Tillämpad Matematik I

1 0

1 1

0 1

1 2

3

Tillämpad Matematik I

Övning 1

Allmänt

Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.

Uppgifter

Typuppgifter i första hand

1. Låt F 4, 3, 9, 1 , G 5, 1, 2, 10, 4 och H 5, 10 . Bestäm 9 F, 9 G, F G, F G, F H, F\G, G\H och

F G\H .

2. Beräkna a _{n 1}⁵ n³ b _{k 0}⁴ k² 3k c _{i 1}¹⁰⁰3

3. Skriv med summatecken a 1 ¹₂ ¹_{3 10}¹ b 2 3 3 4 4 5 10 11 4. Beräkna 2 1 ¹₂ ¹_{4 128}¹

5. Visa med ett induktionsbevis att _{i 1}ⁿ i 1 2 3 n ¹₂n n 1 för alla n 1, 2, 3, 6. Visa med ett induktionsbevis att 9ⁿ 1 är jämnt delbart med 8 för alla n .

7. Förenkla a ³ b ⁶ c ²⁵ d ⁵

8. Givet de komplexa talen z 3 4 och w 1 2 . Bestäm Im z , Re z , z w, z w, z w, ^w_z, z, w och arg w . Skriv z på exponentiell form. Rita z w, z w.

9. Skriv det komplexa talet ^Π på rektangulär form.

10. Skriv det komplexa talet _+2z^z4 på rektangulär och exponentiell form, då z 1 . 11. Lös ekvationen z 2z 2 , där z betyder komplexkonjugat.

Extrauppgifter i andra hand i mån av tid‘

12. Vad blir x x² x³ x⁴ om x x² x³ x⁴ 5?

13. Förenkla a ⁴ b ⁶ c ¹⁰ d ¹

14. Givet de komplexa talen z 1 2 och w 3 . Bestäm Im z , Re z , z w, z w, z w, ^w_z, z, w och arg w . Skriv z på exponen- tiell form.

15. Skriv det komplexa talet ^Π2 på rektangulär form.

16. Skriv det komplexa talet _+2z^z6_ på rektangulär och exponentiell form, då z 1 . 17. Lös ekvationen 2z z , där z betyder komplexkonjugat.

18. Visa med ett induktionsbevis att 3^{2n 1} 2^{n 2} är jämnt delbart med 7 för alla n . Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls‘

HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 1 1

19. För det komplexa talet z gäller att Re z 5. Vilka värden kan Re¹_z anta?

20. Antag att z a b. Åskådliggör geometriskt a z b z c z d ¹_z 21. Åskådliggör geometriskt de punkter som uppfyller

a z 2 b z 2 c z 1 2 d z 1 z 1

22. Visa att avståndet mellan punkterna z1 och z2 i det komplexa talplanet är z1 z2 . 23. Visa att följande samband är sant för alla z.

a z z 2Re z b z z 2 Im z c Re z z

24. Låt z a b ligga i rektangeln 0 a₁ a a₂, 0 b₁ b b₂ i det komplexa talplanet. Vilken form får rektangeln efter transformationen ^z?

25. Visa att för alla heltal n 1, 2, gäller a) _{k 1}ⁿ k^{2 1}₆n n 1 2n 1 , b) _{k 1}^{n 1}

k 2 n 1, c) 4ⁿ 4n²

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN