Tentamen 2 i Matematik 1, HF1903, 7 januari 2013, kl 13.15 – 17.15

1

Tentamen 2 i Matematik 1, HF1903,

7 januari 2013, kl 13.15 – 17.15

Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs 10 poäng av 24 möjliga poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Den som uppnått 9 poäng får betyget Fx och har rätt att komplettera.

Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.

Examinator: Armin Halilovic Ansvarig lärare: Elias Said

Uppgift 1:

a. Beräkna gränsvärdet:

lim 1

1 −

−

→ x e e^x

x (1p)

b. Beräkna gränsvärdet:

x x x

x

cos lim sin

0

⋅

→ (1p)

c. Låt

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− ≠

−

−

= +

2 ,

2 ,

2 6 )

( 2

2

x då A

x x då

x x x x

g

Bestäm A så att g(x) blir kontinuerlig i punkten 2. (2p) Uppgift 2:

a. Genom punkten på kurvan y=e^−x, x > 0, med första koordinaten x = a, dras

tangenten till kurvan. Denna kurva avgränsar tillsammans med x-axeln och y-axeln en triangel. Vilket är det största värdet som triangelns area kan anta? (3p)

b. Bestäm lutningen på kurvan 2x+y+4=3y² i punkten (-1, 1). (1p)

Uppgift 3:

Betrakta funktionen:

5 2 ) 4

( 2

2

+ +

+

= +

x x

x x x

f

Bestäm funktionens eventuella asymptoter, samtliga extrempunkter (min och max) och

rita grafen till funktionen. (4p)

VAR GOD VÄND!

2 Uppgift 4:

a. Bestäm en primitiv funktion till

e x

x x

f( )= ² (1p)

b. Beräkna följande integral

∫

⁵ ₋

4 2 3

1 dx x

x (1p)

c. Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som begränsas av kurvorna till funktionerna f(x)= e^x−1 och g(x)=1+2x samt linjerna x = 0 och x = 1 roterar

kring x-axeln (2p)

Uppgift 5:

a. Bestäm derivatan till:

x x x x

f 1 sin

sin ) cos

( +

= ⋅

(2p)

b. Bestäm, för t > 0, värdet på t så att följande gäller

2 )

ln 1 (

1

−

=

∫

^t − ^{x dx e (2p)}

Uppgift 6:

a. Bestäm koordinaterna, (x, y, z), för eventuella stationära punkter till xy

y x y

x f

z= ( , )=10+ ³+ ³−3 (2p)

Bestäm även dessa punkters karaktär (min/max/sadelpunkt).

b. Beräkna volymen, genom att använda dubbelintegraler, av en kropp som definieras av:

} 0

, 0

, 0 ,

1 :

) , ,

{( ^{2 2 ( )}

2

2 y

e x

z x

y x

y x z y

x + ≤ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ⁺ (2p)

Lycka till!

3 Lösningsförslag:

Uppgift 1:

a. ^e_x ^e

{

^LeHospital

}

^{ex e}

x x

x = = =

−

−

→

→ lim 1

lim 1

1 1

.

b.

{ }

¹

1

sin sin cos lim cos

cos lim sin

0

0 ⋅ == = ⋅ − ⋅ =

→

→

x x x Hospital x

x Le x x

x

x .

c. g(x) är kontinuerlig i punkten 2 om g x g A

x = =

→ ( ) (2) lim

2

3 5 3

5 1 lim 3 ) 1 )(

2 (

) 3 )(

2 lim ( 2 lim 6

2 2 2

2

2 = ⇒ =

+

= + +

− +

= −

−

−

− +

→

→

→ A

x x x

x x x x

x x x

x x

x .

Rättningsmall: 1c. Rätt uppställt samband +1p.

Uppgift 2:

a. Eftersom y′=−e^−x, har tangenten i punkten (a,e^−a) ekvationen )

(x a e

e

y− ^−a=− ^−a − .

Skärningen med y-axeln ges av: y=e^−a−e^−a(0−a) ⇒ y=(1+a)e^−a

Skärningen med x-axeln ges av: 0−e^−a =−e^−a(x−a) ⇒ 1=x−a ⇒ x=a+1 Triangelarea:

2 ) 1 ( 2

) 1 )(

1 ) (

(

2 a

a a e

e a a a

T = + + ⁻ = + ⁻

1 0

1 0

) (

) 1 ( ) 1 2( ) 1 ) 1 ( )

1 ( 2 2( ) 1

( ²

⇒ =

=

⇒ −

′ =

− +

= +

− +

′ = ^{− − −}

a a

a T

a e

a e

a e

a a

T ^{a a a}

En enkel teckenstudie (skall presenteras) visar att a = 1 ger triangelareans största

värde 2 . .

2 2 ) 1 1 ) ( 1

( ¹

1 2

e e a e e

T == + ⁻ = ⁻ =

b. Lutningen i punkten (-1, 1) erhålls via implicit derivering av 2x+y+4=3y². 5

2 1 6 2 2

6 6

2 =

= −

= ⇒

⇒ −

=

+ dx y

dy dx

dy dx ydy dx

ydy dx dy

Rättningsmall:

2a. Rätt uppställt area uttryck +1p.

Rätt a +1p.

Rätt beräknad area +1.

4 Uppgift 3:

Lösning:

1. (Definitionsmängd.) Ekvationen x² +2x+5=0⇔ x=−1± 1−5 saknar reella lösningar (nämnaren har inga reella nollställen) . Därmed är funktionen definierad (och kontinuerlig) för alla x.

2. (Asymptoter).

2a) (Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla x) ⇒ (Ingen vertikal (=lodrät) asymptot)

2b) 1

5 ) 1 2

(

4 ) 1 1

( 5 lim

2 lim 4

2 2

2 2

2

2 =

+ +

+

= + + +

+ +

+∞

→ +∞

→

x x x

x x x

x x

x x

x

x . (y = 1 är en höger horisontell (vågrät)

asymptot).

Samma resultat får vi i detta exempel om x → –∞

1 5 ) 1 2

(

4 ) 1 1

( 5 lim

2 lim 4

2 2

2 2

2

2 =

+ +

+

= + + +

+ +

−∞

→

−∞

→

x x x

x x x

x x

x x

x

x (y = 1 är en höger horisontell (vågrät)

asymptot).

Alltså har funktionen en horisontell (vågrät) asymptot y = 1.

3. (Stationära punkter) Inga sneda asymptoter. Vi har

+ = +

+ +

+

− + +

= +

′ ² ₂ ² ₂

) 5 2 (

) 2 2 )(

4 (

) 5 2 )(

1 2 ) (

( x x

x x

x x

x x x

f

+ = +

−

−

−

−

−

− + + + +

= +

′ ^{3 2 2} ₂ ³ ₂ ^{2 2}

) 5 2 (

8 8 2 2 2 2 5 2 10

4 ) 2

( x x

x x x x x x

x x x

x x f

1 ,

3 ) 0

5 2 (

) 1 )(

3 ( ) 5 2 (

3 ) 2

( _{2 2 2 2}

2

=

−

⇒ = + =

+

−

= + + +

−

= +

′ x och x

x x

x x x

x x x x

f

75 , 4 0 ) 3 1 ( 25

, 4 1 ) 5 3

(− = = och f = =

f

Derivatans teckentabell: Notera att nämnaren (x² + x2 +5)² är >0 för alla x och därmed inte påverkar derivatans tecken. Vi behöver inte inkludera denna term i tabellen.

–3 1

+3

x – 0 + + +

−1

x – – – 0 +

)

f′ (x ¨+ 0 – 0 +

)

f(x MAX MIN

visar att – 3 är en lokal maximipunkt, funktionens maximivärde är

4 ) 5 3 (− =

f ,

5 medan 1 är en lokal minimipunkt, funktionens minimivärde är

4 ) 3 1 ( =

f .

Motsvarande punkter på grafen är )

4 ,3 1 ( och 4)

,5 3

( ₂

1 S

S − .

4. Funktionens graf.

Rättningsmall:

- Fel asymptotbestämning -2p.

- Saknas någon asymptot -1p.

- Rätt beräkning av stationära punkter samt dess karaktär +2p.

- Grafen helt fel -1p.

Uppgift 4:

a.

∫

^f(x)dx=

∫

^xe2xdx

Integralen löses via partiellintegration

x C e e C

x e e dx

x e dx e

x ^x

x x x

x = x −

∫

= − + = − +

∫

² ₂^{2 2}₂ ²_{2 4}^{2 2 (}₂ ¹₄⁾

En primitiv funktion till f(x) är ) 4 1 (2

2 x−

e ^x .

b.

