨ata linjen U = a + b · I (g¨or f¨orst en oviktad an- passning och sedan en viktad anpassning med ek- vivalenta fel). J¨amf¨or och kommentera resultatet i R2-4 (bortse fr˚an korrelationen mellan parame- trarna a och b).
R4-2 Under˚aren 1975 till 1987 gjordes m¨atningar av lutningen hos det lutande tornet i Pisa. Man erh¨oll f¨oljande resultat:
˚Ar ∆x ˚Ar ∆x
1975 2,9642 1982 2,9698 1976 2,9644 1983 2,9713 1977 2,9656 1984 2,9717 1978 2,9667 1985 2,9725 1979 2,9673 1986 2,9742 1980 2,9688 1987 2,9757 1981 2,9696
Lutningen ∆x ¨ar ett m˚att (i meter) p˚a hur my- cket en punkt p˚a tornet avviker fr˚an motsvarande punkt p˚a tornet om tornet stod rakt. Hur m˚anga mm per ˚ar f¨orflyttar sig punkten?
R4-3 En storhet y antas bero av en m¨att vari- abel x enligt funktionssambandet y = A · x2+ B · sin x. F¨oljande v¨arden m¨attes:
x y ∆y
0,20 0,72 0,01 0,40 1,23 0,01 0,60 1,53 0,01 0,80 1,59 0,01 1,00 1,37 0,01
Best¨am den b¨asta uppskattningen av parametrar- na A och B.
R4-4 I ett jordbruks- f¨ors¨ok m¨atte man ut- bytet man fick p˚a ett vetef¨alt med olika m¨angd av konstg¨odsel. F¨oljande resultat erh¨olls (tabellen till h¨oger).
M¨angd Utbyte
100 40
200 50
300 50
400 70
500 65
600 65
700 80
S¨att ut f¨ors¨oksresultatet i ett diagram med M¨angd p˚a x-axeln och Utbyte p˚a y-axeln. Vilket ut- byte kan f¨orv¨antas om man tills¨atter 350 m¨angd g¨odsel?
5. Korrelationskoeffici- enten
Inom statistik anger korrelation styrkan och rikt- ningen av ett linj¨art samband mellan tv˚a vari- abler. Det kallas ¨aven korrelationskoefficient och betecknas vanligen med r eller ρ(x, y). H¨ar skall vi anv¨anda den vanligaste formen som kallas Pear- sons produktmomentkorrelationskoefficient
r = σxy
σxσy
(21) d¨ar σxy ¨ar kovariansen och σx och σy ¨ar de tv˚a variablernas standardavvikelse.
Vid praktiska ber¨akningar kan fomerna r = σxy
σxσy
= P(xi− ¯x)(yi− ¯y)
pP(xi− ¯x)2 P(yi− ¯y)2 (22) eller
r = P xiyi− N ¯x¯y q
P x2i − N ¯x2
P y2i − N ¯y2 (23) anv¨andas.
I Appendix C i l¨aroboken anges sannolikheten P (|r| ≥ r0) att N m¨atningar av tv˚a okorrelerade variabler x och y skall ge ett v¨arde p˚a korrelation- skoefficienten |r| ≥ r0.
R5-1 En barnl¨akare ville unders¨oka om det fanns n˚agot samband mellan l¨angd och huvu- domf˚ang hos tre-˚ariga barn. Hon m¨atte d¨arf¨or upp f¨oljande v¨arden f¨or 11 slumpvis utvalda tre-˚aringar.
Unders¨ok om det verkar finnas fog f¨or antagandet att det finns ett sam- band mellan l¨angd och huvudomf˚ang.
L¨angd Huvudom- (cm) f˚ang (cm)
70,5 44,5
62,0 43,5
65,0 43,5
66,0 44,0
63,5 43,5
70,5 44,5
67,5 44,0
68,5 44,5
68,0 44,0
68,0 44,5
67,0 44,5
R5-2 Tio personer som har k¨opt en viss typ av tr¨aningsutrustning har f˚att ange hur m˚anga m˚anader de ¨agt utrustningen och hur m˚anga tim- mar de anv¨ande den f¨oreg˚aende vecka. F¨oljande data observerades
Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antal m˚anader som utrust- ningen
¨ agts
12 2 6 9 7 2 8 4 10 5
Antal m˚anader som utrust- ningen anv¨andes f¨oreg˚aen- de vecka
4 10 8 5 5 8 3 8 2 5
Hur starkt ¨ar sambandet?
