Kontsys F13 Duggagenomgång och repetition av första halvan

Duggan

Kontsys F13

Duggagenomg ˚ang och repetition av f ¨orsta halvan

Pelle

2020-03-23

Duggan

Inneh ˚all

Genomg ˚ang av duggan

Snabbrepetition av genomg ˚angen teori under f ¨orra lp.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

TENTAMENSSKRIVNING KONTINUERLIGA SYSTEM

����-��-��, kl �-��

HJÄLPMEDEL: Utdelad formelsamling och miniräknare.

Motivera lösningarna väl.

�. a) Ge en fysikalisk tolkning av problemet 𝑢^′𝑡− 3 𝑢^″_𝑥𝑥= 0, 𝑢(0, 𝑡) = 2, 𝑢(1, 𝑡) = 0 och 𝑢(𝑥, 0) = 4.

b) En (oändligt) lång homogen trästock med kvadratiskt tvärsnitt med sidan � dm flyter i vatten på sådant sätt att vattenytan är i höjd med den ena tvärsnittsdiagonalen. Vattnets temperatur är 10° C medan luftens temperatur är 20° C. Innan stocken hamnade i vattnet hade den temperaturen 16° C rätt igenom. Ställ upp en matematisk modell för den stationära temperaturfördelningen i trästocken. Värmeövergångsmotstånd får försummas.

�. Lös problemet i �. a) ovan!

�. Bestäm det förstagradspolynom som bäst approximerar funktionen 𝑓(𝑥) = sin(π𝑥) på intervallet [0, 2] i L2-normen ‖𝑓‖ = (∫₀²|𝑓(𝑥)|²d𝑥)^1/2.

�. Visa att operatorn

𝒜 = −d² d𝑥²− 2 d

d𝑥

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Repetition

I kapitel 1 behandlas matematiska modeller av olika fysikaliska problem.

Vad som beh ¨ovs f ¨or ett v ¨alst ¨allt problem.

Mycket terminologi som ¨ar viktigt att beh ¨arska.

F ¨orsta uppgiften p ˚a duggan tr ¨anande dessa moment.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. a

Problem

Ge en fysikalisk tolkning av problemet u_t⁰−3 u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0 och u(x,0) =4.

H ¨ar ¨ar givet ett matematisk problem och meningen ¨ar att formulera ett fysikaliskt problem som inneh ˚aller (minst) den information som beh ¨ovs f ¨or att st ¨alla upp precis detta matematiska problem. Var noga med n ¨ar, var och hur. Viktigt att f ˚a med alla siffror. H ¨ar anv ¨ands f ¨arg f ¨or att illustrera

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. a

Problem

Ge en fysikalisk tolkning av problemet u_t⁰−3 u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0 och u(x,0) =4.

Fysikalisk formulering v ¨armeledning

Ber ¨akna f ¨ordelningen av v ¨arme i en 1 m l ˚ang tunn homogen stav med v ¨armediffusivitet 3 m²/s. Vid f ¨ors ¨okets start har staven

temperaturen 4^◦C och ¨ar isolerad ¨overallt utom i ¨andarna som h ˚alls vid temperatur 0^◦C respektive 2^◦C.

Fysikalisk formulering diffusion

Ber ¨akna koncentrationen av ett ¨amne i ett smalt r ¨or av l ¨angd 1 m. Vid f ¨ors ¨okets start ¨ar koncentrationen 4 kg/m² i hela r ¨oret men ¨andarna ansluts till stora beh ˚allare med koncentrationerna 0 respektive 2 kg/m². Diffussionskonstanten ¨ar 3 m²/s.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. a

Problem

Ge en fysikalisk tolkning av problemet u_t⁰−3 u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0 och u(x,0) =4.

Fysikalisk formulering v ¨armeledning

Ber ¨akna f ¨ordelningen av v ¨arme i en 1 m l ˚ang tunn homogen stav med v ¨armediffusivitet 3 m²/s. Vid f ¨ors ¨okets start har staven

temperaturen 4^◦C och ¨ar isolerad ¨overallt utom i ¨andarna som h ˚alls vid temperatur 0^◦C respektive 2^◦C.

Fysikalisk formulering diffusion

Ber ¨akna koncentrationen av ett ¨amne i ett smalt r ¨or av l ¨angd 1 m. Vid f ¨ors ¨okets start ¨ar koncentrationen 4 kg/m² i hela r ¨oret men ¨andarna ansluts till stora beh ˚allare med koncentrationerna 0 respektive 2 kg/m². Diffussionskonstanten ¨ar 3 m²/s.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. a

Problem

Ge en fysikalisk tolkning av problemet u_t⁰−3 u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0 och u(x,0) =4.

Fysikalisk formulering v ¨armeledning

Ber ¨akna f ¨ordelningen av v ¨arme i en 1 m l ˚ang tunn homogen stav med v ¨armediffusivitet 3 m²/s. Vid f ¨ors ¨okets start har staven

temperaturen 4^◦C och ¨ar isolerad ¨overallt utom i ¨andarna som h ˚alls vid temperatur 0^◦C respektive 2^◦C.

