Tillämpad Matematik I Övning 3

Tillämpad Matematik I Övning 3

Allmänt

Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.

Uppgifter

Typuppgifter i första hand

1. Bestäm f ' x då f x är x², x³ x, x^{5 3}, sin x 2Π, ⁹

x³, ^x2

x x , ln x , ^x, cos x , x 8⁴ respektive sin x Π. Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på derivation.

f x x² x³ x x^{5 3} sin x 2Π ⁹ x³

x²

x x ln x ^x cos x x 8⁴ sin x Π f x 2 x 3 x² 1 ^{5 x23}

3 cos x ²⁷

x⁴ 1 2 x

1 x

x sin x 4 x 8³ cos x

2. Bestäm f ' x då f x är 4 x², sin 5x , ¹

4 2x³, ln 3x , ^7x, cos 6x respektive 2x 8⁴. Lösningsförslag: Å en gång till

f x 4 x² sin 5 x ¹

4 2 x³ ln 3 x ^{7 x} cos 6 x 2 x 8⁴

f x 2 4 x 5 cos 5 x ⁶

4 2 x⁴ 1

x 7 ^{7 x} 6 sin 6 x 8 2 x 8³

3. Bestäm f ' x då f x är x sin x , _{x 1}^x , _{cos x}^x , ^2x

4 2x³, ln4x² x, ^7xln 2x , cos²6x , ^2xsin 4x , sin x respektive x²2x 8⁴. Lösningsförslag: Å ännu en gång

f x f x

x sin x x cos x sin x

x cos x

x tan x 1 cos x x

x 1

1 x 1² 2 x

4 2 x³

x 1 2 x 2⁴

ln4 x² x _{4 x}^{8 x 1}2 x

f x f x

7 xln 2 x ^{7 x7 x ln 2 x 1}

x

cos²6 x 6 sin 12 x

2 xsin 4 x ^{2 x} 4 cos 4 x 2 sin 4 x

sin x ^{cos x }

2 x

x² 2 x 8⁴ 32 x x 4³ 3 x 4

4. Bestäm största och minsta värde till f x x² 2x i intervallet 2, 1 . Lösningsförslag: Vi börjar väl med att rita...

f x : x² 2 x

Plot f x , x, 2, 1 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "f x "

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0x 1

1 2 3 f x

Globalt minimum antas i den enda extrempunkten

f ' x 2 x 2

minpkt Solve f ' x 0 First

x 1

f x . minpkt 1

Globalt maximum antas i högra ändpunkten av intervallet.

f 1 3

5.Sök ekvationer för tangenten och normalen till kurvan y x i den punkt på kurvan som har x–koordinaten lika med¹₄.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 0.3

0.4 0.5 0.6 0.7 y,yT,yN

Lösningsförslag: Funktionen och dess derivata

f x : x

f ' x 1 2 x

samt önskad punkt där skådespelet ska äga rum.

x0

1 4

;

Enpunktsformeln y y0 kT x x0 med kT f ' x0 ger nu först tangenten ekv y f x₀ f ' x₀ x x₀

y 1

2 x 1

4

Lös ut tangentens ekvation på explicit form y kx m.

yT y . Solve ekv, y First Apart

x 1 4

Sedan med kTkN 1 normalen

ekv y f x₀ 1

f ' x0

x x₀

y 1 2

1

4 x

yN y . Solve ekv, y First Apart 3

4 x

En bild piggar alltid upp. Den första raden är viktigast. AspectRatio satt till Automatic gör att x och y ritas med "samma skala". Prova gärna utan, då blir tangent och normal inte utritade vinkelräta mot varann!

