PRO
CUJUS PARTEM POSTERIOREM
VENIA AMPL. FAC. PH1LOS. UPS.
PUBLIC!O EXAMINI OFFERUKT
Mag. HENRICUS FALCK
STIP. REG GESTR. HELS.
ET
CAROLUS MAGNUS LEKSELL
STIP. GRÖKVALL. VESTMANNO . DALEK.
IN AUDIT. GUST. DIE IX DEC. MDCCCXV
H. P. M. S.
DE
PORTIONE DEPINIENDA:
DISSERTATIO
U P S A L I jE
EXCUDE3ANT ZEIPEL ET I'ALMBLAD.
1
o - • * ---f -■■•-. ■• xx-..-'v. '•'ix
■
Vx-.j...' : .-
"
-x vxx-x-i
-->x _x.. x .x
- • - - - •- - . ...-r^ . - . ... ,
- . ••• x -
.. . -x.x, .-
''
- ?'-x" r -V."' - x■x
■ ".■XXXX; •xx..
.- . -•• -- .' •.''' - . t ' • - . ?
■
\> ' .■ ' - " ' -••• • •. -v .
v-.. ' -^v-,'. --v- <-- *H>J5£i*
v-- ' -
.
"
' - "
7/ • . ,v
:vy-7:y '/>''-'"'.V. •' i4-'
■ ' -
?' .'V ---\. -7• %>.%
:x.7v~- - '* " ."v
Ii
VÄ•.
;
X ' rX V' XX-
... .. .
, ... V, ■ -
r : X ■ '
. . " • -' ■■«-v.- - •'
'
• '■ '--.X-xXXx,x-; : - X- ■ " X X-■-x-. X', > XX-;-".X ■ X. t
. ' ' ' . . ■■■-.■-■ . V V , ...
x. ;—•- _ .. . x'- ... "• ~ - ^ c' ^' •" ^ ~
;V
1 mm
■ ;x-' ..•'... •••-•>- ■■
:,,xxx: :..,x .
.- '..X iÄ» •.^^ '.
:f' •- v-
■) ■ .y." *- • ' '' .'x~:^'x.-:-' _
*
■"
x • ; " - . , X ' • , - - ■ ■■-{
"
- '
%
... - - ,-r.:.x •• V . X.:• X- .,v. ■x
X-: - .. . s xx: - - x*
•• './ ^ • .... .... . . ■ ■- -i' v->... , .-.•••
'v?
ii . '-v '. ■: '. r';x'■;
~ - - .*~
lÉfc r S
jy^r
. - v-
'fv-x^ rr:i-*-x ' -x*
^ - -* % ■ ;x>
r x■ ■...", i ■■ .xx- ....■ > X- ..üfrjmm
,.:'f-> >"x-r:. -x., -C: ; ■; ~ -
.o
•
xx.. "..- •; ■v; v •■X." . .. , ■
.
rådmannen
adel och högaktad
HERR. LARS LEKSELL
samt
FRU ELIS. CATH. LEKSELL,
född HEDENBERG,
de huldaste föräldrar!
jeder, hvars bma omvårdnad altid lättat mina bemödatt- den, — .eder helgar den sonliga vördnaden och tacksamhe¬
ten detta första Academiska prof
carl magnus.
BRUKS'PATRONEEN
HOGADLE
herr CARL MAGE LXTSTRÖM*
DEN BASTA FARBRODER,
vördnadsfullt tillegnadt
af
CARL MAGNUS LEKSELL,
:> <» c
Theorema 2.
Si ponafur def. IV. vera ert: def*. I. & B) rcciproce
C. Si autem ponatur def. II. vera ert def. III <5c D) reciproce.
A) Ponatur def. IV. demonflr. def. I.
Hyp. IV. a]) Demonßr. u) Sit igitur xC =rr nD dico es«
fe xAzzziiB. EH enim per liyp. xA non - <3 nB. NVque
vero xA^-nB; föret enim tum {p. Lem. 2) gxA>>(gn •+■rjB
fed gxC<^(gn -4- r)D quod repugnat hyp. Ergo xA — nB.
