Sida 1 av 8
Tentamen TEN2, (analysdelen) HF1903, Matematik1
Datum: 14 aug 2019 Skrivtid: 14:00 - 18:00
Examinator: Armin Halilovic 08 790 4810
Jourhavande lärare: Armin Halilovic 08 790 4810 För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.
Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Skriv namn och personnummer på varje blad.
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget
• Student får inte behålla tentamenslydelsen eller skriv- och kladdpapper som använts under tentamen.
=====================================
Uppgift 1. (3p)
a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)= 2x−4+ 5−x.
b) Låt 2 1
( ) ln( )
3 2
g x x
x
= +
+ . Bestäm g′( x).
c) Bestäm inversen till funktionen h(x)=2+3 2x−10.
Uppgift 2. (3p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Vi betraktar funktionen f(x,y)=x2−6x+4y2−8y+1.
a) (2p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (min/max/sadelpunkt).
b) (1p) Bestäm (eventuella) funktionens extremvärden Uppgift 3. (3p)
Beräkna dubbelintegral x y dxdy
D
∫∫
sin( ) ,då D definieras genom 0≤ x≤3, 0≤ y≤π .
--- Var god vänd.
Sida 2 av 8 Uppgift 4. (2p) Beräkna följande gränsvärden
a) 1
) 3 arctan(
lim 3
3 −
−
→ x−
x e
x
b) x x
x x
x 3 3
lim2 5
2 4
+ +
∞
→
Uppgift 5.(4p) Låt
2 2 4
( ) x x
f x x
− +
= .
a) ( 2p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär.
b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter.
c) Rita funktionens graf Uppgift 6. (3p)
Beräkna volymen av den kropp K som definieras av 5
0 : ) , ,
{( ≤ ≤ 2+ 2 +
= x y z z x y
K , 0≤x2 +y2 ≤4}
( Notera att K består av de punkter i R3 som ligger mellan xy-planet och ytan z=x2+ y2+5, ovanpå cirkeln 0≤x2+ y2 ≤4.)
Tips: Använd polära koordinater.
Uppgift 7. (3p)
Bestäm tyngdpunkten för området D={(x,y):0≤ y≤x3, 0≤x≤1}.
Uppgift 8. (3p)
Beräkna integralen ∫ √𝑥𝑥2+ 4 𝑑𝑑𝑥𝑥.
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (3p)
a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)= 2x−4+ 5−x.
b) Låt 2 1
( ) ln( )
3 2
g x x
x
= +
+ . Bestäm g′( x).
c) Bestäm inversen till funktionen h(x)=2+3 2x−10. Lösning:
a) Villkor 1: 2x−4≥0 ger x≥2 Villkor 2: 5− x≥0 ger x≤5 Båda villkor är uppfyllda om 2≤ x≤5.
b) 1 2(3 2) 3(22 1) 3 2 1 2 1
( ) 2 1 (3 2) 2 1 (3 2) (2 1)(3 2)
3 2
x x x
g x x x x x x x
x
+ − + +
′ = + ⋅ + = + ⋅ + = + +
+
c) Vi löser ut x ur y=2+3 2x−10 . Vi har (för x≥5):
y x− = +3 2 10
2 ,
2 10
2
3 x− =y− , 3 10 2 2 − = y−
x ,
2
3 10 2
2
= −
− y
x ,
2
3 10 2
2
+ −
= y
x och slutligen
2
3 2 2
5 1
+ −
= y
x .
Därmed
2 1
3 2 2 5 1 )
(
+ −
=
− y
y
h { eller
2 1
3 2 2 5 1 )
(
+ −
=
− x
x
h }
Svar:
a) 2≤ x≤5
b) 1
( ) (2 1)(3 2) g x′ = x x
+ +
c)
2 1
3 2 2 5 1 )
(
+ −
=
− y
y
h { eller
2 1
3 2 2 5 1 )
(
+ −
=
− x
x
h }
Rättningsmall: a,b,c: Rätt eller fel.