Fysikalisk formulering diffusion

Ber ¨akna koncentrationen av ett ¨amne i ett smalt r ¨or av l ¨angd 1 m. Vid f ¨ors ¨okets start ¨ar koncentrationen 4 kg/m² i hela r ¨oret men ¨andarna ansluts till stora beh ˚allare med koncentrationerna 0 respektive 2 kg/m². Diffussionskonstanten ¨ar 3 m²/s.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. a

Problem

Ge en fysikalisk tolkning av problemet u_t⁰−3u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0och u(x,0) =4.

Fysikalisk formulering v ¨armeledning

Ber ¨akna f ¨ordelningen av v ¨arme i en 1 m l ˚ang tunn homogen stav med v ¨armediffusivitet3m²/s. Vid f ¨ors ¨okets start har staven

temperaturen4^◦C och ¨ar isolerad ¨overallt utom i ¨andarna som h ˚alls vid temperatur0^◦C respektive2^◦C.

Fysikalisk formulering diffusion

Ber ¨akna koncentrationen av ett ¨amne i ett smalt r ¨or av l ¨angd 1 m. Vid f ¨ors ¨okets start ¨ar koncentrationen4kg/m² i hela r ¨oret men ¨andarna

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. a

Problem

Ge en fysikalisk tolkning av problemet u_t⁰−3u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0och u(x,0) =4.

Fysikalisk formulering v ¨armeledning

Ber ¨akna f ¨ordelningen av v ¨arme i en1m l ˚ang tunn homogen stav med v ¨armediffusivitet3m²/s. Vid f ¨ors ¨oketsstarthar staven

temperaturen4^◦C och ¨ar isolerad ¨overallt utom i ¨andarna som h ˚alls vid temperatur0^◦C respektive2^◦C.

Fysikalisk formulering diffusion

Ber ¨akna koncentrationen av ett ¨amne i ett smalt r ¨or av l ¨angd1m. Vid f ¨ors ¨oketsstart ¨ar koncentrationen4kg/m² i hela r ¨oret men ¨andarna ansluts till stora beh ˚allare med koncentrationerna0respektive 2kg/m². Diffussionskonstanten ¨ar3m²/s.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

L ¨os problemet

u_t⁰−3 u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0 och u(x,0) =4.

Hoppar till uppgift 2.

Kapitel 3 handlar om l ¨osning av poblem med serieutveckling.

Hittills mest sinus och cosinusserier.

Denna uppgiften tr ¨anande dessa moment.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

L ¨os problemet

u_t⁰−3 u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0 och u(x,0) =4.

Homogenisera f ¨orst!

ustat(x,t) =u(x,t) =2−2x l ¨oseru⁰_t−3u⁰⁰_xx=0,u(0,t) =2, u(1,t) =0.

S ¨att u=u+v . D ˚a l ¨oser v systemet







v_t⁰−3 v_xx⁰⁰ =0, 0<x<1,t>0, v(0,t) =0,v(1,t) =0, t>0,

v(x,0) =2+2x, 0<x<1.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

L ¨os problemet

u_t⁰−3 u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0 och u(x,0) =4.

Homogenisera f ¨orst!

ustat(x,t) =u(x,t) =2−2x l ¨oseru⁰_t−3u⁰⁰_xx=0,u(0,t) =2, u(1,t) =0.

S ¨att u=u+v . D ˚a l ¨oser v systemet







v_t⁰−3 v_xx⁰⁰ =0, 0<x<1,t>0, v(0,t) =0,v(1,t) =0, t>0,

v(x,0) =2+2x, 0<x<1.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

L ¨os problemet

u_t⁰−3 u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0 och u(x,0) =4.

Homogenisera f ¨orst!

ustat(x,t) =u(x,t) =2−2x l ¨oseru⁰_t−3u⁰⁰_xx=0,u(0,t) =2, u(1,t) =0.

S ¨att u=u+v . D ˚a l ¨oser v systemet







v_t⁰−3 v_xx⁰⁰ =0, 0<x<1,t>0, v(0,t) =0,v(1,t) =0, t>0,

v(x,0) =2+2x, 0<x<1.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

L ¨os problemet

u_t⁰−3 u⁰⁰_xx=0, u(0,t) =2, u(1,t) =0 och u(x,0) =4.

Homogenisera f ¨orst!

ustat(x,t) =u(x,t) =2−2x l ¨oseru⁰_t−3u⁰⁰_xx=0,u(0,t) =2, u(1,t) =0.

S ¨att u=u+v . D ˚a l ¨oser v systemet







v_t⁰−3 v_xx⁰⁰ =0, 0<x<1,t>0, v(0,t) =0,v(1,t) =0, t>0,

v(x,0) =2+2x, 0<x<1.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

Nytt system







v_t⁰−3 v_xx⁰⁰ =0, 0<x<1,t>0, v(0,t) =0,v(1,t) =0, t>0,

v(x,0) =2+2x, 0<x<1.

Sinusansats Ans ¨att

v(x,t) =

∞

∑

k=1

vk(t) sin(kπx).

L ¨oser RV och med vk(t) =cke^−3k2π2t ¨aven PDE.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

Nytt system







v_t⁰−3 v_xx⁰⁰ =0, 0<x<1,t>0, v(0,t) =0,v(1,t) =0, t>0,

v(x,0) =2+2x, 0<x<1.

