Tillämpad Matematik I Övning 2

Tillämpad Matematik I Övning 2

Allmänt

Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.

Uppgifter

Typuppgifter i första hand

1. Ange Df och Vf för a f x x 6 b f x _{x 5}¹ c f x 4 x² 2. Bestäm Vf till funktionen f x 1 3sin²2x , x .

3. I en speciell gas gäller sambandet pV 100 Boyle ' s lag mellan trycket p och volymen V i ett slutet kärl. Ange det intervall som trycket ligger i om V 5, 150 .

4. Bestäm största och minsta värde till f x x² 2x i intervallet 2, 1 . 5. Sök inversen f ¹x till f x 3x 4. Rita f x och f ¹ x i samma diagram.

6. Låt f x x² 2, x 0. Sök Vf samt inversen f ¹ x och D_f 1, V_f 1. Rita f x och f ¹ x i samma diagram.

7. Bestäm de sammansatta funktionerna f g, g f och f f då a f x 2x, g x x 1 b f x x², g x 2x 1.

8. Lös ekvationen x² x 6 0.

9. Förenkla a 2 ¹²2³⁴ b 9³² 3⁴ c 2^232¹⁶ 5^{12 1}

10.Funktionen f x ^x är given. Är några av följande påståenden sanna för alla reella a?

a f 2a 2 f a b f 2a f a ² c f 2a f 2 f a d f 2 a f 2 f a e f a² f a ² f f a f a g f a f a ¹ h f a f ¹a 1 11. Lös ekvationen ln 3^x 3^{x 1} 1.

12.Lös ekvationen ln 2x ln 3x ln 4x .

13.Lös ekvationen ln x ln x² ln x³ ln x⁴ ln x⁵ 5.

14. Lös ekvationen ln x ln x. 15. Lös ekvationen ln 1 x 1 ln x . 16. Lös ekvationen ln x 2 ln x . 17. Lös ekvationen 5 2 ^3x.

18. Lös ut R ur den "elektriska ekvationen" u u0

t RC.

19. Lös ut Κ ur den "termodynamiska ekvationen" ^T_T¹

2 ^p_p¹

2

Κ 1 Κ .

20. Lös ekvationen ^{x x} 6.

21. Lös ekvationen log₂x log₂x 4 5 där log_ab betyder logaritmen av b med avseende på basen a.

22. Man har f x c ^{k x}.

a) Bestäm c och k om vet att f 1 2 och f 3 4.

b) Beräkna f 5 .

c) Lös ekvationen f x 5.

23. The recommended tire pressure in a Honda Civic, in England, is 28 psi (pounds per square inch). What is this pressure in atmosphere? Hint: 1 atm 10⁵Nm ², 1 pound 4.448 N, 1 foot 12 inch, 1 foot 0.3048 m.

24. Farmer John has recently bought a 40 acre field and wishes to replace the fence surrounding it. Given that the field is square, what length in meters should Farmer John purchase? Hint: 1 acre 43 560 square feet, 1 foot 0.3048 m.

25. Verifiera med dimensionsanalys

a s ¹₂gt² vt b v₂² v²₁ 2as c mgh ¹₂mv² d m ΡV e P Fv

f v gh g F m ²_t2^x h m v1 v0 0

tF t i E mc² j V _a^bΠy x² x

26. Ljudhastigheten v i en gas beror på trycket p och densiteten Ρ. Bestäm ett dimensionsmässigt uttryck för detta samband.

27.En boll släpps från ett torn. Ange ett dimensionsriktigt uttryck för hastigheten v som funktion av bollens massa m, fallsträckan y och tyngdaccelerationen g.

28.Falltiden för ett torn exempelvis i Pisa antas bero på tornets massa m, dess höjd h och tyngdaccelerationen g. Ange ett dimensionsriktigt uttryck för falltiden T.

29.Farten v för en fisk beror på dess tvärsnittsarea A, vattnets densitetΡoch den effekt P som fisken klarar av att utveckla. Bestäm ett uttryck för v med dimensionsanalys.