Plot f x , yT, yN , x, 0, 0.5 , AspectRatio Automatic, PlotRange 0.2, 0.7 , AxesLabel "x", "y,yT,yN" ,

PlotStyle Red, Blue, Orange, Dashed

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x 0.3

0.4 0.5 0.6 0.7 y,yT,yN

6. Vilket värde har ^y_x då x _{tan t}¹ , y sin 4t och t ^Π₃? Ledning: Kedjeregeln!

Lösningsförslag: Vi har med kedjeregeln ^y_x

y t x t

, så nu är det bara att derivera och sätta in önskat värde på t.

y '

D Sin 4 t , t D ¹

Tan t , t

4 sin²t cos 4 t

y ' . t Π 3 3

2

7. Bestäm f_x, f_y, f_xx^'', f_xy^'', f_yx^'' och f_yy^'' i punkten 3, 1 då f x, y 3x³y² x ^{x y} och i 2,Π då f x, y xsin x y²cos 2x y . Lösningsförslag: Derivera på partiellt Notera Mathematicas beteckningar för partiella derivator, i superindexet anges hur många gånger man deriverat med avseende på respektive variabel. Exempelvis är f_x x, y f ^1,0 x, y och f_yy^'' x, y f ^0,2 x, y .

f x, y 3 x³y^{2 x y}x f 3, 1 81 ³₃ f^1,0 x, y 9 x²y^{2 x y} x y 1 f^1,0 3, 1 81 ²₃ f^0,1 x, y x² 6 x y ^{x y} f^0,1 3, 1 9 18 ¹₃ f^2,0 x, y y ^{x y} x y 2 18 x y f^2,0 3, 1 54 ¹3

f^1,1 x, y x ^{x y} x y 2 18 x y f^1,1 3, 1 354 ¹₃ f^1,1 x, y x ^{x y} x y 2 18 x y f^1,1 3, 1 354 ¹₃ f^0,2 x, y 6 ^{x y} x³ f^0,2 3, 1 27 6 ¹3

f x, y cos 2 x y y² x sin x f 2,Π Π² 2 sin 2 f^1,0 x, y 2 sin 2 x y y³ x cos x sin x f^1,0 2,Π 2 cos 2 sin 2 f^0,1 x, y 2 y cos 2 x y x y sin 2 x y f^0,1 2,Π 2Π

f^2,0 x, y 4 cos 2 x y y⁴ 2 cos x x sin x f^2,0 2,Π 4Π⁴ 2 cos 2 2 sin 2 f^1,1 x, y 2 y² 2 x y cos 2 x y 3 sin 2 x y f^1,1 2,Π 8Π³

f^1,1 x, y 2 y² 2 x y cos 2 x y 3 sin 2 x y f^1,1 2,Π 8Π³ f^0,2 x, y 2 4 x²y²cos 2 x y 8 x y sin 2 x y f^0,2 2,Π 2 16Π²

8. Bestäm y ' i punkten 1, 2 då 4x y² 12x y 13 5x.

Lösningsförslag: Implicit derivering.

ekv Dt4 x y² 12 x y 13 5 x, x

8 x y y

x 12 x y

x 4 y² 12 y 5 dydx Solve ekv, Dt y, x

 y x

4 y² 12 y 5 4 x 2 y 3 ^

Lite teknisk Replace för att undvika att x och y byts ut i ^y_x. Enklare för hand dydx . Rule a , b Rule a, b . x 1, y 2

 y x

13 4^

Enklare insättning i Mathematica med “vanlig” derivering av funktioner.

ekv D4 x y x ² 12 x y x 13 5 x, x

8 x y x y x 12 x y x 4 y x² 12 y x 5

Solve ekv, y ' x . x 1, y x 2

y 1 13 4 ^

9. Sök ^y_x i punkten x 2, y 1 på kurvan x²y 2sinΠy² 2x.

Lösningsförslag: Implicit derivering.

dekv Dtx²y 2 SinΠ y² 2 x, x

x² y

x 4Πy cosΠy² y

x 2 x y 2

Lös ut ^y_x.

dydx Solve dekv, Dt y, x

 y x

2 x y 1 x² 4Πy cosΠy²

Lite teknisk Replace för att undvika att x och y byts ut i ^y_x. Enklare för hand dydx . Rule a , b Rule a, b . x 2, y 1

 y x

2 4 4Π

Enklare insättning i Mathematica med “vanlig” derivering av funktioner.

ekv Dx²y x 2 SinΠ y x ² 2 x, x

x²y x 4Πy x y x cosΠy x² 2 x y x 2

Solve ekv, y ' x . x 2, y x 1

y 2 2

4 4Π

10.En räv promenerar längs stigen x y³ 1. Sök y då x 0, y 1 och x 4.