Sinusansats Ans ¨att

v(x,t) =

∞

∑

k=1

vk(t) sin(kπx).

L ¨oser RV och med vk(t) =cke^−3k2π2t ¨aven PDE.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

Nytt system







v_t⁰−3 v_xx⁰⁰ =0, 0<x<1,t>0, v(0,t) =0,v(1,t) =0, t>0,

v(x,0) =2+2x, 0<x<1.

Sinusansats Ans ¨att

v(x,t) =

∞

∑

k=1

vk(t) sin(kπx).

L ¨oser RV och med vk(t) =cke^−3k2π2t ¨aven PDE.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

Sinusansats

v(x,t) =

∞

∑

k=1

cke^−3k2π2tsin(kπx).

BV blir v(x,0) = ∑^∞k=1cksin(kπx) =2+2x

d ¨ar

ck = (sin(kπx) |2+2x) (sin(kπx) | sin(kπx))=2

Z 1 0

(2+2x) sin(kπx) dx

= . . . =41−2(−1)^k

kπ .

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

Sinusansats

v(x,t) =

∞

∑

k=1

cke^−3k2π2tsin(kπx).

BV blir v(x,0) = ∑^∞_k=1cksin(kπx) =2+2x

d ¨ar

ck = (sin(kπx) |2+2x) (sin(kπx) | sin(kπx))=2

Z 1 0

(2+2x) sin(kπx) dx

= . . . =41−2(−1)^k

kπ .

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

Sinusansats

v(x,t) =

∞

∑

k=1

cke^−3k2π2tsin(kπx).

BV blir v(x,0) = ∑^∞_k=1cksin(kπx) =2+2x d ¨ar

ck = (sin(kπx) |2+2x) (sin(kπx) | sin(kπx))

=2 Z 1

0

(2+2x) sin(kπx) dx

= . . . =41−2(−1)^k

kπ .

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

Sinusansats

v(x,t) =

∞

∑

k=1

cke^−3k2π2tsin(kπx).

BV blir v(x,0) = ∑^∞_k=1cksin(kπx) =2+2x d ¨ar

ck = (sin(kπx) |2+2x) (sin(kπx) | sin(kπx))=2

Z 1 0

(2+2x) sin(kπx) dx

= . . . =41−2(−1)^k

kπ .

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

Sinusansats

v(x,t) =

∞

∑

k=1

cke^−3k2π2tsin(kπx).

BV blir v(x,0) = ∑^∞_k=1cksin(kπx) =2+2x d ¨ar

ck = (sin(kπx) |2+2x) (sin(kπx) | sin(kπx))=2

Z 1 0

(2+2x) sin(kπx) dx

= . . . =41−2(−1)^k

kπ .

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

Seriel ¨osning

u(x,t) =2−2x+

∞

∑

k=1

41−2(−1)^k

kπ e^−3k2π2tsin(kπx).

Kommentarer

En nackdel ¨ar att serien ¨ar sv ˚artolkad.

Ofta r ¨acker med den ledande termen (k=1) f ¨or en god approximation av l ¨osningen (f ¨orutom n ¨ara (t =0).

P ˚a dator ¨ovning 1 visades hur matlab kan anv ¨andas f ¨or att visualisera s ˚ana h ¨ar l ¨osningar. Vilket i detta fall ger f ¨oljande figur.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 2

Seriel ¨osning

u(x,t) =2−2x+

∞

∑

k=1

41−2(−1)^k

kπ e^−3k2π2tsin(kπx).

Kommentarer

En nackdel ¨ar att serien ¨ar sv ˚artolkad.

Ofta r ¨acker med den ledande termen (k=1) f ¨or en god approximation av l ¨osningen (f ¨orutom n ¨ara (t =0).

P ˚a dator ¨ovning 1 visades hur matlab kan anv ¨andas f ¨or att visualisera s ˚ana h ¨ar l ¨osningar. Vilket i detta fall ger f ¨oljande figur.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Numerisk l ¨osning

0.8 1 0.6 x 0.2 0.4

0.2 0 0.15 0.1 t 0.05 -0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4.5 4 3.5

0

temp

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Fysikaliskt problem

En (o ¨andligt) l ˚ang homogen tr ¨astock med kvadratiskt tv ¨arsnitt med sidan 2 dm flyter i vatten p ˚a s ˚adant s ¨att att vattenytan ¨ar i h ¨ojd med den ena tv ¨arsnittsdiagonalen. Vattnets temperatur ¨ar 10^◦C medan luftens temperatur ¨ar 20^◦C. Innan stocken hamnade i vattnet hade den temperaturen 16^◦C r ¨att igenom. St ¨all upp en matematisk modell f ¨or den station ¨ara temperaturf ¨ordelningen i tr ¨astocken.

V ¨arme ¨overg ˚angsmotst ˚and f ˚ar f ¨orsummas.

Viktig uppgift d ¨ar det g ¨aller att tolka den information som ges. Temperaturutvecklingen i en tr ¨astock beror p ˚a tre rumsvariabler och tiden, totalt 4 variabler.

Att den ¨arl ˚angsignalerar att man kan bortse fr ˚an variationer i stockens l ¨angsledd.