30.Många tillväxtprocesser i naturen följer den logistiska modellen L t _{1 b}^L0_kt, där L0, b och k är positiva konstanter och tiden t 0. Ofta betraktas andelen P t ^{L t}_L

0. a Ange limt L t .

b Ange enheterna för b, k och P.

c För längden av en Ginsengrot har McGonigle funnit att b 149 och k 0.085. Rita P t . d Hur lång tid tar det tills Ginsengroten vuxit till 50 av sin slutliga längd?

e Bestäm P ' t . Rita.

f Visa att inflexionspunkten ligger vid t ^{ln b}_k .

31.Ponnykarusellen på Liseberg ger utmärkta tillfälle att öva mekanik och dimensionsanalys. Karusellen roterar medurs med en rotationstid på T s per varv. För att inte slungas ut från karusellen måste en resenär hålla emot med en kraft F som antas bero på resenärens massa m, rotationstiden T och radien r från rotationscentrum till resenärens åkplats.

a Sök ett dimensionsmässigt korrekt uttryck för den sk centripetalkraften F.

b Om hela attraktionen vore dubbelt så stor, men roterade med samma rotationstid, hur skulle kraften på resenärerna ändras?

c Hur skulle rotationstiden ändras för att en resenär skulle uppleva samma kraft i den större attraktionen?

32. Uttryck x som funktion av a och Θ i de rätvinkliga trianglarna nedan.

d

q x a

e

q a x

f

q x a a

q a x

b

q a

x c

q x

a

33. Fyll i tabellerna!

x cos x sin x tan x 0

Π 6 Π 4 Π 3 Π 2

x arccos x arcsin x 1

3 2 1 2 1 2

0

x arccos x arcsin x 0

1 2 1 2 3 2

1

x arctan x 3

1

1 3

0

1 3

1 3

34. Lös ekvationen sin x ¹₂. Rita enhetscirkeln!

35. Lös ekvationen cos 2x ¹₂ . Rita enhetscirkeln!

36. Antag att sin u ³₁₃ och 0 u ^Π₂. Bestäm exakta värdet av sin 2u . 37. Bestäm största värdet av sin x sinx ^Π₃.

38.Solvera triangeln, det vill säga bestäm samtliga sidor och vinklar och a a 3, b 5, c 6,

b a 3,Α 40 , Β 130 , c a 3, b 5,Γ 32 , d a 3,Β 25 ,Γ 70 ,

e a 3, b 5,Α 20 _Α

a Β

b Γ c

39.Sök längderna av x och y

3 1

5 x

y

40.Sök längden av sträckan x längs diagonalens mittpunktsnormal

4

3 x

41.Bestäm ekvationen för den räta linje som går igenom punkterna 2, 1 och 1, 2 .

3 2 1 1 2 x

3 2 1 1 2 y

42.En cirkelsektor med medelpunktsvinkelnΘoch radien r är given. Sök som funktion avΘoch r båglängden b, längden av kordan l, arean av den inskrivna triangeln At, arean

av cirkelsegmentet Assamt slutligen cirkelsektorns area. ^q

r

b

l At

As

43.Mängden, i gram, av ett radioaktivt ämne beskrivs av m t 100 ^{t 2}, där t 0 är tiden i sekunder. Hur mycket är kvar efter 6 s? Bestäm halveringstiden, det vill säga den tid det tar att reducera massan till hälften. Rita

44.Gamle Eker cyklar från Navstad till Däckrunda längs Ålderstigen. Hans medelfart är 18 km h. Med vilken fart måste han cykla tillbaka för att medelfarten under hela resan ska bli 20 km h?

