de
CISSOIDE DIOCLIS
DISSERTATIO
CUJUS PARTUM PUIOREM
VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL.
p. p.
ISac. PBfKU§ JV. EKMAX
ET
CAROLÜS GUSTAVUS MOD IGIi
V.D.M. STIP. PLATIN.
SMOLANDI.
IN AUDIT. GUSTAV. DIS XII DEC MDCCCXXXVI.
H. A. M. S.
ÜPSALIM
EXCUDKBANT REGIJE ACADEMIjE TYPOGRArHI.
- Vs -- -: , ~ «
- —
,. - • -
- -
e" •
:
4 - -■
.. ' -■- " ' ■ " A ~
:• . ■. . ... - "
'. y -
■-
'
"r" ~ ~~
- '
-
. : ,
' .
-v ' '
- -
K, - " . ' ...•■•• - . V -
'
• - »- ' ' ' " ' . •*"
t v < , .• ...(
: ■ ■ ■■
'
• " V:
-
i-.: : t- ■- -- -■ .
"TTTTIIiT
'
„./f.:.
r. ... .
'
-
'
, ■ ; .
V.l.' ■ v :
■,£th -
£v*"""'
KONTJNOEifS
TROMAN, KAMMARHERREN VÄLBORNE
hekii theod. w. ankarcrona
OCH
DESS FRU FRIHERRINNA
charlotte ankarcrona
född STURE
vördnadsfullt
af
C. G. MODIGH,
DE CISSOIDE DIOCLIS
S. K
Hilter lineas, quarum ope qusestioj
a veteribus Geome«!
tris pertractata, de dupljcatione cubi solvebatur, fuit et««
iam Cissois, a Diocle inventa, quae hoc modo descri- bitur. Sit AB diameter circuli cujusdam AHB (Fig. 1.),
Huic diametro perpendicularem duc BD per punctum j?,
eaque satis utrinque producatur. Ab altera extremitate diametri A ad diversa puncta perpendiculi ducantur lineae transversariae AD, quae quidem etiam circulum alicubi se«
cent necesse est. Jam si in his lineis capiantur partes AM aequales segminibus FD, erunt haec omnia puncta M
«ita in curva, cissoidis nomine insignita«
^
/Equationem yeroi qua hac curva deiinitur, ad co«<
ordinatas rectangulas, quarum origo sit in A, relatam,
hac constructione inyenimus. Demitte normales MP et FE ad AB, et FG ad BD. Dictis AB = a, AP = x et MP y erunt x rc FG ss EB, AE rs a •*- x et FE y[x(a— #)] atque ita, ob triangula similia
APM et AEFj x:?/::«•»—*: y[x(a—*#)], ex qua ra«
tione prodit sequatio ad cissoidem
2
xVX X
seu ^ =
V{a— *) ß — x
Hujus curvae descrlptionem manualem continuam do-
cuit Newton *) hoc modo instituendam. Sit AB (Fig.
2) diameter et C centrum circuli, ad quem Cissois per- tinebit. Producatur AB versus A ita, ut fiat AD sequa- hs AC, et ad punctum C erigatur normalis CF. Tum
moveatur norma rectangula DEF, cujus crus unum EF sequale eit AB et alterum ED longitudine sufficiente, ea
lege, ut crus ED perpetuo per punctum D transeat,
dum alterum EF termino suo F semper tangat linearr:
CF, et describet medium hujus cruris punctum M Cis-
soidem quaesitam. Nara ductis MP et MG normalibus ad AB et CF, positisque ut antea AB zz DC zz a, AP <z= x et MP zz: y, erit y zz CH -J- HF — GF
Sed sunt et
GFK[Ja> —(#= —!«)»] = *
et ob triangula «equalia et similia OCH, FEH HF = K(a2 -f
et ob triangula similia DCH, FGM
K CH ss ,
V^(ax — x2)
*) Arithmetica universalis. Probl. XXXIV. cfr.Append. de
®quationum constructione lineari.
quibus valoribus pro ipsis CH, HF et GF silbstitutis, fit
quse quidem oequatio. rite concinnata eadem, ac supra in-
x3 venia, evadit sy2° = .
a —x
§. 2.
Jarn vero si hane sequationem ad Cissoidem nobis proponimus examinandam, ut inde proprietates curvse
eruantur, primo adspectu invenimus, duas ordinatas, u-
nam positivam, alteram negativam, easque acquales, ad
unamquamque abscissam respondere, adeoque curvam
duos habere sequales, ab utraque parte diametri sibi con-r gruenter positos, ramos.
Si x zzz o ponatur, fit etiarn y zn o, unde col-
ligitur, coordinatarum originem in ipsa curva esse si-
tam\ et quoniam valöres ordinatse y, ad quemcumque
valorem abscissae * negativum respondentes, continue
imaginarii evadunt, nullse hujus curvae partes träns ori¬
ginem evagantur. Irl sequatione itaque, respectu or¬
dinatse soluta, necesse est occurrat radicali pari inclu-
sa, quse quidem, prout x ponilur sequalis nihilo, quan-
titati negativse vei positivse et minori quam fl, eyanescit,
amaginaria evadit yel duos habet valöres reales, ex quo
sequitur, ut, si in aequatione ocVx
i/ ^ 777"k (a T =/(*)
— x) w
incrementum quoddam e ipsi x adsignetur; explicatio functionis, inde ortae, f(x -{- e) secundum dignitates ad-
scendentes incrementi c> posita x sr o, cöntineat fractos
ipsius t exponentes pari denominatore. Quod etiam, si functionem in Seriem evolvamus, apparet, cum flat
jr/ , x tVt t2Ve 3e3Vt 5e*Ve
f(o + ,)__ + __ + __ + _____ +etCl
ipsa véro origo aüt merlis limes aüt cuspis esse po~
test, quorum casuum uter locum habeat, e natura derr-
vatarum functiönum colligitur. Quas si quséramus, ad t taraquam primigeniam variabilem relatas, invenimus pri":
mum
dfio -f «) __ 3Ve BeVe 21e2Ve 45«3 Vt **
dt 2Va iöiVa 16a2Va ^ 32?~Va
etc.
iterata vero differentiatione
d2f(o-\-e) 3 15Vt . 1051Vt
_ ff «__«««■. ilI— - ,jI-
dt2 4VaVt ' 8aVa 32a2Va
Quse quidem functiones, si t nihilo sequalis pönatur, re*- ducuntur ad lias
5
dx2 00,
ünde colligere licet> cissoidem in cuspidem ver$u$ A de^
sinere.