Station ¨arsignalerar att man kan bortse fr ˚an tiden.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Fysikaliskt problem

En (o ¨andligt) l ˚ang homogen tr ¨astock med kvadratiskt tv ¨arsnitt med sidan 2 dm flyter i vatten p ˚a s ˚adant s ¨att att vattenytan ¨ar i h ¨ojd med den ena tv ¨arsnittsdiagonalen. Vattnets temperatur ¨ar 10^◦C medan luftens temperatur ¨ar 20^◦C. Innan stocken hamnade i vattnet hade den temperaturen 16^◦C r ¨att igenom. St ¨all upp en matematisk modell f ¨or den station ¨ara temperaturf ¨ordelningen i tr ¨astocken.

V ¨arme ¨overg ˚angsmotst ˚and f ˚ar f ¨orsummas.

Viktig uppgift d ¨ar det g ¨aller att tolka den information som ges.

Temperaturutvecklingen i en tr ¨astock beror p ˚a tre rumsvariabler och tiden, totalt 4 variabler.

Att den ¨arl ˚angsignalerar att man kan bortse fr ˚an variationer i stockens l ¨angsledd.

Station ¨arsignalerar att man kan bortse fr ˚an tiden.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Fysikaliskt problem

En (o ¨andligt) l ˚ang homogen tr ¨astock med kvadratiskt tv ¨arsnitt med sidan 2 dm flyter i vatten p ˚a s ˚adant s ¨att att vattenytan ¨ar i h ¨ojd med den ena tv ¨arsnittsdiagonalen. Vattnets temperatur ¨ar 10^◦C medan luftens temperatur ¨ar 20^◦C. Innan stocken hamnade i vattnet hade den temperaturen 16^◦C r ¨att igenom. St ¨all upp en matematisk modell f ¨or den station ¨ara temperaturf ¨ordelningen i tr ¨astocken.

V ¨arme ¨overg ˚angsmotst ˚and f ˚ar f ¨orsummas.

Figur:

Inf ¨or koordinater 0 2 y

0 2

x

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Fysikaliskt problem

En (o ¨andligt) l ˚ang homogen tr ¨astock med kvadratiskt tv ¨arsnitt med sidan 2 dm flyter i vatten p ˚a s ˚adant s ¨att att vattenytan ¨ar i h ¨ojd med den ena tv ¨arsnittsdiagonalen. Vattnets temperatur ¨ar 10^◦C medan luftens temperatur ¨ar 20^◦C. Innan stocken hamnade i vattnet hade den temperaturen 16^◦C r ¨att igenom. St ¨all upp en matematisk modell f ¨or den station ¨ara temperaturf ¨ordelningen i tr ¨astocken.

V ¨arme ¨overg ˚angsmotst ˚and f ˚ar f ¨orsummas.

Figur:

Inf ¨or koordinater 0 2 y

0 2

x

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Matematisk modell u(x,y,t)temperaturen











u_t⁰−a∆u=0,

u(x,0,t) =u(0,y,t) =10, u(x,2,t) =u(2,y,t) =20, u(x,y,0) =16.

Station ¨ar temperatur

v(x,y) = lim

t→∞u(x,y,t).

a ¨ar v ¨armediffusiviteten vars v ¨arde inte ¨ar givet i problemet. Detta ¨ar i princip r ¨att men sv ˚arl ¨ost.

B ¨attre l ¨osning med f ¨arre variabler f ¨oljer.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Matematisk modell u(x,y,t)temperaturen











u_t⁰−a∆u=0,

u(x,0,t) =u(0,y,t) =10, u(x,2,t) =u(2,y,t) =20, u(x,y,0) =16.

Station ¨ar temperatur

v(x,y) = lim

t→∞u(x,y,t).

a ¨ar v ¨armediffusiviteten vars v ¨arde inte ¨ar givet i problemet. Detta ¨ar i princip r ¨att men sv ˚arl ¨ost.

B ¨attre l ¨osning med f ¨arre variabler f ¨oljer.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Matematisk modell u(x,y,t)temperaturen











u_t⁰−a∆u=0,

u(x,0,t) =u(0,y,t) =10, u(x,2,t) =u(2,y,t) =20, u(x,y,0) =16.

Station ¨ar temperatur

v(x,y) = lim

t→∞u(x,y,t).

a ¨ar v ¨armediffusiviteten vars v ¨arde inte ¨ar givet i problemet.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

B ¨attre matematisk modell

v(x,y)station ¨ar temperatur uppfyller det matematiska problemet







∆v=0,

0<x<2,0<y<2,

v(x,0) =v(0,y) =10,

0<x<2,0<y<2,

v(x,2) =v(2,y) =20,

0<x<2,0<y<2.

Figur: v=10

v=20 v=20

v=10 ∆v=0

Obs att v ¨armediffusiviteten och begynnelsetemp. inte ing ˚ar. Att l ¨osa problemet ingick inte (pga tidsbrist) men det g ¨ors h ¨ar som repetition av v ˚ara metoder.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

B ¨attre matematisk modell

v(x,y)station ¨ar temperatur uppfyller det matematiska problemet







∆v=0, 0<x<2,0<y<2, v(x,0) =v(0,y) =10, 0<x<2,0<y<2, v(x,2) =v(2,y) =20, 0<x<2,0<y<2.

