Tillämpad Matematik I Övning 2

Tillämpad Matematik I Övning 2

Allmänt

Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.

Uppgifter

Typuppgifter i första hand

1. Ange Df och Vf för a f x x 6 b f x _{x 5}¹ c f x 4 x²

Lösningsförslag: a) Kvadratroten kräver x 6 0, så Df 6, och Vf 0, .

Plot x 6 , x, 0, 100 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "f x " 

20 40 60 80 100x 2

4 6 8 10 f x

b) Eftersom vi inte får dividera med noll, är Df \5 och Vf \0. Vi säger att f har en vertikal asymptot i x 5 och en horisontell y 0.

Plot

1

x 5, x, 0, 10 , PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "f x " 

2 4 6 8 10 x

2 1 1 2 f x

c) Kvadratroten kräver 4 x² 0 x² 4 x 2 2 x 2, så Df 2, 2 och Vf 0, 2 .

Plot 4 x² , x, 2, 2 , PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "f x " 

2 1 1 2 x

0.5 1.0 1.5 2.0 f x

2. Bestäm Vf till funktionen f x 1 3sin²2x , x .

Lösningsförslag: Eftersom vi har att x så kommer sin 2x att genomlöpa hela sin värdemängd Vsin 1, 1

V_sin2 0, 1 max f 1 3 0 1, min f 1 3 1 2 Vf 2, 1 .

PlotSin 2 x ², 1 3 Sin 2 x ², x, 2, 2 , PlotLegends "Expressions"

2 1 1 2

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0

sin²2 x

1 3 sin²2 x

3. I en speciell gas gäller sambandet pV 100 Boyle ' s lag mellan trycket p och volymen V i ett slutet kärl. Ange det intervall som trycket ligger i om V 5, 150 .

Lösningsförslag: Vi har att 5 V 150

pV 100 5 ¹⁰⁰_p 150 5 ¹⁰⁰_p ¹⁰⁰_p 150^{p 0} p ¹⁰⁰₅ ¹⁰⁰₁₅₀ p p 20 ²₃ p.

Detta kan sammanfattas som ²₃ p 20 eller att p ²₃, 20. Observera parenteserna! Vi piggar upp Boyle med en liten bild!

Plot100 V

, V, 0, 150 , PlotStyle Red, AxesLabel "V", "p" 

20 40 60 80 100 120 140 V 2

4 6 8 p

I Mathematica finns en direkt inbyggd funktion som löser ekvationer med olikheter.

Reduce p V 100, 5 V 150 , p, V , Reals 2

3 p 20 V 100 p

4. Bestäm största och minsta värde till f x x² 2x i intervallet 2, 1 . Lösningsförslag: Vi börjar väl med att rita

f x : x² 2 x

Plot f x , x, 2, 1 , PlotStyle Green, AxesLabel "x", "f x "

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 x 1

1 2 3 f x

Då vi ännu(?) inte lärt oss att derivera måste vi kvadratkomplettera och söka extremvärde x² 2x x² 2x 1² 1² x 1² 1.

Så funktionens minsta värde är 1 och antas i x 1, det vill säga inne i vårt intervall. Eftersom vi har ett slutet intervall kommer maxvärde att antas i en av ändpunkterna. Vi får f 2 2² 2 2 0 och f 1 1² 2 1 3. Så 1 f x 3, x 2, 1 . När vi lärt oss derivera kan vi som omväxling göra så här...

f ' x 2 x 2

minpkt Solve f ' x 0 First

x 1

f x . minpkt 1

Globalt maximum antas i högra ändpunkten av intervallet.

f 1 3

5. Sök inversen f ¹x till f x 3x 4. Rita f x och f ¹ x i samma diagram.

Lösningsförslag: Vi börjar väl med att rita f x : 3 x 4

Plot f x , x, 5, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "f x "

