Kontrollskrivning 2 (
Exempel 1)
Kurs: Linjär algebra, HF1904, Skrivtid: 45 minuter
Hjälpmedel: Endast bifogade formelblad (miniräknare är inte tillåten).
Inga toabesök eller andra raster under den här kontrollskrivningen.
För godkänt krävs 3 poäng av 5 möjliga poäng. Godkänd kontrollskrivning ger bonus enligt kurs-PM.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.
Examinator: Armin Halilovic
---
Uppgift 1. (2 p) Tre punkter är givna: A = (1,2,2), B = (2,3,3) och C = (2,3,5). Beräkna arean av triangeln ABC.
Uppgift 2. (1p)
Bestäm avståndet från punkten A = (1,–2, 3) till planet 2x+5y =−4z−2.
Uppgift 3. (2 p) Låt
= 1 1
2 A 3 .
Beräkna 2A−1 +10AT.
Lycka till.
Sida 1 av 3
FACIT:
Uppgift 1. (2p) Tre punkter är givna: A = (1,2,2), B = (2,3,3) och C = (2,3,5). Beräkna arean av triangeln ABC.
Lösning:
) 1 , 1 , 1
= (
AB
, AC =(1,1,3)) 0 2 2 2 (
| 1 3 1 1
1 1 1 2| 1 2
1 i j k
k j i AC
AB
Arean
+
−
=
=
×
=
. . 2 2
0 8 ) 2 ( 2 2
) 1 0 , 2 , 2 2 (
1 2 2 2
e
= a
= +
− +
=
−
=
Rättningsmall: Korrekt till |
3 1 1
1 1 1 2|
1 i j k
Arean
= ger 1p.
Uppgift 2. (1p)
Bestäm avståndet från punkten A = (1,–2, 3) till planet 2x+5y =−4z−2. Lösning: Först skriver vi planets ekvation på formen Ax+By+Cz+D=0. Alltså 2x+5y+4z+2=0.
Avståndet från punkten A till planet är
|
| 2 2 2
1 1 1
C B A
D Cz By d Ax
+ +
+ +
= +
5 2 5 3
6 45
| 6 4
5 2
2 3 4 ) 2 ( 5 1
|2
2 2
2 = = =
+ +
+
⋅ +
−
⋅ +
= ⋅ .
Svar:
5 2 (=
5 5 2 )
Rättningsmall: Rätt eller fel.
Uppgift 3. (2 p) Låt
= 1 1
2 A 3 .
Beräkna 2A−1 +10AT.
Lösning:
Först bestämmer vi inversen A och transponatet −1 AT:
Eftersom det(A)= 3 – 2=1 är matrisen inverterbar och
−
= −
−
3 1
2 1 1
1 1
A .
Transponatet till matrisen A är
= 1 2
1
T 3
A .
Nu har vi
Sida 2 av 3
=
+
−
= −
+
−
= −
− +
16 18
6 32 10
20 10 30 6
2 4 2 1 2
1 10 3 3 1
2 2 1
10
2A1 AT .
Svar:
16 18
6 32
Rättningsmall: Korrekt A och −1 AT ger 1p.
Sida 3 av 3