Figur: v=10

v=20 v=20

v=10 ∆v=0

Obs att v ¨armediffusiviteten och begynnelsetemp. inte ing ˚ar. Att l ¨osa problemet ingick inte (pga tidsbrist) men det g ¨ors h ¨ar som repetition av v ˚ara metoder.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

B ¨attre matematisk modell

v(x,y)station ¨ar temperatur uppfyller det matematiska problemet







∆v=0, 0<x<2,0<y<2, v(x,0) =v(0,y) =10, 0<x<2,0<y<2, v(x,2) =v(2,y) =20, 0<x<2,0<y<2.

Figur: v=10

v=20 v=20

v=10 ∆v=0

Obs att v ¨armediffusiviteten och begynnelsetemp. inte ing ˚ar. Att l ¨osa problemet ingick inte (pga tidsbrist) men det g ¨ors h ¨ar som repetition av v ˚ara metoder.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

B ¨attre matematisk modell

v(x,y)station ¨ar temperatur uppfyller det matematiska problemet







∆v=0, 0<x<2,0<y<2, v(x,0) =v(0,y) =10, 0<x<2,0<y<2, v(x,2) =v(2,y) =20, 0<x<2,0<y<2.

Figur: v=10

v=20 v=20

v=10 ∆v=0

Obs att v ¨armediffusiviteten och begynnelsetemp. inte ing ˚ar.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Matematisk l ¨osning

Anv ¨and superpositionsprincipen till att skriva v=10+v1+v2d ¨ar v₁,v₂uppfyller

v1=0

v1=0 v1=10

v1=0 ∆v₁=0

v2=0

v2=10 v2=0

v2=0 ∆v₂=0

Observera att symmetri ger att v2(x,y) =v1(y,x). v1best ¨ams genom sinusutveckling i x -led.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Matematisk l ¨osning

Anv ¨and superpositionsprincipen till att skriva v=10+v1+v2d ¨ar v₁,v₂uppfyller

v1=0

v1=0 v1=10

v1=0 ∆v₁=0

v2=0

v2=10 v2=0

v2=0 ∆v₂=0

Observera att symmetri ger att v2(x,y) =v1(y,x). v1best ¨ams genom sinusutveckling i x -led.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Matematisk l ¨osning

Anv ¨and superpositionsprincipen till att skriva v=10+v1+v2d ¨ar v₁,v₂uppfyller

v1=0

v1=0 v1=10

v1=0 ∆v₁=0

v2=0

v2=10 v2=0

v2=0 ∆v₂=0

Observera att symmetri ger att v2(x,y) =v1(y,x). v1best ¨ams genom sinusutveckling i x -led.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Matematisk l ¨osning

v(x,y) =10+v₁(x,y) +v₁(y,x)d ¨ar

v₁(x,y) =20

∞

∑

k=1

1− (−1)^k kπ

sinh(kπy/2)

sinh(kπ) sin(kπx/2)

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 1. b

Numerisk l ¨osning

Som i dator ¨ovning 1 mha pdetools i matlab erh ˚alls f ¨oljande figur.

Varje svart kurva motsvarar ett tempertursteg p ˚a ca 0,5^◦C (mer precist 10/21).

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Uppgift 3 och 4 p ˚a duggan ber ¨or material fr ˚an Appendix H.

Uppgift 3 anv ¨ander projektionsformeln och Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Uppgift 3

Best ¨am det f ¨orstagradspolynom som b ¨ast approximerar funktionen f(x) = sin(πx)p ˚a intervallet[0,2]iL2-normen

kfk = ^R₀²|f(x)|²dx
1/2

.

f

PMf e2 e₁

Projektionsformeln

PMf =

2

∑

k=1

(ek|f) (ek|ek) ^ek.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Uppgift 3

Best ¨am det f ¨orstagradspolynom som b ¨ast approximerar funktionen f(x) = sin(πx)p ˚a intervallet[0,2]iL2-normen

kfk = ^R₀²|f(x)|²dx
1/2

. f

PMf e2 e₁

Planet symboliserar det linj ¨ara rummet av 1:a grads polynom

Projektionsformeln

P_Mf =

2

∑

k=1

(e_k|f) (ek|ek) ^ek.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Uppgift 3

Best ¨am det f ¨orstagradspolynom som b ¨ast approximerar funktionen f(x) = sin(πx)p ˚a intervallet[0,2]iL2-normen

kfk = ^R₀²|f(x)|²dx
1/2

. f PMf

e2 e₁

P_Mf ¨ar det b ¨ast approximerande f ¨orstagradspolynomet.

Projektionsformeln

P_Mf =

2

∑

k=1

(e_k|f) (ek|ek) ^ek.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Uppgift 3

Best ¨am det f ¨orstagradspolynom som b ¨ast approximerar funktionen f(x) = sin(πx)p ˚a intervallet[0,2]iL2-normen

kfk = ^R₀²|f(x)|²dx
1/2

. f

PMf e2 e₁

PMf ¨ar det b ¨ast approximerande f ¨orstagradspolynomet.

e₁,e₂ ¨ar en ortogonal bas i planet.