45.En rektangel med basen x är inskriven i en cirkel med radien 2. Sök rektangelns area och omkrets som funktion av x. Ange definitionsmängder

x

46.En öppen låda med kvadratisk botten har en total mantelarea av 5 m². Sök lådans volym som funktion av sidan x på den kvadratiska bottnen. Ange definitionsmängd

47.Från ett rektangulärt pappersark skär man bort en kvadrat med sidan x från varje hörn. Resten av pappersarket viks till en öppen låda. Sök lådans volym som funktion av x.

48.Från ett rektangulärt pappersark skär man bort kvadratiska bitar med sidan x enligt figur. Resten av pappersarket viks till en sluten låda med dubbla papper på kortsidorna. Sök lådans volym som funktion av x.

49.Av ett snöre med längden L formas en rektangel som sedan får svepa runt längs sin ena sida så att en cylinder bildas. Sök cylinderns volym som funktion av dess radie r.

50.I en halvcirkel med radien 2 är en parallelltrapets inskriven enligt figur. Sök parallelltrapetsens area som funktion avΘ. Ange definitionsmängd

51.En cirkelsektor med medelpunktsvinkelnΘ, radien r och båglängden b har omkretsen L. Sök arean AΘ, A r och A b . Ange definitionsmängd i de tre fallen

q r

b

52.I triangeln ABC är sidorna BA och BC lika långa. Punkten D ligger mitt på AC och punkten E mitt på BC. Avståndet mellan D och E är alltid konstant L. Ange triangelns area som funktion av halva höjden h i triangeln.

A

B

D C E L

53.I en rektangel är avståndet från mittpunkten på basen till ett motstående hörn konstant L. Sök rektangelns area

som funktion av basen x. ^L

54.Sök avståndet L från punkten 0, 1 till kurvan y x²som funktion av x.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 y

L

55.Två cirklar med radierna r och R är placerade på centrumavståndet a. De belyses med en lampa placerad på sammanbindningslinjen utanför de två cirklarna. Bestäm den sammanlagda längden av de två bågarna som är belysta om funktion av lampans positionen x i förhållande

till cirkeln med radien r.

¤

56.I en cirkel med radien r är tre radier och en korda dragna. Sök arean av den färglagda triangeln som funktion avΑ, 0 Α ^Π₂.

a 57.I en kvadrat med sidan a är ett kors inskrivet enligt

figur. Sök arean av detta som funktion av x. x

58.I en cirkel med radien r är en cirkelsektor inskriven enligt figur. Sök arean som funktion avΑ.

2a

Extrauppgifter i andra hand i mån av tid

59. Ange största definitionsmängd och tillhörande värdemängd för f x x och g y ¹₂ y y . 60. Låt f x 2x x² och Df 0, 3 . Sök värdemängden.

61. Lös olikheten x x 1 3.

62.Lös ekvationen ln x ln x² 8.

63. Lös ut k ur "avsvalningsekvationen" T T01 ^kt.

64. Lös ut y ur ekvationen ln ^{1 y}

1 y 3x.

65. Antag att cos u ³₈ och 0 u ^Π₂. Bestäm exakta värdet av cos 2u . 66. Bestäm största värdet av sin x cosx ^Π₃.

67. Sök inversen till f x x² x 1, Df 0, . 68. Bestäm tan^Π₈ exakt.

69. Lös ekvationen log_x^x₂³ log_2x^x₂³ 3 där log_ab betyder logaritmen av b med avseende på basen a.

Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls

70. Ange definitionsmängd och värdemängd till a f t ^t_t b g s s s 1 . Är funktionerna kontinuerliga?

71. Bestäm den n:te itererande funktionen fn till f om f₁ f och fn f_{n 1} f då a f x 3x b f x x c f x 2x 1.

72.Lös ekvationen log₂x log₃x log₄x .

73. Visa att f x 3cos 2x 4sin 2x kan skrivas på formen f x Asin 2x Δ där A kallas amplituden och Δ fasförskjutningen.

Bestäm dessa.

74. Utveckla sin 4Θ och cos 4Θ i termer av sinΘ och cosΘ.

75.Sök arean av figurens rektangel om varje färglagd triangel har arean A.