Tentamen TEN2, (analysdelen) HF1903, Matematik1

Sida 1 av 8

Tentamen TEN2, (analysdelen) HF1903, Matematik1

Datum: 14 aug 2019 Skrivtid: 14:00 - 18:00

Examinator: Armin Halilovic 08 790 4810

Jourhavande lärare: Armin Halilovic 08 790 4810 För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.

Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv namn och personnummer på varje blad.

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget

• Student får inte behålla tentamenslydelsen eller skriv- och kladdpapper som använts under tentamen.

=====================================

Uppgift 1. (3p)

a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)= 2x−4+ 5−x.

b) Låt 2 1

( ) ln( )

3 2

g x x

x

= +

+ . Bestäm g′( x).

c) Bestäm inversen till funktionen h(x)=2+3 2x−10.

Uppgift 2. (3p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Vi betraktar funktionen f(x,y)=x²−6x+4y²−8y+1.

a) (2p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (min/max/sadelpunkt).

b) (1p) Bestäm (eventuella) funktionens extremvärden Uppgift 3. (3p)

Beräkna dubbelintegral x y dxdy

D

∫∫

då D definieras genom 0≤ x≤3, 0≤ y≤π .

--- Var god vänd.

Sida 2 av 8 Uppgift 4. (2p) Beräkna följande gränsvärden

a) 1

) 3 arctan(

lim ₃

3 −

−

→ x−

x e

x

b) x x

x x

x 3 3

lim2 ₅

2 4

+ +

∞

→

Uppgift 5.(4p) Låt

2 2 4

( ) x x

f x x

− +

= .

a) ( 2p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter.

c) Rita funktionens graf Uppgift 6. (3p)

Beräkna volymen av den kropp K som definieras av 5

0 : ) , ,

{( ≤ ≤ ²+ ² +

= x y z z x y

K , 0≤x² +y² ≤4}

( Notera att K består av de punkter i R³ som ligger mellan xy-planet och ytan z=x²+ y²+5, ovanpå cirkeln 0≤x²+ y² ≤4.)

Tips: Använd polära koordinater.

Uppgift 7. (3p)

Bestäm tyngdpunkten för området D={(x,y):0≤ y≤x³, 0≤x≤1}.

Uppgift 8. (3p)

Beräkna integralen ∫ √𝑥𝑥²+ 4 𝑑𝑑𝑥𝑥.

Lycka till.

FACIT

Uppgift 1. (3p)

a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)= 2x−4+ 5−x.

b) Låt 2 1

( ) ln( )

3 2

g x x

x

= +

+ . Bestäm g′( x).

c) Bestäm inversen till funktionen h(x)=2+3 2x−10. Lösning:

a) Villkor 1: 2x−4≥0 ger x≥2 Villkor 2: 5− x≥0 ger x≤5 Båda villkor är uppfyllda om 2≤ x≤5.

b) 1 2(3 2) 3(2₂ 1) 3 2 1 ₂ 1

( ) 2 1 (3 2) 2 1 (3 2) (2 1)(3 2)

3 2

x x x

g x x x x x x x

x

+ − + +

′ = + ⋅ + = + ⋅ + = + +

+

c) Vi löser ut x ur y=2+3 2x−10 . Vi har (för x≥5):

y x− = +3 2 10

2 ,

2 10

2

3 x− =y− , 3 10 2 2 − = y−

x ,

2

3 10 2

2 



 



= −

− y

x ,

2

3 10 2

2 



 

 + −

= y

x och slutligen

2

3 2 2

5 1 



 

 +  −

= y

x .

Därmed

2 1

3 2 2 5 1 )

( 



 

 +  −

=

− y

y

h { eller

2 1

3 2 2 5 1 )

( 



 

 +  −

=

− x

x

h }

Svar:

a) 2≤ x≤5

b) 1

( ) (2 1)(3 2) g x′ = x x

+ +

c)

2 1

3 2 2 5 1 )

( 



 

 +  −

=

− y

y

h { eller

2 1

3 2 2 5 1 )

( 



 

 +  −

=

− x

x

h }

Rättningsmall: a,b,c: Rätt eller fel.

Uppgift 2. (3p) Vi betraktar funktionen f(x,y)=x²−6x+4y²−8y+1.

a) (2p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (min/max/sadelpunkt).

b) (1p) Bestäm (eventuella) funktionens extremvärden Lösning:

a)

Sida 3 av 8

6 2 −

′= x

f_x f_y′=8y−8

Stationära punkter får vi genom att lösa systemet





′ =

′= . 0 0

y x

f f

dvs





=

−

=

− 0 8 8

0 6 2

y

x Härav x=3 och y=1. En stationär punkt P=(3,1)

=2

= f_xx″

A B= f_xy″ =0 C= f_yy″ =8

⇒

>

=

−

=

−B² 16 0 16 0

AC Punkten P=(3,1) är en minpunkt.

b) z_min = f(3,1)=3² −6⋅3+4⋅1² −8⋅1+1=−12 Svar: a) Punkten P=(3,1) är en minpunkt.

b) z_min =−12

Rättningsmall: 1p för punkten (3,1) och 1p för korrekt typ. +1p för z_min =−12.