Uppgift 2. (3p) Vi betraktar funktionen f(x,y)=x2−6x+4y2−8y+1.
a) (2p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (min/max/sadelpunkt).
b) (1p) Bestäm (eventuella) funktionens extremvärden Lösning:
a)
Sida 3 av 8
6 2 −
′= x
fx fy′=8y−8
Stationära punkter får vi genom att lösa systemet
′ =
′= . 0 0
y x
f f
dvs
=
−
=
− 0 8 8
0 6 2
y
x Härav x=3 och y=1. En stationär punkt P=(3,1)
=2
= fxx″
A B= fxy″ =0 C= fyy″ =8
⇒
>
=
−
=
−B2 16 0 16 0
AC Punkten P=(3,1) är en minpunkt.
b) zmin = f(3,1)=32 −6⋅3+4⋅12 −8⋅1+1=−12 Svar: a) Punkten P=(3,1) är en minpunkt.
b) zmin =−12
Rättningsmall: 1p för punkten (3,1) och 1p för korrekt typ. +1p för zmin =−12.
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna dubbelintegral x y dxdy
D
∫∫
sin( ) ,då D definieras genom 0≤ x≤3, 0≤ y≤π . Lösning:
[ ] ∫
∫
∫ ∫
∫∫
= = − = 3− −0 3
0 3
0 0
] 0 cos 0 [cos
cos )
sin(
)
sin(y dxdy dx x y dxdy x y dx x dx
x
D
π π
π
[ ]
90
2 2 3
3
0
=
=
=
∫
xdx x .Svar: 9.
Rättningsmall: Korrekt till
∫
3[
−]
0 xcosy π0dx
ger 1p.
Sida 4 av 8
Korrekt till
∫
30
2xdx ger 2p.
Allt korrekt=3p.
Uppgift 4. (2p) Beräkna följande gränsvärden
a) 1
) 3 arctan(
lim 3
3 −
−
→ x−
x e
x
b) x x
x x
x 3 3
lim2 5
2 4
+ +
∞
→
Lösning:
a) =
−
−
→ − 1
) 3 arctan(
lim 3
3 x
x e
x ,l' Hospitalsregel] 0
[typ0
1 1 ) 1 3 ( 1
1
lim 3
2
3 + − = =
→ x−
x e
x .
b) 2 0
3 ) 3 (
1 ) 2 ( lim 3 )
3 (
1 ) 2 ( 3 lim
3 lim2
4 2
4 5
2 4
5 2
4 =
= ∞ +
= + +
= + + +
∞
→
∞
→
∞
→
x x x x x
x x x
x x x
x x
x
Svar: a) 1 b) 0
Rättningsmall: a,b: Rätt eller fel.
Uppgift 5.(4p) Låt
2 2 4
( ) x x
f x x
− +
= .
a) ( 2p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär.
b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter.
c) Rita funktionens graf Lösning:
a)
2 2
2 2
(2 2) ( 2 4) 1 4
( ) x x x x x
f x x x
− ⋅ − − + ⋅ −
′ = =
2 2
( ) 0 x 4 0 { 2 eller 2}
f x x x
x
′ = ⇔ − = ⇔ = − =
Två stationära punkter: x= −2 , x= 2 Från
2 2
4 3
2 ( 4) 2 8
( ) x x x x
f x
x x
⋅ − − ⋅
′′ = = har vi
( 2) 0
f ′′ − < ⇒ x= − är en maxpunkt 2 (2) 0
f ′′ > ⇒ x= är en minpunkt. 2
(Notera att f( 2)− = −6 och att f(2)=2 så att
1 ( 2, 6)
S = − − och S2 =(2, 2) är motsvarande punkter på grafen.)
b) Funktionen är definierad och kontinuerlig för x≠0 .
Sida 5 av 8
Sida 6 av 8 0
x= är en vertikal (lodrät) asymptot (eftersom f x( )→ ±∞ då x→0±).
Eftersom
2 2 4 4
( ) x x 2
f x x
x x
− +
= = − + ser vi att funktionen har en sned asymptot 2
y= −x (då x→ ±∞ ).
Grafen:
Svar:
a) x= − är en maxpunkt, 2 x= är en minpunkt 2 b) x= är en vertikal (lodrät) asymptot, 0
y= −x 2 är en sned asymptot c) Se ovanstående graf.
Rättningsmall: a) Korrekta två stationera punkter = 1p. Korrekta typer+1p.
Alternativ: Korrekt en punkt och punktens typ ger 1p.
b) Rätt eller fel.
c) Rätt eller fel.
Uppgift 6. (3p)
Beräkna volymen av den kropp K som definieras av 5
0 : ) , ,
{( ≤ ≤ 2 + 2 +
= x y z z x y
K , 0≤x2 +y2 ≤4}
( Notera att K består av de punkter i R3 som ligger mellan xy-planet och ytan z=x2+ y2+5, ovanpå cirkeln 0≤x2+ y2 ≤4.)