1.0 0.5 0.5 1.0 x

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 y

Lösningsförslag: Implicit derivering.

dekv Dtx y³ 1, t

x

t 3 y² y t 0

dydx Solve dekv, Dt y, t

 y t

x t

3 y^2

Lite teknisk Replace för att undvika att x och y byts ut i ^y_t och ^x_t. Enklare för hand dydx . Rule a , b Rule a, b . Dt x, t 4 . x 0, y 1

 y t

4 3^

Enklare insättning i Mathematica med “vanlig” derivering av funktioner. Notera att x t och y t ekv Dx t y t ³ 1, t

x t 3 y t²y t 0

Solve ekv, y ' t . x t 0, y t 1, x ' t 4

y t 4 3^

11.Låt V och A vara volymen respektive arean för ett klot. Sök ^V_A som funktion av A.Ledning :Vklot 4Πr³

3 , Aklot 4Πr².

Lösningsförslag: Lös ut V som funktion av A ur formlerna för klotets volym och area, det vill säga eliminera r.

VÅr SolveV 4 Π r³ 3

, A 4 Π r², V, r 

V A^{3 2} 6 Π

, r A

2 Π

,V A^{3 2} 6 Π

, r A

2 Π



Här duger bara andra lösningen, eftersom vi inte befattar oss med varken negativ volym eller radie. Bestäm önskad derivata.

dVdA DV . VÅr 2 , A

A 4 Π

PlotV . VÅr 2 , dVdA, A, 0, 5 , PlotStyle Red, Blue , AxesLabel "A", "V A ,V' A " 

1 2 3 4 5 A

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 V A,V ' A

12.En vattentank läcker så att volymen i m³är V t 250 4t², där tiden t mäts i sekunder. Sök volymflödet ur tanken då t 2 s samt precis då den blir tom.

Lösningsförslag: En liten reseberättelse över läckaget...

Plot250 4 t², t, 0, 8 , PlotStyle Cyan, AxesLabel "t", "V t " 

2 4 6 8 t

50 100 150 200 250 V t

Volymflödet i m³s vid tiden t q D250 4 t², t

8 t

q . t 2 16

Slutligen är tanken tom då

tom Solve250 4 t² 0, t

t 5 5

2 ^,t 5 5 2 ^

med volymfödet q . tom 2

20 10

13.Om t mäts i sekunder ges läget för en bil av uttrycket s t ¹₄tt² 2tm. Sök läge, hastighet och acceleration då t 4 s.

Lösningsförslag: Hastighet och acceleration ges av första respektive andraderivatan av läget med avseende på tiden, så de tre efterfrågade storheterna

sva TableD

1

4 t t² 2 t, t, i , i, 0, 2 

1

4tt² 2 t,1

4^t² 2 t 1

4t 2 t 2 , t 2

1 2 2 t 2 Plot Evaluate sva , t, 0, 5 ,

PlotStyle Orange, Blue, Red , AxesLabel "t", "s t ,v t ,a t "

1 2 3 4 5 t

10 20 30 40 s t,v t,a t

Avslutningsvis de tre efterfrågade storheterna vid 4 s.

sva . t 4 24, 16, 7

14.Enligt Newton är kraften F mx. Bestäm erforderlig kraft då massan 5 kg svänger enligt x t ₁₀₀¹ sin4t ^Π₄m.

Lösningsförslag: Vi börjar med att definiera x t som en funktion eftersom den ska användas några gånger

x t : 1

100 Sin4 t Π 4 Visst svänger dé

Plot x t , t, 0, 4 , PlotStyle Red, AxesLabel "t", "x t "

1 2 3 4 t

0.010 0.005 0.005 0.010 x t

Derivera två gånger för accelerationen och bestäm erforderlig kraft i N.

F 5 x '' t 4

5sin4 t ^Π 4^

Plot F, t, 0, 4 , PlotStyle Blue, AxesLabel "t", "F t "

1 2 3 4 t

0.5 0.5 F t

15.Vid medicinering mot transpirationsproblem är det viktigt att uppskatta arean av patientens hud. Mosteller har föreslagit modellen S c mh , där S är hudarean i m², c ¹₆, m patientens vikt i kg och h längden i m.

a Ange enheten på konstanten c.

b En patient med längden 180 cm håller diet. Vikten rasar med 1 kg vecka.

Med vilken hastighet minskar arean på huden då patienten väger 110 kg ? Lösningsförslag: Vi börjar väl med uppgift a)

m² c kg m m² c kg^{1 2}m^{1 2} c ^{m3 2}

kg^{1 2}. Solvem² c kg m , c PowerExpand

c m^{3 2} kg



Sedan uppgift b) Vi söker hastighet så derivera med avseende på t. Använd kedjeregeln och produktregeln onödigt duktigt efter- som h är konstant här, men bra med höghöjdsträning

S t

1

6 t mh u mh ¹_{6 u} u ^u_t ^{1 6}

2 u  ^m_th m ^h_t ¹

12 mh  ^m_th m ^h_t

dSdt DtS 1

6 m h , t

S t

m ^h

t h ^m

t

12 h m

Nu är det bara att meka in de angivna numeriska värdena.

dSdt . Dt m, t 1, Dt h, t 0 . m 110, h 1.8 S

t 0.01066

Enklare derivering blir det om vi som ovan noterar att h är konstant.

S t

1

6 t mh ₆^h _tm^{1 2} ₆^{h 1}₂m ^{1 2 m}_{t 12}¹ _m^{h m}_t ^S_{t 12}¹ ₁₁₀^1.8 1 0.01066

16.En investering I0i $ tillväxer med räntan r enligt I t I0

rt 100. Bland finansfolk brukar man höra ''69 regeln '' som innebär att tiden T till dess att en investering fördubblat sitt värde är ungefär T ⁶⁹_r. Ge ett stöd för detta

Lösningsförslag: Vi söker tydligen tiden T tills dess att I T 2I0. Så 2I₀ I₀ ^100rT ln 2 ₁₀₀^rT T ^{100ln 2}_r 100 0.693147

r

69 r

Solve2.0 I0 I0

r T 100, T

T 69.3147 r ^

17.För en viss typ av gas gäller sambandet pV² 18 mellan tryck och volym. Bestäm p då p 2, V 3 och V 6.

Lösningsförslag: Först en liten bild över situationen, sedan implicit derivering.

Plot18 V²

, V, 2, 4 , PlotStyle Orange, AxesLabel "V", "p" 

2.5 3.0 3.5 4.0V 1.5

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 p

dVdt Dtp V² 18, t

V² p

t 2 p V V

t 0

p Solve dVdt, Dt p, t

 p t

2 p ^V

t

V ^

Lite teknisk Replace för att undvika att p och V byts ut i ^p_toch ^V_t. Enklare för hand p . Rule a , b Rule a, b . Dt V, t 6 . p 2, V 3

 p t 8

Som vanligt enklare insättning i Mathematica med “vanlig” derivering av funktioner. Notera att p t och p t dVdt Dp t V t ² 18, t

V t²p t 2 p t V t V t 0

Solve dVdt, p ' t . p t 2, V t 3, V ' t 6

p t 8

18.Under en arbetsdag med grävskopan ökar volymen av en konformad grushög med ^V_t 9Π. Vid en tidpunkt var radien r 2, höjden h 2 och ^r_t 3. Sök ^h_t vid denna tidpunkt.Ledning :V_kon ¹₃Πr²h.

