Tillämpad Matematik I

(1)

1 0

1 1

0 1

1 2

3

Tillämpad Matematik I

Övning 1

Allmänt

Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.

Uppgifter

Typuppgifter i första hand

1. Låt F 4, 3, 9, 1 , G 5, 1, 2, 10, 4 och H 5, 10 . Bestäm 9 F, 9 G, F G, F G, F H, F\G, G\H och

F G\H .

Lösningsförslag: Övning på mängdalgebra. Börja med att definiera mängderna för Mathematica.

F 4, 3, 9, 1 ; G 5, 1, 2, 10, 4 ; H 5, 10 ;

Visst, 9 är en medlem i mängden F.

MemberQ F, 9

True

Visst, 9 är inte en medlem i mängden G.

MemberQ G, 9

True

Unionen av två mängder är en ny mängd där alla unika medlemmar i de två mängderna ingår. Mathematica tar för vana att leverera unionen sorterad. Matematiskt sett är detta inget krav.

F G

1, 2, 3, 4, 5, 9, 10

Snittet av två mängder är en ny mängd innehållande de unika medlemmar som ingår i båda mängderna. Mathematica tar för vana att leverera snittet sorterad. Matematiskt sett är detta inget krav.

F G

1, 4

När en mängd inte innehåller några objekt kallas den för tomma mängden och man reserverar namnet . Visst, F och H har inga gemensamma objekt så snittet är tomma mängden.

F H

De objekt som finns i F men inte i G.

Complement F, G

(2)

3, 9

De objekt som finns i G men inte i H.

Complement G, H

1, 2, 4

De objekt som finns både i F och i den mängd som finns på raden ovanför.

F Complement G, H

1, 4

2. Beräkna a _{n 1}⁵ n³ b _{k 0}⁴ k² 3k c _{i 1}¹⁰⁰3 Lösningsförslag: Räkna på!

a) _{n 1}⁵ n³ 1³ 2³ 3³ 4³ 5³ 225,

b) _{k 0}⁴ k² 3k 0² 3 0 1² 3 1 4² 3 4 0, c) _{i 1}¹⁰⁰3 3 3 3

100 st

100 3 300



n 1 5

n³, 

k 0 4

k² 3 k, 

i 1 100

3

225, 0, 300

3. Skriv med summatecken a 1 ¹₂ ¹₃ ₁₀¹ b 2 3 3 4 4 5 10 11 Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på summatecken.



i 1 10 1

i, 

k 2 10

k k 1 

7381 2520, 438

4. Beräkna 2 1 ¹₂ ¹₄ ₁₂₈¹

Lösningsförslag: En inledande tvåa samt en geometrisk summa 2 1 ¹₂ ¹₂² ¹₂⁷ 2 ¹

1 2⁸

1 ¹₂.

2 1 ¹

2⁸

1 ¹

2

, 2 

k 0

7 1

2^k , 

k 1

7 1

2^k



511 128,511

128,511 128^

5. Visa med ett induktionsbevis att _{i 1}ⁿ i 1 2 3 n ¹₂n n 1 för alla n 1, 2, 3,

Lösningsförslag: Vi ska tydligen visa den aritmetiska prototypsumman ännu en gång. Ett induktionsbevis består av tre delar.

Visa först att påståendet är sant för det första n:et i följden.

n 1 VL _{i 1}¹ i 1, HL ¹₂1 1 1 1 Ok

Visa sedan att om det är sant för n p så är det sant även för n p 1. Vi får

i 1

p 1i _{i 1}^p i p 1 Dela upp summationen

1

2p p 1 p 1 Om formeln gäller för n p. Faktorisera p 1 ^p₂ 1 Snegla på önskat resultat och skriv om

1

2 p 1 p 1 1 Så formeln stämmer för n p 1 Så påståendet är sant för alla n. Färdig

6. Visa med ett induktionsbevis att 9ⁿ 1 är jämnt delbart med 8 för alla n . Lösningsförslag: Ett induktionsbevis består av tre delar. Visa sant för alla n 0, 1, 2,

(3)

n 0 9⁰ 1 1 1 0 Vilket uppenbarligen är delbart med 8 Visa sedan att om det är sant för n p så är det sant även för n p 1. Vi får

9^{p 1} 1 Potenslagar

9^p 9 1 Om 9^p 1 delbart med 8 så k så 9^p 1 8k

8k 1 9 1 Hyfsa

8k 9 8 8 9k 1 Vilket uppenbarligen är delbart med 8 Så påståendet är sant för alla n. Färdig