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna dubbelintegral x y dxdy

D

∫∫

då D definieras genom 0≤ x≤3, 0≤ y≤π . Lösning:

[ ] ∫

∫

∫ ∫

∫∫

0 3

0 3

0 0

] 0 cos 0 [cos

cos )

sin(

)

sin(y dxdy dx x y dxdy x y dx x dx

x

D

π π

π

[ ]

0

2 ² 3

3

0

=

=

=

∫

Svar: 9.

Rättningsmall: Korrekt till

∫

[

]

0 xcosy π0dx

ger 1p.

Sida 4 av 8

Korrekt till

∫

0

2xdx ger 2p.

Allt korrekt=3p.

Uppgift 4. (2p) Beräkna följande gränsvärden

a) 1

) 3 arctan(

lim ₃

3 −

−

→ x−

x e

x

b) x x

x x

x 3 3

lim2 ₅

2 4

+ +

∞

→

Lösning:

a) =

−

−

→ − 1

) 3 arctan(

lim ₃

3 x

x e

x ,l' Hospitalsregel] 0

[typ0

1 1 ) 1 3 ( 1

1

lim ₃

2

3 + − = =

→ x−

x e

x .

b) 2 0

3 ) 3 (

1 ) 2 ( lim 3 )

3 (

1 ) 2 ( 3 lim

3 lim2

4 2

4 5

2 4

5 2

4 =





= ∞ +

= + +

= + + +

∞

→

∞

→

∞

→

x x x x x

x x x

x x x

x x

x

Svar: a) 1 b) 0

Rättningsmall: a,b: Rätt eller fel.

Uppgift 5.(4p) Låt

2 2 4

( ) x x

f x x

− +

= .

a) ( 2p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter.

c) Rita funktionens graf Lösning:

a)

2 2

2 2

(2 2) ( 2 4) 1 4

( ) x x x x x

f x x x

− ⋅ − − + ⋅ −

′ = =

2 2

( ) 0 x 4 0 { 2 eller 2}

f x x x

x

′ = ⇔ − = ⇔ = − =

Två stationära punkter: x= −2 , x= 2 Från

2 2

4 3

2 ( 4) 2 8

( ) x x x x

f x

x x

⋅ − − ⋅

′′ = = har vi

( 2) 0

f ′′ − < ⇒ x= − är en maxpunkt 2 (2) 0

f ′′ > ⇒ x= är en minpunkt. 2

(Notera att f( 2)− = −6 och att f(2)=2 så att

1 ( 2, 6)

S = − − och S₂ =(2, 2) är motsvarande punkter på grafen.)

b) Funktionen är definierad och kontinuerlig för x≠0 .

Sida 5 av 8

Sida 6 av 8 0

x= är en vertikal (lodrät) asymptot (eftersom f x( )→ ±∞ då x→0_±).

Eftersom

2 2 4 4

( ) x x 2

f x x

x x

− +

= = − + ser vi att funktionen har en sned asymptot 2

y= −x (då x→ ±∞ ).

Grafen:

Svar:

a) x= − är en maxpunkt, 2 x= är en minpunkt 2 b) x= är en vertikal (lodrät) asymptot, 0

y= −x 2 är en sned asymptot c) Se ovanstående graf.

Rättningsmall: a) Korrekta två stationera punkter = 1p. Korrekta typer+1p.

Alternativ: Korrekt en punkt och punktens typ ger 1p.

b) Rätt eller fel.

c) Rätt eller fel.

Uppgift 6. (3p)

Beräkna volymen av den kropp K som definieras av 5

0 : ) , ,

{( ≤ ≤ ² + ² +

= x y z z x y

K , 0≤x² +y² ≤4}

( Notera att K består av de punkter i R³ som ligger mellan xy-planet och ytan z=x²+ y²+5, ovanpå cirkeln 0≤x²+ y² ≤4.)

Tips: Använd polära koordinater.

Lösning:

Volymen: V=

∫∫

D

dxdy

z = x y dxdy

D

) 5 ( ^{2 2}

∫∫

Notera att D definieras av 0≤x²+ y² ≤4, dvs D är en cirkel med radien 2.