Lösningsförslag: Implicit derivering.

imp DtV 1 3

Π r²h, t

V t

1 3^Π

h tr² 2

3hΠ r tr

Lös nu ut ^h_t.

dhdt Solve imp, Dt h, t Simplify

 h t

3 ^V

t 2 hΠr ^r

t Πr^{2 }

Slutligen är det dax för numeriska data. Lite teknisk Replace för att undvika att r och h byts ut i ^r_t och ^h_t. Enklare för hand att sätta in värden direkt efter implicit derivering ovan

dhdt . Rule a , b Rule a, b . Dt V, t 9 Π, Dt r, t 3 . r 2, h 2

 h t

3 4^

Som vanligt enklare insättning i Mathematica med “vanlig” derivering av funktioner. Notera att allt varierar med t!

dhdt DV t 1 3

Π r t ²h t , t

V t 1

3^Πr t²h t 2

3^Πh t r t r t

Solve dhdt, h ' t . r t 2, h t 2, r ' t 3, V ' t 9 Π

h t 3 4^

19.Ur en sfärisk ballong strömmar luft med konstant flöde 300 cm³min. Med vilken hastighet minskar radien då den är 5 cm ?Ledning :Vsfär 4

3Πr³.

Lösningsförslag: Implicit derivering.

dekv DtV 4

3Π r³, t

V

t 4Πr² r t

drdt Solve dekv, Dt r, t

 r t

V t

4Πr^2

Lite teknisk Replace för att undvika att r byts ut i ^r_t. Enklare för hand drdt . Rule a , b Rule a, b . Dt V, t 300 . r 5

 r t

3 Π

Som vanligt enklare insättning i Mathematica med “vanlig” derivering av funktioner. Notera att allt varierar med t!

drdt DV t 4 3

Π r t ³, t

V t 4Πr t²r t

Solve drdt, r ' t . r t 5, V ' t 300

r t 3 Π

20.I en rak cirkulär kon enligt figur rinner vatten med flödet 5 cm³min ut genom en öppning i spetsen. Sök ^r_t och ^y_t då djupet y 9 cm .Ledning :V_kon ¹₃Πr²h.

Lösningsförslag: Vi börjar med ^r_t. Eliminera vattendjupet y mellan formel för volym och samband i likformiga trianglar.

ekv EliminateV 1 3

Π r²y, r y

4 16

, y

3 V 4Πr³

Derivera implicit med avseende på tiden, vad annars dekv Dt ekv, t

3 V

t 12Πr² r t Lös ut r

drdt Solve dekv, Dt r, t

 r t

V t

4Πr^2

Meka in likformigheten igen tillsammans med numeriska data. Tänk på att volymändringen är negativ eftersom det strömmar ut. En något teknisk Replace för att undvika att r byts ut i ^r_t. Enklare för hand

drdt . Rule a , b Rulea, b . Dt V, t 5 . r 4 16

9

 r t

20 81Π

Som vanligt enklare insättning i Mathematica med “vanlig” derivering av funktioner. Nu tar vi ett generellare grepp med lik- formigheten ordentligt med redan från början, så får vi enkelt både ^r_t och ^y_t och all annan information vid det välsignade tillståndet y 9 Notera att allt varierar med t Häng mé “the Mathematica way”!

ekv V t 1 3

Π r t ²y t , r t y t

4 16



V t 1

3^Πr t²y t , r t y t

1 4^

allt Solve Join ekv, D ekv, t , r t , r ' t , y ' t , V t

r t y t

4 , r t 4 V t

Πy t², y t 16 V t

Πy t² , V t 1

48^Πy t³

allt . V ' t 5, y t 9

r t 9

4, r t 20

81Π, y t 80

81Π, V t 243Π 16 ^

21.En rektangel med basen x är inskriven i en cirkel med radien 2. Sök x då rektangelns area är maximal.

x

Lösningsförslag: Rita figur! Vi ser då att rektangelns bas x och höjd y kopplas av Pytagoras sats via cirkelns diameter. Nu är det bara att låta Solve göra jobbet. Nästan allt i tillämpad matematik går ut på att formulera samband, och sedan låta datorn arbeta med dessa. Gör inget handarbete, det tar tid och blir oftast fel, vilket inget företag betalar dig för!