Tips: Använd polära koordinater.
Lösning:
Volymen: V=
∫∫
D
dxdy
z = x y dxdy
D
) 5 ( 2 2
∫∫
+ +Notera att D definieras av 0≤x2+ y2 ≤4, dvs D är en cirkel med radien 2.
Vi substituerar polära koordinater (x2 +y2 =r2, dxdy=rdrdθ ) .
∫
∫
+=
2
0 2 2
0
) 5 (r rdr d
V
π θ =
∫ ∫
2 +0 3 2
0
) 5 (r r dr d
π θ = π 2π 14 28π
0 2 5 2 2 4
2 4
=
⋅
=
+
⋅ r r
. Svar: 28 π
Rättningsmall:
Korrekt till V x y dxdy
D
) 5 ( 2 2
∫∫
+ += ger 1p.
Korrekt till =
∫ ∫
2 +0 2 2
0
) 5 (r rdr d
V
π θ ger 2p.
Allt korrekt=3p.
Uppgift 7. (3p)
Bestäm tyngdpunkten för området D={(x,y):0≤ y≤x3, 0≤x≤1}.
Lösning:
Vi använder formlerna
𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷)1 ∬ 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝐷𝐷 , 𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷)1 ∬ 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝐷𝐷
Först, Arean(D)=
4 1 4
1
0 1 4
0
3 =
=
∫
x dx x .[ ]
54 4 5
4 4
) 4 (
1 1 5
0 4 1
0 0 1
0 0
3 3
=
⋅
=
=
=
=
= Arean D
∫∫
xdxdy∫ ∫
dx xdy∫
xy == dx∫
x dx xx yy x
x
D c
7 2 2 7
4 2 4 2
) 4 (
1 1 7
0 1 6
0 0
1 2
0 0
3 3
=
⋅
=
=
=
=
=
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
=
=
dx x dx x
ydy y dx dxdy
D y Arean y
x y
y x
D c
Alltså T=
= 7 ,2 5 ) 4 , (xc yc
Svar: T
= 7 ,2 5 4
Rättningsmall:
Korrekt Arean(D) 4
=1 ger +1p.
Korrekt 5
=4
xc ger +1p.
Korrekt 7
= 4
yc ger +1p.
Uppgift 8. (3p)
Beräkna integralen ∫ √𝑥𝑥2+ 4 𝑑𝑑𝑥𝑥.
Sida 7 av 8
Lösning.
Vi betecknar 𝐼𝐼1 = ∫ √𝑥𝑥2+ 4 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥2+ 4 − ∫√𝑥𝑥𝑥𝑥22+4𝑑𝑑𝑥𝑥 ⇒ 𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥2+ 4 − ∫𝑥𝑥√𝑥𝑥2+4−42+4 𝑑𝑑𝑥𝑥 ⇒
𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥2+ 4 − ∫√𝑥𝑥𝑥𝑥22+4+4𝑑𝑑𝑥𝑥 + ∫√𝑥𝑥42+4⇒
𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥2+ 4 − ∫ √𝑥𝑥2+ 4 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 4𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2+ 4| ⇒
( Vi har i mitten av ekvationen den sökta integralen 𝐼𝐼1 = ∫ √𝑥𝑥2 + 4 𝑑𝑑𝑥𝑥 ) 𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥2+ 4 − 𝐼𝐼1+ 4𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2 + 4| ⇒
( Vi löser ekvationen med avseende på 𝐼𝐼1)
2𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥2+ 4 + 4𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2 + 4| ⇒ ( dela med 2) 𝐼𝐼1 =𝑥𝑥2√𝑥𝑥2+ 4 + 2𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2 + 4| + 𝐶𝐶
Svar: 𝑥𝑥
2√𝑥𝑥2+4+ 2𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2+4| + 𝐶𝐶 Rättningsmall:
Korrekt till 𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥2+4− ∫√𝑥𝑥𝑥𝑥22+4𝑑𝑑𝑥𝑥 ger +1p.
Korrekt till 𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥2+4− ∫ √𝑥𝑥2+4𝑑𝑑𝑥𝑥 +4𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2 +4| ger 2p.
Allt korrekt =3p.
Part. integration:
𝑢𝑢 = √𝑥𝑥2+ 4 𝑣𝑣′ = 1 𝑢𝑢′ = √𝑥𝑥𝑥𝑥2+4 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥
Sida 8 av 8