{ }

^{⎟ =}

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⋅ −

=

− =

− =

∫ ∫

∫

⁵

4

5

4 5

4 2

1 3 1 3 ng 1 ksuppdelni Partialbrå

) 3 (

1 3

1 dx

x dx x

x dx x

x

x

6

[ ]

5 ln8 3 ) 1 4 ln 1 ln 5 ln 2 3 (ln ln 1

) 3 3 ln(

1 ₅

4= ⋅ − − + = ⋅

−

−

⋅

= x x

c. Rotation kring x-axeln.

Figuren visar att g(x) är den övre funktionen. Volymen V:

( ) ( )

( )

. . 3 )

(19

1 2

1

) ( )

(

1

0

1

0 2 2

1

0

2 1

0

2

e v e V

dx e

dx x V

dx x f dx

x g V

x

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− +

=

−

=

∫ ∫

∫

∫

π

π π

π π

Rättningsmall:

4c.

- Rätt uppställd integral +1p.

- Rätt beräknad volym +1p.

Uppgift 5:

a.

x

x x x

f 1 sin

sin ) cos

( +

= ⋅

( ) ( )

( )

2 2 2

2

) sin 1 (

sin cos

sin sin 1

2 sin cos sin

) (

) sin 1 (

cos sin

cos sin

1 ) sin cos

2 ( 1 cos sin

sin )

(

x

x x

x x x x

x x

f

x

x x

x x

x x x

x x

x f

+

⋅

− +

⎟ ⋅

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ − ⋅ +

′ =

+

⋅

− +

⋅

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − ⋅ + ⋅

′ =

b. ^{(1 ln )}

[

^ln

]

1 ^{(2 ln ) 2} 1

−

−

= +

−

=

∫

^t − ^{x dx x x x x t t t t} e

t e

t t

e t t t e

t t t

⇒ =

=

⇒ −

=

⇒ −

−

=

−

⇒ −

) ln 2 (

ln 2 2

2 ln 2

7 Rättningsmall: 5a. Fel tillämpning av deriveringsregler -2p. Enstaka teckenfel -1p.

5b. Rätt beräknad integral +1p.

Uppgift 6:

a. z= f(x,y)=10+x³+y³−3xy

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

⇒ −

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

⇒ −

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ =

∂ =

−

∂ =

−

∂ =

0 0 0

3 3

0 3 3 0

0

3 3 ,

3 3

2 2 2

2

2 2

x y

y x x

y y x dy

dxf f

x dy y

y f dx x

f

Från ekvation 1 får vi y=x² som substituerar i ekvation 2:

1 ,

0 ,

1 ,

0 0

) 1 (

0 ³ _{1 2 1 2}

4−x= ⇒ x x − = ⇒ x = x = y = y =

x

Två stationära punkter (0,0) och (1,1) är erhållna.

y y C f y

x B f x x

A f 6 , 3, 6

2 2 2

2

2 =

∂

= ∂

−

∂ =

∂

= ∂

∂ =

= ∂

1. Stationär punkt (0,0):

För punkten (0,0) erhålls AC−B² =−9<0 ⇒ (0,0)ärsadelpunkt 2. Stationär punkt (1,1):

För punkten (1,1) erhålls AC−B² =27>0 och A>0 ⇒ (1,1)ärminimipunkt 9

) 1 , 1 ( , 10 ) 0 , 0

( = =

⇒ f f

b. Volymen av ett föremål som definieras av följande område D:

) ( 2

2 1, 0, 0 , 0 ^{2 2}

: ) , ,

(x y z x + y ≤ x≥ ≤ y≤ x ≤ z≤e ^{x +y} ges via dubbelintegralen:

∫∫

⁺

D

y

x dxdy

e^{( 2 2)}

Omvandling till polära koordinater: ^x=^rcosα, ^y=^rsinα, ^dxdy=^rdrdα ger

{ }

. 8 .

) 1 ) (

2 1 (2

2

4

0

1

0 4

0 4

0 1

0 )

(

2 2

2 2

2

e e v

e d

d e bstitution variabelsu

dr r e d rdrd

e dxdy

e ^{r r}

D r D

y x

α π

α α

α

π

π π

= −

−

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

= ⎡

=

=

=

∫

∫

∫ ∫

∫∫

∫∫

⁺

Rättningsmall:

6a.

- Rätt beräknade stationära punkter +1p.

8 - Rätt karaktär +1p.

6b.

- Rätt uppställd integral med rätt polära koordinater +1p.

- Rätt beräknad volym +1p.