Projektionsformeln PMf =

2

∑

k=1

(e_k|f) (ek|ek) ^ek.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Uppgift 3

Best ¨am det f ¨orstagradspolynom som b ¨ast approximerar funktionen f(x) = sin(πx)p ˚a intervallet[0,2]iL2-normen

kfk = ^R₀²|f(x)|²dx
1/2

.

f

PMf e2 e₁

Projektionsformeln

PMf =

2

∑

k=1

(ek|f) (ek|ek) ^ek.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Skal ¨arprodukt

(f|g) =^R₀²f(x)g(x) dx .

Viktigt ¨ar att e₁och e₂ ¨ar ortogonala. 1 och x ¨ar inte ortogonala

fixas med Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod vilket ger e1=1, e2=x−1 och

P_Msin(πx) =(1| sin(πx))

(1|1) ¹+(x−1| sin(πx))

(x−1|x−1) (x−1)

= −³_π(x−1).

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Skal ¨arprodukt

(f|g) =^R₀²f(x)g(x) dx .

Viktigt ¨ar att e₁och e₂ ¨ar ortogonala.

1 och x ¨ar inte ortogonala

fixas med Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod vilket ger e1=1, e2=x−1 och

P_Msin(πx) =(1| sin(πx))

(1|1) ¹+(x−1| sin(πx))

(x−1|x−1) (x−1)

= −³_π(x−1).

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Skal ¨arprodukt

(f|g) =^R₀²f(x)g(x) dx .

Viktigt ¨ar att e₁och e₂ ¨ar ortogonala.

1 och x ¨ar inte ortogonala

fixas med Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod vilket ger e1=1, e2=x−1 och

P_Msin(πx) =(1| sin(πx))

(1|1) ¹+(x−1| sin(πx))

(x−1|x−1) (x−1)

= −³_π(x−1).

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Skal ¨arprodukt

(f|g) =^R₀²f(x)g(x) dx .

Viktigt ¨ar att e₁och e₂ ¨ar ortogonala.

1 och x ¨ar inte ortogonala

fixas med Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod

vilket ger e1=1, e2=x−1 och P_Msin(πx) =(1| sin(πx))

(1|1) ¹+(x−1| sin(πx))

(x−1|x−1) (x−1)

= −³_π(x−1).

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Skal ¨arprodukt

(f|g) =^R₀²f(x)g(x) dx .

Viktigt ¨ar att e₁och e₂ ¨ar ortogonala.

1 och x ¨ar inte ortogonala

fixas med Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod vilket ger e1=1, e2=x−1 och

P_Msin(πx) =(1| sin(πx))

(1|1) ¹+(x−1| sin(πx))

(x−1|x−1) (x−1)

= −³_π(x−1).

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Skal ¨arprodukt

(f|g) =^R₀²f(x)g(x) dx .

Viktigt ¨ar att e₁och e₂ ¨ar ortogonala.

1 och x ¨ar inte ortogonala

fixas med Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod vilket ger e1=1, e2=x−1 och

P_Msin(πx) =(1| sin(πx))

(1|1) ¹+(x−1| sin(πx))

(x−1|x−1) (x−1)

= −³_π(x−1).

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Skal ¨arprodukt

(f|g) =^R₀²f(x)g(x) dx .

Viktigt ¨ar att e₁och e₂ ¨ar ortogonala.

1 och x ¨ar inte ortogonala

fixas med Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod vilket ger e1=1, e2=x−1 och

P_Msin(πx) =(1| sin(πx))

(1|1) ¹+(x−1| sin(πx))

(x−1|x−1) (x−1)

= −³_π(x−1).

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Figur

f(x) = sin(πx)

p(x) = −³_π(x−1)

x

1 2

1

Detta ¨ar det som efterfr ˚agades. Ser inte s ˚a imponerande ut. Med mer tid (och hj ¨alp av datorer) s ˚a kan man aprroximera med andra- och tredjegradspolynom.

F ¨or tredjegradspolynom ser det mycket b ¨attre ut.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Figur

f(x) = sin(πx) p(x) = −³_π(x−1)

x

1 2

1

Detta ¨ar det som efterfr ˚agades. Ser inte s ˚a imponerande ut. Med mer tid (och hj ¨alp av datorer) s ˚a kan man aprroximera med andra- och tredjegradspolynom.

F ¨or tredjegradspolynom ser det mycket b ¨attre ut.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Figur

f(x) = sin(πx) p(x) = −³_π(x−1)

x

1 2

1

Detta ¨ar det som efterfr ˚agades. Ser inte s ˚a imponerande ut.

Med mer tid (och hj ¨alp av datorer) s ˚a kan man aprroximera med andra- och tredjegradspolynom.