Vi substituerar polära koordinater (x² +y² =r², dxdy=rdrdθ ) .

∫

∫

=

2

0 2 2

0

) 5 (r rdr d

V

π θ =

∫ ∫

0 3 2

0

) 5 (r r dr d

π θ = π 2π 14 28π

0 2 5 2 2 4

2 4

=

⋅

 =



 



 +

⋅ r r

. Svar: 28 π

Rättningsmall:

Korrekt till V x y dxdy

D

) 5 ( ^{2 2}

∫∫

= ger 1p.

Korrekt till ⁼

∫ ∫

0 2 2

0

) 5 (r rdr d

V

π θ ger 2p.

Allt korrekt=3p.

Uppgift 7. (3p)

Bestäm tyngdpunkten för området D={(x,y):0≤ y≤x³, 0≤x≤1}.

Lösning:

Vi använder formlerna

𝑥𝑥_𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷)¹ ∬ 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥_𝐷𝐷 , 𝑥𝑥_𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷)¹ ∬ 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥_𝐷𝐷

Först, Arean(D)=

4 1 4

1

0 1 4

0

3  =



 



=

∫

[ ]

4 4 5

4 4

) 4 (

1 ^{1 5}

0 4 1

0 0 1

0 0

3 3

=

⋅

=

=

=

=

= _{Arean D}

∫∫

∫ ∫

∫

∫

x ^y_y ^x

x

D c

7 2 2 7

4 2 4 2

) 4 (

1 ^{1 7}

0 1 6

0 0

1 2

0 0

3 3

=

⋅

=

 =



 



= 

=

=

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

=

=

dx x dx x

ydy y dx dxdy

D y Arean y

x y

y x

D c

Alltså T= _



 



= 7 ,2 5 ) 4 , (x_c y_c

Svar: T _



 



= 7 ,2 5 4

Rättningsmall:

Korrekt Arean(D) 4

=1 ger +1p.

Korrekt 5

=4

xc ger +1p.

Korrekt 7

= 4

yc ger +1p.

Uppgift 8. (3p)

Beräkna integralen ∫ √𝑥𝑥²+ 4 𝑑𝑑𝑥𝑥.

Sida 7 av 8

Lösning.

Vi betecknar 𝐼𝐼1 = ∫ √𝑥𝑥²+ 4 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥²+ 4 − ∫_√𝑥𝑥^𝑥𝑥2²+4𝑑𝑑𝑥𝑥 ⇒ 𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥²+ 4 − ∫^𝑥𝑥_√𝑥𝑥²⁺⁴⁻⁴2+4 𝑑𝑑𝑥𝑥 ⇒

𝐼𝐼₁ = 𝑥𝑥√𝑥𝑥²+ 4 − ∫_√𝑥𝑥^𝑥𝑥2₂⁺⁴₊₄𝑑𝑑𝑥𝑥 + ∫_√𝑥𝑥⁴₂₊₄⇒

𝐼𝐼₁ = 𝑥𝑥√𝑥𝑥²+ 4 − ∫ √𝑥𝑥²+ 4 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 4𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥²+ 4| ⇒

( Vi har i mitten av ekvationen den sökta integralen 𝐼𝐼1 = ∫ √𝑥𝑥² + 4 𝑑𝑑𝑥𝑥 ) 𝐼𝐼₁ = 𝑥𝑥√𝑥𝑥²+ 4 − 𝐼𝐼₁+ 4𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥² + 4| ⇒

( Vi löser ekvationen med avseende på 𝐼𝐼₁)

2𝐼𝐼₁ = 𝑥𝑥√𝑥𝑥²+ 4 + 4𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥² + 4| ⇒ ( dela med 2) 𝐼𝐼₁ =^𝑥𝑥₂√𝑥𝑥²+ 4 + 2𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥² + 4| + 𝐶𝐶

Svar: ^𝑥𝑥

2√𝑥𝑥²+4+ 2𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥²+4| + 𝐶𝐶 Rättningsmall:

Korrekt till 𝐼𝐼₁ = 𝑥𝑥√𝑥𝑥²+4− ∫_√𝑥𝑥^𝑥𝑥₂²₊₄𝑑𝑑𝑥𝑥 ger +1p.

Korrekt till 𝐼𝐼₁ = 𝑥𝑥√𝑥𝑥²+4− ∫ √𝑥𝑥²+4𝑑𝑑𝑥𝑥 +4𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥 + √𝑥𝑥² +4| ger 2p.

Allt korrekt =3p.

Part. integration:

𝑢𝑢 = √𝑥𝑥²+ 4 𝑣𝑣′ = 1 𝑢𝑢′ = _√𝑥𝑥^𝑥𝑥₂₊₄ 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥

Sida 8 av 8