Ett exempel p˚a att ¯x ej ¨ar effektivaste skattningen
L˚at v˚ara data x1, x2, · · · , xn vara utfall av X1, X2, · · · , Xn som ¨ar oberoende likaf¨ordelade d¨ar Xj
¨ar R(0, 2θ) f¨or j = 1, 2, · · · , n. Notera att E(Xj) = θ.
Ett f¨orslag p˚a skattning skulle vara θ∗1(x1, x2, · · · , xn) = ¯x = n1(x1+ x2+ · · · + xn). Detta ¨ar (enligt den allm¨anna satsen om ¯x som skattning av v¨antev¨ardet) en v¨antev¨ardesriktig skattning av θ. Det
¨ar ocks˚a, som l¨att visas, minsta-kvadratskattningen av θ.
Vi har
V (θ1∗(X1, X2, · · · , Xn)) = V (1
n(X1+ X2+ · · · + Xn) = 1
n2(V (X1) + V (X2) + · · · + V (Xn)).
Vi f˚ar ur formelsamlingen att
V (Xj) = (2θ)2 12 = θ2
3 som ger
V ¡
θ∗1(X1, X2, · · · , Xn)¢
= θ2 3n.
Om vi i st¨allet tar f¨orslaget θ2∗(x1, x2, · · · , xn) = 1
2max(x1, x2, · · · , xn) s˚a ¨ar denna skattning inte riktigt v¨antev¨ardesriktig, men om vi modifierar den till
θ∗3(x1, x2, · · · , xn) = n + 1
2n max(x1, x2, · · · , xn)
s˚a visas nedan att denna ¨ar v¨antev¨ardesriktig.
Vi har ju att om Y = max(X1, X2, · · · , Xn) s˚a har vi
FY(y) = P (X1≤ y; X2≤ y; · · · ; Xn ≤ y; ) = P (X1≤ y)P (X2≤ y) · · · P (Xn≤ y) =³ y 2θ
´n
som ger fY(y) = nyn−1
(2θ)n d˚a 0 ≤ y ≤ 2θ (och 0 f¨or ¨ovriga y). Detta ger
E(Y ) = Z ∞
−∞
yfY(y)dy = Z 2θ
0
ynyn−1
(2θ)n dy = (y/2θ = u) = n Z 1
0
2θundu = θ 2n n + 1 som visar att
θ3∗(X1, X2, · · · , Xn) = n + 1
2n max(X1, X2, · · · , Xn) = n + 1 2n Y
¨ar v¨antev¨ardesriktig ty E(θ3∗) = θ.
F¨or att ber¨akna V (Y ) tittar vi p˚a
E¡ Y2¢
= Z ∞
−∞
y2fY(y)dy = Z 2θ
0
y2nyn−1
(2θ)ndy = (2θ)2n Z 1
0
un+1du = (2θ)2 n n + 2 som ger
V (Y ) = E(Y2) − (E(Y ))2= 4θ2 n n + 2−
µ θ 2n
n + 1
¶2
= 4θ2 n
(n + 2)(n + 1)2.
2
Detta ger nu
V (θ3∗) = V
µn + 1 2n Y
¶
= (n + 1)2
4n2 V (Y ) = (n + 1)2
4n2 4θ2 n
(n + 2)(n + 1)2 = θ2 n(n + 2) och detta skall allts˚a j¨amf¨oras med V (θ1∗) = θ2
3n enligt ovan. Man ser att V (θ3∗) < V (θ∗1) utom i de (uraratade) fall d˚a n = 1 och/eller θ = 0 d˚a likhet r˚ader.
Man kan se att skattningen θ1∗= ¯x kan ge orimliga resultat. Antag att man erh˚allit observationerna 0.1, 0.2 och 0.9. Medelv¨ardet ¨ar 0.4 och skattningen av 2θ blir 0.8, d.v.s den skattade f¨ordelningen
¨ar R(0, 0.8). Men en av observationerna tillh¨or inte detta intervall! Det visar att medelv¨ardet ¨ar en ol¨amplig skattning av θ.
Variansen V (θ∗) = E[(θ∗− θ)2] om θ∗ ¨ar en v¨antev¨ardesriktig skattning av θ. Det inneb¨ar att variansen ¨ar den f¨orv¨antade kvadratavvikelsen fr˚an θ, och denna vill man minimera. Nu kan man argumentera f¨or att θ∗ ¨ar den b¨asta skattningen f¨or θ om den f¨orv¨antade kvadratavvikelsen fr˚an θ
¨ar s˚a liten som m¨ojligt, oavsett om skattningen ¨ar v¨antev¨ardesriktig eller ej.
Om vi utg˚ar fr˚an Y ovan skulle vi kunna s¨oka ett a s˚adant att E[(aY − θ)2] minimeras. Om vi utvecklar kvadraten och utnyttjar uttrycken f¨or E(Y ) och E(Y2) ovan finner man att kvadrat- avvikelsen minimeras f¨or a = n + 2
2(n + 1), d.v.s. skattningen
θ∗4= n + 2
2(n + 1)max(x1, x2, . . . , xn)
har en mindre medelkvadratavvikelse fr˚an θ ¨an de ¨ovriga skattningarna ovan. Skattningen θ4∗ ¨ar dock inte v¨antev¨ardesriktig.