Sit ß) xC^>nD dico eskxA^>nB. Ert enim p. hyp.
xA nou - <J nB. Neque vero xA zxz nB, föret enim tum
gxA<^ (gn -f~ r)B fed gxCy> (gn r) D £Lem. 2); quod
repugnat hyp. Ergo xA £> nB.
Sit y) xC <^nDy erit xA <!3 nB$ contrarium enim re¬
pugnat hyp.
Hvp. IV. b). Quoniam per hyp. IV. b) mA non -<3nB
fed mC^\nD, adfertum erit demonrtr. il mA £> nB. Si vero
mA nB, erit (Lem. 2). gnD £> (gm -f- r)D fed gnB -< (gm -p r) A I. e. (gm -f- r)A > gnB fed
(gm + r) C <1 gnD q. e. d.
B) Ponatur def. I, demonrtr. def. IV.
Hyp. I. a"). Sit igitur xC non - <3 nD fed
dico esfe xA non — <1 nB fed <3 (n -}- iJB; nam in ipfa hyp. hoc idcm ponitur.
Hyp. T. b). Quoniam per hyp. mA nB fed mC
non - k* nD, adlertum erit demonrtr. fi mC<^nD, fi au¬
tem mC nD, erit (p. Lem. 2) gmA (gn -+■ rjB fed gmC <1 (gn -j- rJD. q. e. d.
B v C)
) i® c
c) Ponatur def. II. demonftr. def. III. Tum autem vera eft def, IV, (Theor. i ) unde vera quoque eft def. I. (p. de- mpijftr.) & hinc vera eft def. III. (Theor. i.)
Si denique ponatur def. III. vera e/t def. II. Vera
enim tum eft def. I. (Th. i) unde vera quoque e/t def. IV.
fp. demonftr.) öl proiade vera e/t def. II. (Theor. i).
Corotl. i. A). Si ponatur def. I. vera quoque eft def. IV.
(Th* 2.) öl inde def. II. (Th. i.) B) Eodem modo eX def.II.
deducatur def. I. ope def. IV öz C) ex def III. derivetur
def. IV ope def. I åz tandem D) ex def. IV derivetur def. III.
ope ejusdein def. I.
Corotl. 1. Tum quoque e/t A : B C : D juxta def, I.
/I mA =: iiB fed mC<^nD öl juxta def, IV. fl niA £> iiB
fed niC = iiD.
Corotl. 3. Si A : B C : D erit invett. B:A <JJD:C.
Si autem A : B C : D erit B : A> D : C, unde, quo-
niam contrarium flt abfurdum, fr A : B = C : D, erit
B : A == D : C.
§• IV.
Ex prasced. pafet duplex id esfe, quod Euciideas inter St
recentiorum definitiones lmereft. Primum fcilicet in eo diffe-
runt quod horum omnis Theoria fundamento nttitur, poftulad
nomen male ufur pants: "Datas magnitudinis quamiibet posfe co-
gitäri parfemT Id enim folum pöftujari debet, quod quomodo p.erficiatur immediate i. e. nulla prasvia conftrudtione petita co-
gitari poteft. Pars vero quaslibet magnitudinis in genere anorna*
do oriatur cogitari nequit. Contra ea definitiones fuas Euciides
huic
) ii c
liuic fuperftruit vero pofiulafo; ''magnitudinem datam quoties«
;cumque posfe cogitarA'. OAentat ulterius defin. recent. majo¬
rem evidentiam & vulgari, quem natura indigitat, propiorem
rqti oiiis expiimendic modum. Qued fi itu esfet, nonnihii fibi jure adfumeret. Nulluni vero nobis eil dubium, methodum ra- tionis, quam A ad B habet, immediate expresfas vei propter evidentiam alteri iIii esfe prteferendatn, quse rationem mcdiate L
per compofitionem (de qua mox piura) exprimit, fi in hac, ut flatuunt recent. pro fingulis ipfius B valoribus Angularis esfet cogiiando unitas ( pars feil, ipfius B). Ihre autem methodus
tum demum & ufitatior & Euclidea uonnuinqüam fit commo-
dior, fi pro omni valore ipfius B um eademque adhibetur uni¬
tas E (i. e. magnitudo hoinogenea, ex arbitrio quafi communi adfurata & certo nomine nota), cum qua & A & B cornparen-
tur. Omnis vero ratio compofita ante fe ponit immediatam f.
fimplicem; non vice verfa. De cetero demonfirationes ex def«,
recent, profedfac Euclideis multo prolixiores fiunt, etiamfi ad
Euclidis exemplum magis quam hueusque fadum fit, posfint
coiiformari. Neque vero hocu in prineipio fyftematis fiatuendo
efi contemnendum.
Alterum, in quo differunt def. Euch & recent. eft quod
Euclides criterium scqualitatis & insequalitatis rationum magis in ßmultaneiate ipfa vel non-ßmultaneitate multiplicium aequalium,
majorum, minorumque ponit, quam in numeromonfirante quotam
multiplicem confequentis (B) multiplex antecedentis fA) rcquet vel proxitne luperet. Unde faefium efi, ut voeibus illis: aqua- Iis major & minor alium inesfe fenfum fit exifiimatum; cum
de ratione & cumdemagnitudine quaeratur *). At hse ipfse voces
B 2 de
*) Tbe words greater, the fame or equal, lesfer have a quite
different meaning when applied to magnitudes and to ratios, as is
piain from the 5:th and 7:trh def. of. Euch book 5. (Elena, of Euclid«
by Rob. Sioafon. Edinb. 1793. P- 3T7)*
) 12 (
«!e numeris ipfis Integris, qui rationem exprimunt ipfius A ad
D eodern plane fenfu atque de magnitudine ufirantur. Et hoc primum eft, cur novain in def. IV". expresfam Euclideis defin.
additam velimus formam. Prseterea in eo peccat def. 5»Eucl.V.
quod in eam ingrediuntur, quas ex parte ejusdein pofita demon-
ftrari posfint, åt ob hane quoque causfam tamquam Theorema
ex def. IV. ut fa&um ed, deducatur. Posfunt vero ex def.
noftra IV. omnes fere de ratione propofitiones Euclidea prorfus fimplicitate immediafe deduci> axiomatuin nomine quibusdam
tum fere dignis, E. V: ii, 13 St io, quarum tertia, fi forfan defideraveris* ita expiicetur:
Cum p. hyp. i. mA zzz vel nC fed mB »C, erit mA^i>mBunde A B\
Cum p. hyp. 2. pC = vel |> qA fed <J qB, erit
qA <1 qB, unde A <1 B.
§• V.
Loco*autem E. V: 13. heic operas pretium erit demon-
fltare:
Prop. l Si A:B> C:DSt C:D> E:F, em A: B> E: F.
Dem. P. hyp. e/1 pC non - <J qD fed pE <2 qF St
mA non - <J nB fed mC <1 nD unde
fiipCnon-<1 mqD fed mpE mqF St pmÄ non — <j pnB fed pmC <1 pnD
fed mpC = pmC (p. Lem. t.), St proinde pnD j> mqD
unde pnF mqF St afortiori mpE pnFkåmpAfzzzpmAJ
äion - <[ pnB. unde d. def, A ; B E : F> q. e. d.
Cor.
) *5 (
Cor. Hinc jure concludimus, fi A:B \>C : D> non po>
fe C: Dr* A : B, foret enim tum p.dem» A : B£> A :B>
unde A A, id quod abfurdum»
JRatiocinio haud abßmiii patebit
Prop. II. Si vel ma mult, pA ss qB qusndo pC = qD„
erit A : B zzz C : D.