7. Förenkla a ³ b ⁶ c ²⁵ d ⁵

Lösningsförslag: Endast ² 1, aldrig 1 !! Så med potenslagarna

a) ³ ² , b) ⁶ ²³ 1³ 1,

c) ²⁵ ²⁴ ²¹² 1¹² , d) ⁵ ¹₅ ₆

²³ 1³

Naturligtvis klarar Mathematica av det direkt

 ³, ⁶, ²⁵, ⁵

, 1, ,

8. Givet de komplexa talen z 3 4 och w 1 2 . Bestäm Im z , Re z , z w, z w, z w, ^w_z, z, w och arg w . Skriv z på exponentiell form. Rita z w, z w.

Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på komplexa tal.

z 3 4 ; w 1 2 ;

Im z , Re z , z w, z w, z w, w

z, z , Abs w , Arg w 

 4, 3, 2 2 , 4 6 , 5 10 , 11 25

2

25, 3 4 , 5 ,Π tan¹2

Finns ingen funktion i Mathematica som direkt översätter Rektangulär form till Exponentiell form. Så man får göra på samma sätt som när man räknar för hand

Abs z ^{Arg z}

5 ^tan¹^⁴³^

9. Skriv det komplexa talet ^Π på rektangulär form.

Lösningsförslag: Använd Eulers definition cos sin så ^Π cos Π sin Π 1 0 .

Π

10. Skriv det komplexa talet _+2z^z⁴ på rektangulär och exponentiell form, då z 1 .

Lösningsförslag: Använd exponentiell form z⁴  2 ^Π⁴⁴ 4 ^Π 4 1 0 4. Så ^z⁴_2z _{2 1}⁴ ₂⁴ Förläng med nämnarens

komplexkonjugat.

4 2

2 2

8 4

2² ² ² 1 ^{8 4}

5 .

w z⁴ 2 z

. z 1

8 5

4 5

we Abs w ^{Arg w}

4 ^tan¹^¹²^{ Π}

5

(4)

ComplexExpand w_e

8 5

4 5

11. Lös ekvationen z 2z 2 , där z betyder komplexkonjugat.

Lösningsförslag: Ansätt z a b i ekvationen. Identifiera sedan real- och imaginärdelar. Likhet för komplexa tal ger sedan ett ekvationssystem som bestämmer a och b.

a b 2 a b 2 ² 1 Re : 3a 2

Im : b 1

a ²₃ b 1 det vill säga ekvationen har lösningen z ²₃ . Solve klarar många ekvationer.

Solve z 2 z 2

z 2 3 ^

Extrauppgifter i andra hand i mån av tid

12. Vad blir x x² x³ x⁴ om x x² x³ x⁴ 5?

Lösningsförslag: Först bestämmer vi x ur villkoret x x² x³ x⁴ 5. Här gömmer sig en geometrisk summa.

x x² x³ x⁴ x1 x x² x³ x⁴  xlim

n 1 xⁿ

1 x 5

För att gränsvärdet ska existera krävs att x 1, så xⁿ 0. Alltså _{1 x}^x 5 x ⁵₆. Så svaret på den brännande frågan om den snarlika geometriska summan

x x² x³ x⁴ x1 x x² x³ x⁴  xlim

n 1 xⁿ

1 x

5 6

1 1  ⁵₆

5 11

Vi gör en sista ängslig kontroll med hjälp av Mathematica



i 1

1 ^{i 1} 5 6

i

5 11

13. Förenkla a ⁴ b ⁶ c ¹⁰ d ¹

Lösningsförslag: Endast ² 1, aldrig 1 !! Så med potenslagarna a) ⁴ ²² 1² 1, b) ⁶ ¹₆ ¹

²³ 1 1³

1

1 1,

c) ¹⁰ ²⁵ 1⁵ 1, d) ¹ ¹ ₂ ₁ Naturligtvis klarar Mathematica av det direkt

 ⁴, ⁶, ¹⁰, ¹

1, 1, 1,

14. Givet de komplexa talen z 1 2 och w 3 . Bestäm Im z , Re z , z w, z w, z w, ^w_z, z, w och arg w . Skriv z på exponentiell form.

Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på komplexa tal.

z 1 2 ; w 3 ;

Im z , Re z , z w, z w, z w, w z

, z , Abs w , Arg w 

 2, 1, 1 , 1 5 , 6 3 , 6 5

3

5, 1 2 , 3,^Π 2^

(5)

Finns ingen funktion i Mathematica som direkt översätter Rektangulär form till Exponentiell form. Så man får göra på samma sätt som när man räknar för hand

Abs z ^{Arg z}

5 ^tan¹² ^Π

15. Skriv det komplexa talet ^Π² på rektangulär form.

Lösningsförslag: Använd Eulers def cos sin så ^Π² cos ₂^Π sin ^Π₂ 0 1 .

Π 2

16. Skriv det komplexa talet _+2z^z⁶^_ på rektangulär och exponentiell form, då z 1 .

Lösningsförslag: Använd exponentiell form z⁶  2 ^Π⁴⁶ 8 ^Π² 8 0 8 . Så ^z_2z⁶ _{2 1}⁸ ₂⁸ Förläng med nämnarens

komplexkonjugat.

8 2

2 2

16 8²

2² ² ² 1 ^{8 16}₅ .

w z⁶

2 z

. z 1

8 5

16 5

w_e Abs w ^{Arg w}

8 ^tan¹² 5

ComplexExpand we

8 5

16 5

17. Lös ekvationen 2z z , där z betyder komplexkonjugat.

Lösningsförslag: Ansätt z a b i ekvationen. Identifiera sedan real- och imaginärdelar. Likhet för komplexa tal ger sedan ett ekvationssystem som bestämmer a och b.

2 a b a b ² 1 Re : a 0

Im : 3b 1

a 0 b ¹₃

det vill säga ekvationen har lösningen z ₃. Solve klarar många ekvationer.

Solve 2 z z

z 3^

18. Visa med ett induktionsbevis att 3^{2n 1} 2^{n 2} är jämnt delbart med 7 för alla n . Lösningsförslag: Ett induktionsbevis består av tre delar. Visa sant för alla n 0, 1, 2,

n 0 3^{0 1} 2^{0 2} 3 4 7 Vilket uppenbarligen är delbart med 7 Visa sedan att om det är sant för n p så är det sant även för n p 1. Vi får

3^{2 p 1} ¹ 2^{p 1} ² Meka om exponenterna

3^{2 p 1 2} 2^{p 2 1} Potenslagar

3^{2 p 1} 3² 2^{p 2} 2¹ Om 3^{2 p 1} 2^{p 2}delbart med 7 så k så 3^{2 p 1} 2^{p 2} 7k

7k 2^{p 2} 3² 2^{p 2} 2 Hyfsa

7k 9 7 2^{p 2} 79k 2^{p 2} Vilket uppenbarligen är delbart med 7 Så påståendet är sant för alla n. Färdig

(6)

Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls

19. För det komplexa talet z gäller att Re z 5. Vilka värden kan Re¹_z anta?

Lösningsförslag: Vi mekar ihop ett z 5 b enligt receptet, så f b Re¹_z Re₅¹_b Re ₅ ⁵_{b 5}^b _b Re ⁵ ^b

5² b² ⁵

5² b²

varav Df , och svaret på frågan Vf 0, ¹₅.

Plot

5 5² b²

, b, 50, 50 , PlotRange All, AxesLabel "b" 

40 20 20 40 b

0.05 0.10 0.15 0.20

20. Antag att z a b. Åskådliggör geometriskt a z b z c z d ¹_z Lösningsförslag: Rita och diskutera med dina kamrater!

21. Åskådliggör geometriskt de punkter som uppfyller a z 2 b z 2 c z 1 2 d z 1 z 1 Lösningsförslag: Rita och diskutera med dina kamrater!

22. Visa att avståndet mellan punkterna z1 och z2 i det komplexa talplanet är z1 z2 . Lösningsförslag: Rita, räkna och diskutera med dina kamrater!

23. Visa att följande samband är sant för alla z.

a z z 2Re z b z z 2 Im z c Re z z Lösningsförslag: Räkna och diskutera med dina kamrater!

24. Låt z a b ligga i rektangeln 0 a1 a a2, 0 b1 b b2 i det komplexa talplanet. Vilken form får rektangeln efter transformationen ^z?

Lösningsförslag: Rita, räkna och diskutera med dina kamrater!

25. Visa att för alla heltal n 1, 2, gäller a) _{k 1}ⁿ k² ¹₆n n 1 2n 1 , b) _{k 1}ⁿ ¹

k 2 n 1, c) 4ⁿ 4n² Lösningsförslag: Gör induktionsbevis och diskutera med dina kamrater!