R5-3 I tabellen nedan redovisas f¨or ˚atta slump- vis valda l¨ander dels den f¨orv¨antade medellivs- l¨angden f¨or kvinnor f¨odda 1999, dels befolknings- tillv¨axten under 1999. Finns det sk¨al att h¨avda att det finns ett samband mellan dessa b¨agge stor- heter? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 2007-08- 23).
Land F¨orv. medel- Befolknings- livsl¨angd (˚a) ¨okning (%)
Andorra 86,55 2,24
Kuwait 79,30 3,88
USA 79,67 0,85
Kroatien 74,49 0,10
Tonga 72,22 0,80
Marshall¨oarna 66,50 3,86
Indonesien 65,29 1,46
Gabon 60,08 1,48
R5-4 Geysern Old Faithful ¨ar en av de mest k¨anda attraktionerna i Yellowstone National Park.
Med oregelbundna intervall sprutar den heta k¨al- lan upp en str˚ale vatten som kan n˚a ¨anda upp till 50 meter upp i luften. Eftersom alla turis- ter vill se ett utbrott, men f˚a har t˚alamod att v¨anta de upp till tv˚a timmar som det kan ta in- nan n¨aasta utbrott kommer s˚a ¨ar det ¨onskv¨art att kunna f¨oruts¨aga n¨ar n¨asta utbrott kommer. F¨or att f¨ors¨oka g¨ora det noterade man f¨or ˚atta utbrott dels hur m˚anga sekunder utbrottet varade, dels hur h¨ogt den h¨ogsta kaskaden n˚adde och sedan hur l¨ange man fick v¨anta p˚a n¨asta utbrott. Un- ders¨ok vilken av de tv˚a ¨ovriga variablerna som har starkast korrelation med v¨antetiden till n¨asta ut- brott. Hur stor ¨ar sannolikheten att en variabel som inte har n˚agon korrelation med v¨antetiden uppvisar ett s˚a h¨ogt v¨arde p˚a korrelationskoeffi- cienten? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 2006- 05-12).
Utbrott av Old Faithful Utbrottets H¨ojd V¨antetid
l¨angd (s) (m) (min.)
240 42 92
120 33 65
178 37,5 72
234 36 94
235 42 83
269 36 94
255 37,5 101
220 45 87
6. Dimensionsanalys
Dimensionsanalys eller enhetsbetraktelse ¨ar ett hj¨alpmedel f¨or att reducera antalet m¨ojliga sam- band. Den inneb¨ar att man studerar vilken di- mension de ing˚aende kvantiteterna har.
F¨oljande ¨ar ett exempel p˚a hur man anv¨ander dimensionsanalys: Antag vi vet att det finns ett samband mellan hastigheten v (m¨ats i m/s), str¨ac- kan s (m¨ats i m) och tiden t (m¨ats i s). Vilket
¨ar det exakta sambandet? Eftersom dimensionen f¨or kvoten s/t ¨ar [m/s] borde formeln bli v = s/t.
Att dimensionen ¨ar korrekt inneb¨ar dock inte n¨odv¨andigtvis att den antagna formeln ¨ar kor- rekt. Formellt st¨aller vi upp ett produktsam- band: v = sα· tβ d¨ar parametrarna α och β skall best¨ammas. Vi f˚ar f¨oljande samband (VL = HL):
m = mα s−1 = sβ
=⇒ α = 1, β = −1.
R6-1 F¨or att ett f¨orem˚al ska r¨ora sig i cirkul¨ar bana med konstant fart kr¨avs en centripetalkraft.
G¨or en dimensionsanalys f¨or denna kraft och de storheter den kan f¨orv¨antas bero p˚a.
R6-2 G¨or en dimensionsanalys f¨or sv¨angnings- tiden (T ) f¨or en pendel. Antag att den beror p˚a f¨oljande storheter: L¨angden L, hos pendeln, den sv¨angande massan m samt tyngdaccelerationen g.
R6-3 N¨ar v˚agor n¨armar sig stranden ¨ar deras hastighet beroende av tyngdaccelerationen, vat- tendjupet samt en dimensionsl¨os konstant. Be- st¨am genom dimensionsanalys hur detta samband ser ut.