4 2 2 4 x

10 5 5 10 15 20 f x

Vi har en rät linje så visst existerar en invers! Lös ut x som funktion av y, så får vi y 3x 4 x ¹₃ y 4 . Här är y den oberoende variabeln, som vi kan döpa till vilket namn vi vill t.ex. x igen! Så inversen f ¹x ¹₃ x 4 . Nu kan vi rita de två ömsesidiga spegelbilderna och spegeln!

fi x : 1 3

x 4

Plot f x , fi x , x , x, 5, 5 , PlotStyle Red, Blue, Dashed , AspectRatio Automatic, PlotRange Automatic, 5, 5 , AxesLabel "x", "f x ,f¹ x "

4 2 2 4 x

4 2 2 4 f x,f ¹x

6. Låt f x x² 2, x 0. Sök Vf samt inversen f ¹ x och D_f 1, V_f 1. Rita f x och f ¹ x i samma diagram.

Lösningsförslag: Vi börjar väl med att rita f x : x² 2

Plot f x , x, 0, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "f x "

1 2 3 4 5 x

5 10 15 20 f x

Här är det valt att Df 0, . Vidare är en kvadrat alltid ickenegativ, så minsta värdet är 2, varav Vf 2, . Inversen får vi genom att lösa ut x ur y x² 2 x y 2 . Men x 0 så inversen f ¹ x x 2 med D_f 1 2, , V_f 1 0, .

fi x : x 2

Att rita ut flera funktioner i samma intervall klarar vi enkelt med Plot har vi sett. Här är det inte lika enkelt eftersom f och f ¹ inte har samma definitionsmängd. Men det finns hjälp...vi tar med en spegeln också

ShowPlotf x , x, 0, 3 , PlotStyle Red,

PlotRange 2, 3 , AxesLabel "x", "f x ,f¹ x ",

Plot fi x , x , x, 2, 3 , PlotStyle Blue, Orange, Dashed , PlotRange All, AspectRatio Automatic

2 1 1 2 3 x

2 1 1 2 3 f x,f ¹ x

7. Bestäm de sammansatta funktionerna f g, g f och f f då a f x 2x, g x x 1 b f x x², g x 2x 1.

Lösningsförslag: Här gäller det bara att definiera funktionerna i rätt ordning, t.ex. f g x f g x . Så först a) f x : 2 x

g x : x 1 f g x

2 x 1

g f x 2 x 1

f f x 4 x

Sedan b)

f x : x² g x : 2 x 1 f g x

2 x 1²

g f x 2 x² 1

f f x x⁴

8. Lös ekvationen x² x 6 0.

Lösningsförslag: Formel x1,2 1

2 ¹₂² 6 x1,2 1

2 5

2 x1 3 x2 2. Om man inte kommer ihåg formeln x² px² q 0 x1,2 p

2 ^p₂² q får man göra kvadratkomplettering. Meka om vänsterledet så vi känner igen en av de två kvadreringsreglerna a b² a² 2ab b². Välj variant beroende på tecken framför linjära termen. Låt sedan a vara x och fixa till

"2:an". Lägg slutligen till och dra ifrån den saknade kvadratiska termen b². Alltså x² x 6 x² 2x¹₂ ¹₂²

a b² a² 2ab b²

¹₂² 6 x ₂¹² ¹₂² 6 0 x ¹₂² ¹₂² 6 x ¹₂ ¹₂² 6 .

Glöm aldrig att y² y inte y! En sista ängslig kontroll Solvex² x 6 0

x 3 , x 2

9. Förenkla a 2 ¹²2³⁴ b 9³² 3⁴ c 2^232¹⁶ 5^{12 1} Lösningsförslag: Potenslagar! a) 2 ¹²2³⁴ 2 ^{12 34} 2^{14 4}2 b) 9³² 3⁴ 9³²3^{42 }3^2233⁴² 3^{2 32}3⁴² 3^{3 2} 3⁵ 243 c) 2^232¹⁶ 5^{21 1} 2²³ 2 ¹⁶ 5 ¹² 2^{23 16} 5 ²¹ 2¹² 5 ^{12 2}₅

2

1

2 2

3 4, 9

3

2 3⁴ , 2

2 32

1

6 5

1 2¹

⁴2, 243, 2 5 ^

10.Funktionen f x ^x är given. Är några av följande påståenden sanna för alla reella a?

a f 2a 2 f a b f 2a f a ² c f 2a f 2 f a d f 2 a f 2 f a e f a² f a ² f f a f a g f a f a ¹ h f a f ¹a 1

Lösningsförslag: Med potenslagar och invers funktion till ^x, dvs ln x , inser vi att b, d och g är sanna.

