Tentamen i Mekanik 1 (FFM515/FFM516)

Tentamen i Mekanik 1 (FFM515/FFM516)

Tid och plats: Måndagen den 13 april 2015 med start 08.30 i M.

Hjälpmedel: Inga Examinator: Ulf Gran

Jour: Ulf Gran, tel. 031-7723182, besöker tentamenssalarna c:a kl. 10.00 och 12.00.

OBS: Tentamen är indelad i två delar, del 1 och 2. Du kan välja ett av följande alternativ:

• Tentera hela kursen genom att lösa båda delarna av tentan under 5 timmar (sista inlämning 13.30). För att bli godkänd (på tentan och hela kursen) krävs för studenter registrerade på den nya kursen FFM516 minst 6 poäng totalt varav minst 3 poäng på varje del. För studenter registrerade på den gamla kursen FFM515 krävs endast minst 6 poäng totalt, dvs det finns inget krav på minst 3 poäng på varje del av tentan.

• Tentera en del av kursen genom att lösa en av delarna av tentan under 3 timmar (dvs med sista inlämning 11.30). För att bli godkänd på den del studenten valt att tentera krävs minst 3 poäng. Kan vara lämpligt val om man sedan tidigare är godkänd på en del av kursen.

Rättningsprinciper: Alla svar skall motiveras, införda storheter förklaras liksom val av metoder. Lösningarna förväntas vara välstrukturerade och begripligt presenterade. Erhållna svar ska uttryckas i de storheter som är givna i uppgiftstexten och i tillhörande figur (samt tyngdaccelerationen g om denna behövs) och, om möjligt, analyseras m.a.p. dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Varje uppgift bedöms med 0, 1, 2 eller 3 poäng enligt följande principer:

• För 3 poäng krävs en helt korrekt lösning.

• Mindre fel ger 1 poängs avdrag.

• Allvarliga fel (t ex dimensionsfel eller andra orimliga resultat) ger 2 poängs avdrag.

• Allvarliga principiella fel ger 0 poäng på uppgiften.

• Ofullständiga, men för övrigt korrekta, lösningar kan ge max 1 poäng. Detsamma gäller lösningsförslag vars presentation är omöjlig att följa.

Betygsgränser: Varje uppgift ger maximalt 3 poäng, vilket innebär totalt maximalt 9 poäng på varje del av tentan, och maximalt 18 poäng på hela tentan. För att bli godkänd på en del av tentan krävs minst tre poäng och 3-5 poäng ger betyg 3, 6-7 poäng ger betyg 4 och 8-9 poäng ger betyg 5. För kraven att bli godkänd på båda delarna av tentan se rutan ovan.

Förutsatt att man uppfyller kraven för godkänt är betygsgränserna 6-10 för betyg 3, 11-14 för betyg 4 samt 15-18 för betyg 5.

Rättningsgranskning: Tisdag 28/4 2015 kl.12.00-12.30 i sal FL61.

Lycka till!

Del 1

1. a) Ersätt kraftsystemet som verkar på den smala balken (dvs försumma dess höjd i figuren) med ett stelkroppsekvivalent system bestående av en kraft och ett vridmoment i punkten A.

b) Ersätt kraftsystemet som verkar på den smala balken med ett stelkroppsekvivalent system bestående endast av resultaten av de tre krafterna. Bestäm särskilt avståndet x till höger om punkten A där resultanten verkar.

2. Beräkna vridmomentet M , applicerat på den undre cylindern enligt figuren, som krävs för att (de identiska) cylindrarna ska rulla med konstant hastighet nedför det lutan- de planet (vridmomentet M bromsar alltså cylindrarna). De kinetiska samt statiska friktionskoefficienterna för alla kontaktytor är µk respektive µs. Planets lutningsvinkel är θ, cylindermassan är m och cylinderradien är r. Ni kan anta att glidning ej sker i kontaktpunkterna A och B.