Best¨am med hj¨alp av nedanst˚aende m¨atserie av v˚agornas hastighet som funktion av vattendjupet den dimensionsl¨osa konstanten och d¨armed det fullst¨andiga uttrycket f¨or vattenv˚agors hastighet.
Djup (m) 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
Hastighet (m/s2) 2,3±0,15 2,6±0,3 3,1±0,15 3,35±0,2 3,86±0,15
Felet i vattendjupet kan f¨orsummas. M¨atningarna av v˚agornas hastighet kan anses vara okorreler- ade. (Tentamensuppgift i Exp. Met. 2001-05- 12).
R6-4 Hur mycket energi kan frig¨oras i en atom- bombsexplotion? Det ¨ar rimligt att anta att det kan finnas ett fysikaliskt samband mellan tryck- v˚agens radie R, tiden t efter explosionen, om- givningens medeldensitet (dvs luften t¨athet) ρ och den frigjorda energi E. Antag produktsambandet
R = K · Eα· tβ· ργ
d¨ar konstanten K antas vara dimensionsl¨os. Be- st¨am parametrarna α, β och γ.
(Detta beroende verifierades av en serie fotografier (av J. E. Mack) tagna i exakta tidsintervall efter den f¨orsta atombombsexplosionen i New Mexico
˚ar 1945 varvid energin kunde best¨ammas.)
7. Poissonf¨ ordelningen
Poissonf¨ordelningen beskriver experiment d¨ar man r¨aknar h¨andelser som upptr¨ader slumpm¨as- sigt men som har en konstant medelfrekvens. Om det under tidsintervallet T upptr¨ader ν h¨andelser s˚a ¨ar sannolikheten f¨or det givet av funktionen
P (ν h¨andelser under tiden T ) = e−µµν
ν! (24) d¨ar parametern µ ¨ar det f¨orv¨antade medelv¨ardet av antalet h¨andelser under tiden T .
Standardavvikelsen av det observerade antalet ν
¨ar √µ
R7-1 Enligt National Center for Health Statis- tics i USA s˚a f¨oljer antalet f¨argblinda m¨an i USA en Poissonf¨ordelning med i genomsnitt 1,0 f¨arg- blind person per 100 personer. Antag att vi har 500 slumpvist utvalda amerikanska m¨an, ber¨akna d˚a sannolikheten f¨or att det finns exakt tre f¨arg- blinda personer i gruppen. Hur stor ¨ar sanno- likheten att det finns mindre ¨an tre f¨argblinda personer i gruppen? (Tentamensuppgift i Exp.
Met. 2006-05-12).
R7-2 P˚a sjukhuset i Kalix arbetar barnmors- korna i sex-timmarspass. Det visar sig att antalet f¨odslar under ett s˚adant pass ¨ar Poissonf¨ordelat med ett genomsnitt p˚a 1,3 f¨odslar. Under hur m˚anga av ˚arets arbetspass kan man f¨orv¨anta sig att det inte kommer att f¨odas n˚agra barn alls?
Om antalet f¨odslar under ett pass ¨overstiger fem s˚a m˚aste bakjouren fr˚an det lokala bemannings- f¨oretaget kallas in. Varje g˚ang detta sker beta- lar landstinget 10 000 kronor. Hur mycket skall sjukhusdirekt¨oren s¨atta av i sin˚arsbudget f¨or detta
¨andam˚al? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 2003- 05-09).
R7-3 I en unders¨okt ˚a med rinnande vatten har man funnit en genomsnittlig koncentration av co- libakterier av 1 per 20 cm3 vatten. Vid ett tillf¨alle
togs ett prov p˚a 10 cm3 vatten. Hur stor ¨ar san- nolikheten att detta prov inneh˚aller exakt 2 col- ibakterier?
R7-4 Tabellen nedan visar n˚agra klassiska data fr˚an 1910 av Rutherford, Geiger och Bateman.
De studerade antalet α-partiklar per 1/8 minut som emitterades av en tunn film av polonium.
Den v¨anstra kolumnen ger antalet observerade α-partiklar under ett s˚adant tidsintervall (12,5 s) och den h¨ogra kolumnen anger antalet r¨aknade tidsintervall med detta antal s¨onderfall.