AÅyr SolveA x y, x² y² 2 r ², r 2, A, y, r 

A x 16 x², y 16 x², r 2,A x 16 x², y 16 x², r 2

Eftersom vi inte befattar oss med varken negativa areor eller omkretser duger bara den sista lösningen. Anledningen att vi får två lösningar är att y löses ur en andragradsekvation. Vi ser att x kan variera mellan 0 och 2r, så DA 0, 4 .

PlotA . LastAÅyr, x, 0, 4 , AxesLabel "x", "A" , PlotStyle Blue

1 2 3 4 x

2 4 6 8 A

Vi har ett uppenbart maximum dekv DA . AÅyr 2 , x

16 x² x²

16 x² x Solve dekv 0

x 2 2,x 2 2

Negativa längder befattar vi oss inte med, så rektangelns area och höjd utom tävlan. Som vi misstänkte är kvadraten maximal.

Notera byte i regler för självdokumenterande svar.

AÅyr 2 . x 2

A 8, y 2 2 , r 2

Till slut den riktigt snabba ingenjörslösningen.

MaximizeA . AÅyr 2 , x

8,x 2 2

22.En öppen låda med kvadratisk botten har en total mantelarea av 5 m². Sök sidan x på den kvadratiska bottnen så att lådans volym blir maximal.

Lösningsförslag: Om lådans höjd är h så har vi volymen V samt arean A som är given. Så dessa som funktion av x.

VAh SolveV x²h, A x² 4 x h, A 5, V, A, h 

V 1

4^5 x x³, A 5, h x² 5 4 x ^

Eftersom A 5 måste x, V 0 så 5x x³ x 5 x² x 5 x 5 x 0 0 x 5 D_V 0, 5 . Vi kollar!

Plot V . VAh, x, 0, 5 , PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "V"

0.5 1.0 1.5 2.0 x 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 V

Vi har ett uppenbart maximum dekv D V . VAh, x

1

4^5 3 x²

x Solve dekv 0

x 5

3 ^,x 5 3 ^

Negativa längder befattar vi oss inte med, så även volym och höjd utom tävlan.

VAh . x 2

V

5 ⁵

3

6 , A 5, h

5 3

2 ^

Till slut den riktigt snabba ingenjörslösningen.

Maximize V . VAh 1 , 0 x 2 , x



5 ⁵

3

6 ,x 5

3 ^

23.Av ett snöre med längden L formas en rektangel som sedan får svepa runt längs sin ena sida så att en cylinder bildas. Hur stor volym kan en sådan cylinder ha ?

Lösningsförslag: Om cylindern har radien r och höjden h blir dess volym V Πr²h. Nu kan inte r och h varieras fritt eftersom de är kopplade till varann via L. Vi finner följande samband

ekv V Π r²h, L 2 r h 

V Πh r², L 2 h r

Lös ut V r och h r . Vi vill veta "allt" om cylindern!

VÅh Solve ekv, V, h

V 1

2^ΠL r² 2Πr³, h L 2 r

En liten bild över situationen. Lägg märke till dimensionen [1] på axlarna. Vanligt trick när man bara har symboliska uttryck.

PlotV  L³ . VÅh . r x L, x, 0, 0.5 , PlotStyle Purple, AxesLabel "r L", "V L³"

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 r L 0.01

0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

V L³

Nu är det bara att söka derivatans nollställe för att finna extremvärde.

dVdr DV . VÅh, r

1

2^2ΠL r 6Πr²

r Solve dVdr 0, r

r 0 ,r L 3^

Här är r 0 ointressant, varav slutligen tillståndet vid maximal volym.

VÅh . r 2

V ^ΠL³ 54 , h L

6^

24.I en halvcirkel med radien 2 är en parallelltrapets inskriven enligt figur. SökΘså att parallelltrapetsens area blir så stor som möjligt

Lösningsförslag: Eftersom man ska hålla sin verktygslåda så liten och effektiv som möjligt väljer vi att meka ihop figuren av tre (eller fyra) naturliga trianglar. Samtliga med höjden h 2sinΘ, två med basen b1 2 och en med toppen nedåt och basen b2 2 2cosΘ. Naturligtvis går det lika bra att betrakta parallelltrapetsen direkt och komma ihåg att formeln för arean är "halva produkten av höjden och summan av de båda parallella sidorna", det vill säga A ¹₂h 2b1 b2. Så

pll SolveA 2 1 2

b₁h 1 2

b₂h, h 2 Sin Θ , b₁ 2, b₂ 2 2 Cos Θ , A, h, b₁, b₂  A 4 sinΘ sinΘ cosΘ , h 2 sinΘ, b1 2, b2 4 cosΘ

Då vinkeln Θ varierar från 0, då parallelltrapetsen är ett streck, växer den sedan till en äkta parallelltrapets, för att slutligen urarta till en triangel då Θ ^Π₂, så DA 0, ^Π₂.

PlotA . pll, Θ, 0, Π 2

, AxesLabel "Θ", "A" , PlotStyle Green

0.5 1.0 1.5 Θ

1 2 3 4 5 A

Sök nu det Θ som maximerar A, det vill säga lös ekvationen

Θ 2sinΘ sin 2Θ 2cosΘ 2cos 2Θ 2cosΘ 2cos²Θ 1 cos²Θ  0

cos²Θ ¹₂cosΘ ¹₂ 0 cosΘ ₂¹ och ointressanta cosΘ 1 så optimalt Θ arccos¹₂ ^Π₃. varav arean A 22sin^Π₃ sin2^Π₃ 22 ₂³ ₂³  3 3 . Samma sak i Mathematica.

dekv D A . pll, Θ First 4 sin²Θ cos²Θ cosΘ 

Θ Solvedekv 0, 0 Θ Π 2

, Θ

Θ Π 3^

pll . Θ

 A 3 3 , h 3 , b1 2, b2 2 

Till slut den riktigt snabba ingenjörslösningen.

Maximize A . pll, Θ

3 3 ,Θ Π 3^

25.En cirkelsektor med medelpunktsvinkelnΘ, radien r och båglängden b har omkretsen 1. SökΘså att arean blir maximal.

q r

b

Lösningsförslag: Om A är arean, r radien och b båglängden har vi sambanden A ₂^Θ_ΠΠr² Area b rΘ Båglängd 2r b 1 Omkrets Eliminera bort r och b så har vi A AΘ med naturliga DAΘ 0, 2Π

Abr SolveA Θ 2 Π

Π r², b r Θ, 2 r b 1, A, r, b 

A ^Θ

2 Θ 2², r 1

Θ 2, b ^Θ Θ 2^

Plot A . Abr, Θ, 0, 2 Π , PlotStyle Orange, AxesLabel "Θ", "A"

1 2 3 4 5 6 Θ

0.03 0.04 0.05 0.06 A

Sök nu det Θ som maximerar A, det vill säga lös ekvationen

Θ ^Θ

Θ 2² ^{1 Θ 22 Θ2Θ 2}

Θ 2⁴

Θ 2 Θ 2 Θ 2⁴

Θ 2 Θ 2³ 0, varav roten Θ 2 rad. Denna konfiguration återges i figuren ovan.

Solve D A . Abr, Θ 0

Abr . First

Θ 2

A 1 16, r 1

4, b 1 2^

Till slut den riktigt snabba ingenjörslösningen.

Maximize A . Abr, Θ

 1

16, Θ 2