Dem. Sit igitiir xC non — nD fed (n i)D dico esle
xA non - <1 nB fed (n 4" i) B. Namque erit xpCfl pxC = xqD & xpA f. pxA =.xqB, nec non pxC (i.e.xqD)
non - <^pnD fed <3 p(n -f» ijD unde
xqB(i. e. pxA) non - <^pnB fed <1 p(n + i) B &. proinde
xA non - <1 nB fed <J.f» -f- iJB. q. e. d»
fjfam vero atia qticedam ptrielitmur ex def. noßra. IIA. dedti~
cenda hujur Theorice palmariat
A B
Prop. III. Dico esfe yA: yB aeque ac — : •—=: A : B*
H H
(quicunque fit numerus int» y~)
Dem. Sit enim xAnon— <3 nB fed <J (n 1JB, & eritr
xA nB
yxA non- <^ynB fed <[ yfnAr i)B atque non— <3—-
(n -f- iJB
fed < i» e. p. Lem» j» xyA non — nyB fed
A B B
<(» -f- Vy B atque # — non - < »— fed < Cn -f- t)—
y ' y y
unde patet q. e. d»
Cor»
) u C
Cor. Jam vero fimfliter afque in E. V: t4 fi demonftretur
in genere esfe in analögia A : B zz C: D, xAzz yC qaando xB zs. <1yD, fpeciales modo erunt cafus ik. prop.
cit. & Theor. poft E. V:; 15« Edit. Strom, asque ac Theor. poft
E. V: 16. fpecialis revera eft cafus Theor. noltr. 2:di A) f.
E. V: def. 5. Facile vero ad sequepartes utraque ha:c de seque-
mnltiplicibus extenditur propofitio.
Not. Lemmatis noßr. I:mi folius ope ex(endarur E. V: 4,
(quas quidem ipfa ex utravis deff. I, IV seque iunnediate dedti-
ci poteß), ad demonfiranda Theoremata illa: Si A:Bzz C: D,
A B C D B D
erit — : — & xA ; — ss xC : — & tandem
x y x y y y
A C
-:yB = - : yD.r,
Prop, IV. Sit A : B zzz C : D dico esfe A + B : B =
C ± D : D.
Dem. Sit enim D) = G ubi G<^D & erit xD zzzxD, unde (fubtra&ione facda <5c
p, E. V: 5)
xCzznD-xD •+• G, fed p. hyp.
xAzznB-xB Hubi H<J' B &
xBzz xB tinde £additione fa-dta <Sc p.
E. V: 2!)
x(A-\- B)=11B-fH & proindej p. def. patet q. e. d.
Similiter demonflretur esfe A-B : B zz C - D : D, Not.
) I> (
Not. i. Ut E. V: 19 fic quoque E. V; 12 ope prop.
prtsc. IV & alternaado demonEretur, liquidem ex def, IV jam-
dudum immediats deduxerimus prop. prac. III.
Not. 2. Eucl. V: 22, 23, 24 ex def. noEr. IV eadem de-
duci posfunt facilitate qua ex def. 1 deduxit Euciides. Sola
aurem eft prop. de raiione iuusrfa ad"quam diredte demonflran-
dam brevisfima erit via, qua Eue!, ipfc efl ingresfus, unde pro-
prer hane demonEretur E. def. 5» L. V. ex def. noflra IV, id,
quod jam in prasc. fadttim eE.
Prop. V. Si A:B> C: B, erit Atem. A:C> B : D.
Dem. P. liyp, efl mA zzz 11B-J- G •>ufi p'Aeß esfe Z22 oy
fed 11C = 11D — H ub H numqvam zrz c. Erit igitur:
tuA 1 mC tiB —{— G : ni) — H unde tuA.'mCP*~ 11B : nB
& Proinde A : C£> B : D. q. e. d.
Plura perfequi limifes opelhe & confilium vetant. Quo®
modo autcm flat, tx didis facile apparer.
5- vi.
Reliquum efl ut de ratione compofita pauca disleramus.
Cujus quidem definitio ut Emu! nominalis & genetica Ef, ita
eE exprimenda: Dicitur ratio A: B compoßta esfe ex rationibus
C:D, E:F\ G: H &c. E A ad aiiam ltomogeneam M fefe
habet ut C: D <k M ad N ut E : F &c. & tandem Q : B
ut antecedens ultimas rationis ad 1'uain confequentem.
Hinc axioma Et quam Euclidis esfe putant rationis compoß-
tee, alias apud eundem ex ceq.no dicke definitio, cui noflra e contrario fubjungi fölet.