Antal Antal s¨onderfall obs.
per 7,5 s intervall
0 57
1 203
2 383
3 525
4 532
5 408
6 273
7 139
8 45
9 27
10 10
11 4
12 0
13 1
14 1
≥15 0
a) Ber¨akna den genomsnittliga s¨onderfallshastig- heten.
b) Ber¨akna det f¨orv¨antade antalet s¨onderall (E) i varje fall.
c) J¨amf¨or Rutherfords data (A) med det det f¨or- v¨antade (E).
8. Chikvadrattest
F¨or n observationer (Ok) d¨ar vi k¨anner (eller kan ber¨akna) medelv¨ardet (Ek) med observationernas standardavvikelse (σk) kan vi definiera chikvadrat- funktionen
χ2 = Σnk=1(Ok− Ek)2 Ek
(25) I de fall (k) d¨ar vi r¨aknar antalet h¨andelser (Ok) med det f¨orv¨antade antalet (Ek) antar vi att stan- dardavvikelsen ¨ar σk=√
Ek.
Upprepar vi experimentet n g˚anger blir medel- v¨ardet av χ2 lika med d, d¨ar d = n − c, d¨ar c ¨ar antalet parametrar som ber¨aknats fr˚an data f¨or att ber¨akna χ2.
Den reducerade ˜χ2-f¨ordelningen definieras som
˜
χ2 = χ2/d (26)
I Appendix D i l¨aroboken finner man sannolik- heterna Pd( ˜χ2) ≥ ˜χ20.
R8-1 I problem 12.6 och 12.7 i Taylor skall man ange antalet frihetsgrader f¨or vart och ett av prob- lemen 12.1 och 12.2 till 12.4 respektive.
a) I 12.1 har vi klassindelat materialet i 4 binnar, dvs n = 4. Det totala antalet observationer ¨ar 50 och fr˚an dessa har medelv¨ardet och standard- avvikelsen ber¨aknats (f¨or att definiera klassgr¨an- serna).
b) I 12.2 har vi klassindelat materialet i 4 binnar, dvs n = 4. Det totala antalet observationer ¨ar 30 och fr˚an dessa har medelv¨ardet och standard- avvikelsen ber¨aknats (f¨or att definiera klassgr¨an- serna).
c) I 12.3 har vi klassindelat materialet i 6 binnar, dvs n = 6. Det totala antalet observationer ¨ar 240.
d) I 12.4 har vi klassindelat materialet i 3 binnar, dvs n = 3. Det totala antalet observationer ¨ar 400.
R8-2 Ber¨akna den reducerade chi-kvadraten f¨or f¨ordelningen i problem R7-4 ovan och ange motsva- rande sannolikhet. Vad ¨ar tolkningen av denna sannolikhet?
R8-3 Hur m˚anga frihetsgrader har data i tabellen nedan?
R8-4 Hur m˚anga frihetsgrader har data i tabellen nedan?
R8-5 En bilf¨ors¨aljare vill best¨alla ett bilm¨arke i fem olika f¨arger. Hon utg˚ar fr˚an det f¨oreg˚aende
˚arets f¨ors¨aljning av samma m¨arke med f¨argerna gul, r¨od, gr¨on, bl˚a och vit som f¨ordelade sig som 20 %, 30 %, 10 %, 10 % och 30 %. F¨or att kon- trollera om detta var en rimlig f¨ordelning valde hon ut 150 kunder som var och en fick ange sitt f¨argval om personen i fr˚aga skulle k¨opa denna modell.
F¨arg F¨orv¨antad Kundernas kategori f¨ordelning val
Gul 30 35
R¨od 45 50
Gr¨on 15 30
Bl˚a 15 10
Vit 45 25
Vi sammanfattar f¨ordelningarna i tabellen ovan.
Det ¨ar uppenbart att det finns en viss diskre- pans mellan fjol˚arets f¨ordelning och kundernas val. Bilf¨ors¨aljaren fr˚agar sig om denna skillnad
¨ar verklig eller endast ett verk av slumpen. L˚at nu noll hypotesen (H0) vara den att det inte finns n˚agon skillnad mellan f¨orv¨antad och observerad frekvens. Den alternativa hypotesen ¨ar den att det finns en skillnad. Hj¨alp bilf¨ors¨aljaren att av- g¨ora vilken hypotes hon skall v¨alja. Antag att signifikansniv˚an s¨atts till 5% hur stort f˚ar χ2 d˚a h¨ogsta vara?