3. Ena änden av en homogen stav av längd L och densitet ρ⁰ är fastsatt i punkten C på botten av en tank med vätska av densitet ρ och djup h. Då ρ⁰ < ρ och h < L, beräkna vinkeln θ som staven bildar i förhållande till vätskeytan (se figur) vid jämvikt.

5/193 One end of a uniform pole of length L and density is secured at C to the bottom of a tank of liquid of density and depth h. For the conditions and , find the angle assumed by the pole.

Problem 5/193

5/194 When the seawater level inside the hemispherical chamber reaches the 0.6-m level shown in the fig- ure, the plunger is lifted, allowing a surge of sea water to enter the vertical pipe. For this fluid level (a) determine the average pressure supported by the seal area of the valve before force is applied to lift the plunger and (b) determine the force P (in addition to the force needed to support its weight) required to lift the plunger. Assume atmospheric pressure in all airspaces and in the seal area when contact ceases under the action of P.

Problem 5/194 Seawater

supply Air vent

P

0.8 m

75 mm

0.4 m 0.6 m

0.6 m

! C

L

θ

h

"

h ! L

#" ! #

#

#"

Article 5/9 Problems 319

Representative Problems

5/195The cross section of a fresh-water tank with a slanted bottom is shown. A rectangular door 1.6 m by 0.8 m (normal to the plane of the figure) in the bottom of the tank is hinged at A and is opened against the pressure of the water by the cable under a tension P as shown. Calculate P.

Problem 5/195

5/196The sides of a V-shaped fresh-water trough, shown in section, are hinged along their common intersec- tion through O and are supported on each side by vertical struts hinged at each end and spaced every 2 m. Calculate the compression C in each strut.

Neglect the weights of the members.

Problem 5/196

0.8 m 0.6 m

30° 30°

O

0.8 m P

1.2 m

1.6 m A

30°

Del 2

1. Betrakta anordningen i figuren bestående av en masslös stång som kan rotera friktions- fritt kring en horisontell axel. En annan stång, också den masslös, är monterad vinkelrät mot den första och uppbär två lika klot, vardera med massan m enligt figuren. En vajer är lindad kring en masslös trumma med radien r som är fäst i den horisontella stången.

Betrakta tre olika fall enligt figurerna:

a) Man drar i vajern med en dragkraft S = mg.

b) En vikt med massan m är fäst i vajern.

c) En apa med massan m klättrar uppför vajern med accelerationen a relativt marken.

Bestäm anordningens vinkelacceleration ¨θ i de tre olika fallen om avståndet från rota- tionsaxeln till varje klots mittpunkt är l.

a)

c) b)

r

r

r

2. Betrakta hylsan P som kan glida längs en metalltråd formad som en spiral i x-y planet som ges av ekvationen r = bθ, där r är avståndet från O till hylsan, θ vinkeln mellan armen OA och den horisontella riktningen och b är en konstant. Armen OA startar från vila i horisontellt läge och börjar rotera med en konstant vinkelacceleration ¨θ = α kring punkten O. Bestäm hylsans hastighet och acceleration i punkten B, vilken är skärningspunkten mellan spiraltråden och den vertikala y–axeln.

3. En liten vagn med massan m kan rulla fritt utför en masslös ramp med lutningsvinkeln α. Rampen är monterad på en större vagn med massan m₀ som också rullar fritt längs ett rakt horisontellt spår. Hela systemet är i vila från början med den lilla vagnen högst upp på rampen (s = 0 enligt figuren). Bestäm den stora vagnens hastighet v som funktion av sträckan s.

Statik ^Ul

mummy

,

\

\

2 F

He

×

yt

%

₍

; F

or E)

^{( F}

^{: I}

^{( F}

sina.ZF.ly

^{( Fcosoa E)}

^I

^F

⁽

% dry ^Var

^skier

^LF verkningslinjen for

^F

^Sino

^{( a+b ) resultant}

^F

⁽

^balken

^{2 a)} Lit §

xx^

, vi

M*£

Fx ^R

p→xR=

xxyx

( R×I+Ryj)

xky ^I

x.