Sub hypothesi x = ~a habemus y ~ ± la. Bise»
cant igitur rami curyse peripheriam circuli in H et H\
Quo yero majores abscissse x tribuimus valöres, eo ma»
gis etiam valöres ordinatae y augeri invenimus, usque
dum, posita xrzza, valör ejus infinitus evadat. Ad o-t
mnem valorem ipsius x majorem, quam a, valöres ordi-
natse y respondent imaginarii, quare nulla pars curv» ul¬
tra lineam, axi ordinatarum parallelam et ab origine to¬
to diametro distanlem, inveniri potest. Si vero cursum
curvse prope hane lineam exquiramus, illam invenimus
ad hane ita appropinquare , ut distantia quavis quantita-
te minor fieri possit, unde colligimus, rectam illam asym-
ptoti vice fungi. Paciamus enim, ut hoc comprobetur,
x ziz a -— e et explicemus f{a — e) sécundum dignitates
adscendentes ipsiuS qu®e quidem rfunctio explicata in
hane seriem abit
tum per difierentiationem deriyatam primi ordinis fun-
ctionem exhibeamus
df{a—'e) _ aVa 3Va 9Ve
Te iTik« 4K« leK« e c"
et patebit, quo minor t sumatur (potest vero quavisquan-
titate minor sumi), eo majorem fieri utriusque seriei
yalorem absolutum, infinitum vero eum tum primum fie¬
ri, cum fit £ nihilo zequalis. Itaque sub hac demum hy-
pothesi erit
du
y=CC et - = 00
Porro quoniam sequatio ad cissoidem per ]/^x mul-
tiplicata
yV[x{a— x% — *2
hane nobis suppeditat rationem, resolvendo terminos as- quales in proportionales,
y :x :: x : V[x{a— x) ]
et in circulo habemus
*: V[x(a—#)] : : V\x(a—*)] : a— x
erunt continue proportionales y, x, p^[x(a ät)] et (a~~x) h. e. MP, AP, PFf et PB. Quae quidem ea
ipsa est proprietas, qua, ut mox demonstrabitur, nilitur
solutio problematis de cubi duplicatione.
# Restat, ut etiam de quadratura curvse pauca adda-
mu$. Ea vero obtinetur integratione functionis
• x]Ax dx
]A{a—x)
quam quidem, superne et inferne per Vx multiplicatam,
si integremus, prodit
y"*v—[nxx2dx—x—J zz xjA(ax—2 x2) |4a1/(ax\ —x2) -f
|a Are. (sin. vers. zz *)
Et quoniam Iiaec formula mensuram praebet areas, quam
ramus alteruter Cissoidis ejusque abscissa et ordinata
complectuntur, totum spatium cissoidale, si eam duplice-
mus, invenietur
zz—pcV(a#—x2)—|aV {ax—x2) 4~| ßAre.(sin.vers.zzx)
In hac si x zz ponamus, habemus aream AHHf se- qualem fa2?* — a2 h. e. sequalem sesquiareae circuli sub- dueto diametri quadrato, ex quosequitur, spatia curvilinea,
inter circuli peripheriam et cissoidis ramos cornprehen-
sa y A M H F' et A Hr A aequalia esse quatuor illis fi- guris, qua?, circuli area de diametri quadrato detracta,
supersunt.
Si af'rr a ponatur, totum spatium cissoidale, quod
est inter ramos et asymptoton, tritium esse circuli in-
venimus.
Quod si in universum rationem inter spatium cissoi-
dale et segmentum circulare ad id respondens^expressam
velimus, hoc facili mutatione formulae consequi possu«
mus. Cum enim sit
d[XJS(aX-X*)]=JxV(aX-x>) + *(°2\s[ax—~ 2x)d*
a;2)
=1 +dxlS(ax-x>^x~x')dx
2^ —x'1)
fl
v2rlX
.\dxV{ax—x2)v ' * , erit
2lS(ax—x2) '
x2 dx
JF(ax—x2) =ZfdxV(ax—X2)—2xy{ax—
Sed fdxV(ax—a:2) est pars circuli inter arcum AHF\
ordinatam FE et abscissam A E comprehensa , et xV(ax — a;2) est duplum trianguli AFE; itaque est spatium cissoidale AHM'E sequale triplo spatii circularis
AHFE subducto quadruplo trianguli AFE, seu sequale
triplo segmenti AHF A subducto triangulo AFE. Et quoniam triangula AFE et EM'B rectangula ad £, propter latera, quae angulos rectos comprehendunt, inver-
se proportionalia M'E : AE : : FE : EB, sunt sequalia, invenimus, segmentum cissoidale A HM'B, quemcumque
abscissae x valorem licitum tribuamus, segmenti circula¬
ris AHFA usque triplum esse. Qua in re consensu«
inter cissoidem et eycloidm animadvertendus est, cum iti- dera sit tum totum spatium cycloidis totius circuli gen.e-