F ¨or tredjegradspolynom ser det mycket b ¨attre ut.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Figur

f(x) = sin(πx)

p(x) = −³_π(x−1)

p(x) = −³_π(x−1) +0· (x²−2x+²₃) p(x) = −³_π(x−1) −^35(π₂²⁻¹⁵⁾

π³ (x³−3x²+¹²₅x−²₅)

x

1 2

1

Observera att approximationen ¨ar god bara i intervallet[0,2]. Utanf ¨or blir det snabbt stora skillnader.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Figur

f(x) = sin(πx) p(x) = −³_π(x−1)

p(x) = −³_π(x−1) +0· (x²−2x+²₃) p(x) = −³_π(x−1) −^35(π₂²⁻¹⁵⁾

π³ (x³−3x²+¹²₅x−²₅)

x

1 2

1

Observera att approximationen ¨ar god bara i intervallet[0,2]. Utanf ¨or blir det snabbt stora skillnader.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Figur

f(x) = sin(πx) p(x) = −³_π(x−1)

p(x) = −³_π(x−1) +0· (x²−2x+²₃)

p(x) = −³_π(x−1) −^35(π₂²⁻¹⁵⁾

π³ (x³−3x²+¹²₅x−²₅)

x

1 2

1

Observera att approximationen ¨ar god bara i intervallet[0,2]. Utanf ¨or blir det snabbt stora skillnader.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Figur

f(x) = sin(πx) p(x) = −³_π(x−1)

p(x) = −³_π(x−1) +0· (x²−2x+²₃)

p(x) = −³_π(x−1) −^35(π₂²_π⁻3¹⁵⁾(x³−3x²+¹²₅x−²₅)

x

1 2

1

Observera att approximationen ¨ar god bara i intervallet[0,2]. Utanf ¨or blir det snabbt stora skillnader.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 3.

Figur

f(x) = sin(πx) p(x) = −³_π(x−1)

p(x) = −³_π(x−1) +0· (x²−2x+²₃)

p(x) = −³_π(x−1) −^35(π₂²_π⁻3¹⁵⁾(x³−3x²+¹²₅x−²₅)

x

1 2

1

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4

Visa att operatorn

A= − d² dx²−2 d

dx

med definitionsm ¨angdDA= {u∈ C²([0,3]) ;u⁰(0) =u⁰(3) =0} ¨ar symmetrisk iL2(w, [0,3])d ¨ar w(x) = e^2x. ¨Ar A positivt definit?

Sturm-Liouvilleoperator A kan skrivas

Au= − ¹ e^2x

d

dx(e^2x d

dxu) +0·u och ¨ar d ˚a en Sturm-Liouvilleoperator.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4

Visa att operatorn

A= − d² dx²−2 d

dx

med definitionsm ¨angdDA= {u∈ C²([0,3]) ;u⁰(0) =u⁰(3) =0} ¨ar symmetrisk iL2(w, [0,3])d ¨ar w(x) = e^2x. ¨Ar A positivt definit?

Sturm-Liouvilleoperator A kan skrivas

Au= − ¹ e^2x

d

dx(e^2x d

dxu) +0·u och ¨ar d ˚a en Sturm-Liouvilleoperator.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

A Sturm-Liouvilleoperator

Sats ger att A ¨ar symmetrisk

och positivt semidefinit varf ¨or alla egenv ¨arden ¨ar>^0.

F ¨or att avg ¨ora om A ¨ar positivt definit kan unders ¨oka om A har egenv ¨ardet 0.

Man kan se att A1=0=0·1 och att 1∈ D_A. Allts ˚a ¨ar A inte positivt definit.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

A Sturm-Liouvilleoperator

Sats ger att A ¨ar symmetrisk

och positivt semidefinit varf ¨or alla egenv ¨arden ¨ar>^0.

F ¨or att avg ¨ora om A ¨ar positivt definit kan unders ¨oka om A har egenv ¨ardet 0.

Man kan se att A1=0=0·1 och att 1∈ D_A. Allts ˚a ¨ar A inte positivt definit.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

A Sturm-Liouvilleoperator

Sats ger att A ¨ar symmetrisk

och positivt semidefinit varf ¨or alla egenv ¨arden ¨ar>^0.

F ¨or att avg ¨ora om A ¨ar positivt definit kan unders ¨oka om A har egenv ¨ardet 0.

Man kan se att A1=0=0·1 och att 1∈ D_A. Allts ˚a ¨ar A inte positivt definit.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

A Sturm-Liouvilleoperator

Sats ger att A ¨ar symmetrisk

och positivt semidefinit varf ¨or alla egenv ¨arden ¨ar>^0.

F ¨or att avg ¨ora om A ¨ar positivt definit kan unders ¨oka om A har egenv ¨ardet 0.

Man kan se att A1=0=0·1 och att 1∈ D_A. Allts ˚a ¨ar A inte positivt definit.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

A Sturm-Liouvilleoperator

Sats ger att A ¨ar symmetrisk

och positivt semidefinit varf ¨or alla egenv ¨arden ¨ar>^0.

F ¨or att avg ¨ora om A ¨ar positivt definit kan unders ¨oka om A har egenv ¨ardet 0.

Man kan se att A1=0=0·1 och att 1∈ D_A.

Allts ˚a ¨ar A inte positivt definit.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

A Sturm-Liouvilleoperator

Sats ger att A ¨ar symmetrisk

och positivt semidefinit varf ¨or alla egenv ¨arden ¨ar>^0.

F ¨or att avg ¨ora om A ¨ar positivt definit kan unders ¨oka om A har egenv ¨ardet 0.