^M¥y

tatsihoha.is

into

Edith

\%

Friliggning

mg£M•A=

,

avdetvi

ylindrarna

&

^\§

mg$Nµ

• F_,

A

)

Enligtantagande _giller ^att {

¥YjYj

, ,

dvs

gen

gliding

vid A

Om

ylindrcrna

rullanedaot kris di aft

sker

gliding

^C

^F2=µkNz

Vid

_hastighet

For

elimiherasamanga ^obekanta

^miijligt

pi

moment

jimvikt Kring A

7A { ^{{ Nz Ndr}

⁽ $

^{rtmkr mgsincoir}

^{mgsinlar Mer ) )}

^{Mr Nit}

^O

^m.HR

^{Mahr dir}

^{M=o S= mgrsinlot}

!2!

Nz

r¥nn

o M=

siIm÷+s=Im÷ .im#a

[ M]= ^kg

[ Kraft ^linyd .

Static U3

mmmi =

Fraililtaniehn ? ¹⁼¹

li: ^n*=hf

^{1 VF}

lung

Loaf A beteckna staves okiinda tuarsnittsarea ^. Enligb ^Airkimedes _princip ^{verkar Det en}

Kraft

gen ^on tyngdpuhkteh for den undentriihgda vattenmulan ^{med storlek}

F

ltteg

^massages

LAP ^Moment jiimvikt Kring

eliminerar E

^fair

%

Fcoscal

- mg costal ^{= 0}

#

,

.

te _'g=o

since

HH

_{gu ( karat}

roten son motsuarar Voir

=)

)=§f%

)

o= sinthff

⁾ HE ^]

^enhetslot

Dynamite Ul

's

Frilaggningav system ^et axel

matt

{

⁵⁰

A ^•

kvlorttrunmatillsanmans

med

% ¥

tynyd

!

^{fall be c)}

:

settfrantrummanssidaiaq0mykpgmmgtmyfpgtmgQ@Oa0bserveraattkulornnstyngdkraftergeruppehoutilllikastoramenmotriktadevridmomentkrihgaxeln.a

0

Systemets

fotalarorehemiihgds

moment

Kring axeln A

hastighetg H*=rme(

2k¥

ed it

,t=Lmt0

och

def total

vridmomehtet Kring A

MA

_mgr

YD

it ^{,t= Ma 2mL}

^{'t '=mgr}

:

ga @

^{% H*=}

^{mgy Zmtotmro}

^mother

⁾

g=gr←

Tf

Q

:

Ha=

^{+2mL 'd} 'H*=

't

M*=m:

iA=M*

^{+2mL 't}

mgr

owed 2

I

alla ^tre

_analyse

[ oi3= F

ha

^I

Deadened

spirit •o

;gg÷:Es¥¥

=

,

For

attslippaihforatidsomenyttligarevariabelkanvianiahdaattqo0tda0osdg0.oivilketgerattOt0idO-i0doilanaloytmedadx-VdDMedkonstantvihkelacceleratioh0-2kandeHaintegrerasiToodo.foidoi-DtEa.eau.FadirwarvinkelhatighetenvidB.hsattnihyivttryckenforhastighetochauelerationlipolarakoordinatergernuVr-t-boi.bffn5vo.ro.by.faArtao5m.f.hsqr.ii.roi-bo.r0i-ba.rTa-ba.bt2a-ba4.teY@srji.2roi-tat2bi-ktntbtb2Id.2tba.5baitfarT-fao.3.m

.

'I= ^TT

Dynamite

: A

=

^v

Inga external crafter utovarhagot arbete _pin

system

et bestaendeav

vagharna

Inga ^{external crafter}

high

^lings

mar kens

rikthihg

=) _Energi

rorelkmiingd

i x ^.

led

Den lillavaynens ^haitiyhet

9n= (

icos

KDI

isihkly

Rcirelsemangdens bevaranh

led _ger

0

mlviscoskntmov

^months iota

Energi

o

tenor

^km (

icosklt t.si sink )

mgs

÷

!1!

insatt

ger ^sedan

arguing ftp.nf.4.im#taikl ^{= .gg#gh=hf}