Man kan se att A1=0=0·1 och att 1∈ D_A. Allts ˚a ¨ar A inte positivt definit.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4

Man kan visa att A symmetrisk direkt med definitionen (Au|v) = (u|Av), f ¨or alla u,v∈ D_A,

d ¨ar(u|v) =^R₀³u(x)v(x) e^2xdx .

L ¨attast blir det om man observerar att Au= − e^−2x(e^2xu⁰)⁰ vilket ger

(Au|v) = − Z 3

0

(e^2xu⁰(x))⁰v(x) dx

= + Z 3

0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4

Man kan visa att A symmetrisk direkt med definitionen (Au|v) = (u|Av), f ¨or alla u,v∈ D_A, d ¨ar(u|v) =^R₀³u(x)v(x) e^2xdx .

L ¨attast blir det om man observerar att Au= − e^−2x(e^2xu⁰)⁰ vilket ger

(Au|v) = − Z 3

0

(e^2xu⁰(x))⁰v(x) dx

= + Z 3

0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4

Man kan visa att A symmetrisk direkt med definitionen (Au|v) = (u|Av), f ¨or alla u,v∈ D_A, d ¨ar(u|v) =^R₀³u(x)v(x) e^2xdx .

L ¨attast blir det om man observerar att Au= − e^−2x(e^2xu⁰)⁰

vilket ger

(Au|v) = − Z 3

0

(e^2xu⁰(x))⁰v(x) dx

= + Z 3

0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4

Man kan visa att A symmetrisk direkt med definitionen (Au|v) = (u|Av), f ¨or alla u,v∈ D_A, d ¨ar(u|v) =^R₀³u(x)v(x) e^2xdx .

L ¨attast blir det om man observerar att Au= − e^−2x(e^2xu⁰)⁰ vilket ger

(Au|v) = − Z 3

0

(e^2xu⁰(x))⁰v(x) dx

=h

e^2xu⁰(x)v(x)i3 0+

Z 3 0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4

Man kan visa att A symmetrisk direkt med definitionen (Au|v) = (u|Av), f ¨or alla u,v∈ D_A, d ¨ar(u|v) =^R₀³u(x)v(x) e^2xdx .

L ¨attast blir det om man observerar att Au= − e^−2x(e^2xu⁰)⁰ vilket ger

(Au|v) = − Z 3

0

(e^2xu⁰(x))⁰v(x) dx

=h

e^2xu⁰(x)v(x)i3 0

| {z }

=0

+ Z 3

0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4 Allts ˚a

(Au|v) = Z ₃

0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx

= (u|Av), u,v∈ D_A.

Aven positivt semidefinit ty¨

(Au|u) = Z 3

0

e^2xu⁰(x)²dx>⁰, u∈ D_A.

=0 precis d ˚a u⁰(x) =0,

dvs d ˚a u=C f ¨or n ˚agon konstant,

s ˚a A ¨ar ej positivt definit.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4 Allts ˚a

(Au|v) = Z ₃

0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx= (u|Av),

u,v∈ D_A.

Aven positivt semidefinit ty¨

(Au|u) = Z 3

0

e^2xu⁰(x)²dx>⁰, u∈ D_A.

=0 precis d ˚a u⁰(x) =0,

dvs d ˚a u=C f ¨or n ˚agon konstant,

s ˚a A ¨ar ej positivt definit.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4 Allts ˚a

(Au|v) = Z ₃

0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx= (u|Av), u,v∈ D_A.

Aven positivt semidefinit ty¨

(Au|u) = Z 3

0

e^2xu⁰(x)²dx>⁰, u∈ D_A.

=0 precis d ˚a u⁰(x) =0,

dvs d ˚a u=C f ¨or n ˚agon konstant,

s ˚a A ¨ar ej positivt definit.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4 Allts ˚a

(Au|v) = Z ₃

0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx= (u|Av), u,v∈ D_A.

Aven positivt semidefinit ty¨

(Au|u) = Z 3

0

e^2xu⁰(x)²dx>⁰, u∈ D_A.

=0 precis d ˚a u⁰(x) =0,

dvs d ˚a u=C f ¨or n ˚agon konstant,

s ˚a A ¨ar ej positivt definit.

Pelle 2020-03-23

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4 Allts ˚a

(Au|v) = Z ₃

0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx= (u|Av), u,v∈ D_A.

Aven positivt semidefinit ty¨

(Au|u) = Z 3

0

e^2xu⁰(x)²dx>⁰, u∈ D_A.

=0 precis d ˚a u⁰(x) =0,

dvs d ˚a u=C f ¨or n ˚agon konstant, s ˚a A ¨ar ej positivt definit.

Duggan 1. a 2 1. b 3 4

Duggan 4.

Uppgift 4 Allts ˚a

(Au|v) = Z ₃

0

e^2xu⁰(x)v⁰(x) dx= (u|Av), u,v∈ D_A.

Aven positivt semidefinit ty¨

(Au|u) = Z 3

0

e^2xu⁰(x)²dx>⁰, u∈ D_A.

=0 precis d ˚a u⁰(x) =0, dvs d ˚a u=C f ¨or n ˚agon konstant, s ˚a A ¨ar ej positivt definit.

Pelle 2020-03-23