11. Lös ekvationen ln 3^x 3^{x 1} 1.

Lösningsförslag: Vi har ln 3^x 3^{x 1} 1 ln 3^x1 3 1 ln 3^x ln 4 1 x ^{1 ln 4}_{ln 3} ^{1 2ln 2}_{ln 3} . Tänk på att ln x heter Log x i Mathematica.

SolveLog3^x 3^{x 1} 1, x, Reals

x 1 2 log 2 log 3 ^

12.Lös ekvationen ln 2x ln 3x ln 4x .

Lösningsförslag: Logaritmlagarna ln 2x ln 3x ln 4x ^{x 0}ln 2x 3x ln 4x 6x² 4x x ²₃ samt icke godkända x 0.

Solve Log 2 x Log 3 x Log 4 x , x

x 2 3^

13.Lös ekvationen ln x ln x² ln x³ ln x⁴ ln x⁵ 5.

Lösningsförslag: Logaritmlagarna

ln x ln x² ln x³ ln x⁴ ln x⁵ 5^{x 0}ln x x² x³ x⁴ x⁵ 5

ln x^{1 2 3 4 5} 5 ln x¹⁵ 5 15ln x 5 ln x ¹₃ x ^{1 3}.

Solve Log x Log x² Log x³ Log x⁴ Log x⁵ 5, x, Reals

x ³ 

14. Lös ekvationen ln x ln x.

Lösningsförslag: ln x ln x ln x ¹₂ln x Kvadrera, kolla falska rötter efteråt 4ln x ln x² ln x ln x 4 0 ln x 0 eller ln x 4 x 1 eller x ⁴. Båda ok!

Solve Log x Log x , x, Reals

x 1 ,x ⁴

15. Lös ekvationen ln 1 x 1 ln x .

Lösningsförslag: ln 1 x 1 ln x ln 1 x ln ln x ^{x 0}ln 1 x ln x 1 x x x ¹₁. Solve Log 1 x 1 Log x , x

x 1 1^

16. Lös ekvationen ln x 2 ln x .

Lösningsförslag: ln x 2 ln x ln x ln ² ln x ^{x 0}ln x ln ²x x ²x x _{2 1}. Solve Log x 2 Log x , x

x ₂ 1^

17. Lös ekvationen 5 2 ^3x.

Lösningsförslag: Dividera båda sidorna med 2 och logaritmera Solve5 2 ^{3 x}, x, Reals Simplify

x 1 3log 5

2 ^

18. Lös ut R ur den "elektriska ekvationen" u u0

t RC. Lösningsförslag: Logaritmera båda sidor ln u lnu0

t

RC, sedan logaritmlagar ln u ln u0 ln

t

RC ln u ln u0 t

RC, så slutligen R _{C ln u}^t

0 ln u t C ln^u_u⁰. Solveu v0

t R C, R

. C 1 0

R ConditionalExpression t

Clog^v_u⁰ 2 Πc1, c1 

R t

C log^v_u⁰

19. Lös ut Κ ur den "termodynamiska ekvationen" ^T_T¹

2 ^p_p¹

2

Κ 1 Κ .

Lösningsförslag: Logaritmera båda sidor, sedan logaritmlagar och lite algebra!

SolveT1

T2

p1

p2

Κ 1 Κ

, Κ

Κ

log^p_p¹

2 log^p_p¹

2 log^T_T¹

2



20. Lös ekvationen ^{x x} 6.

Lösningsförslag: Sätt t ^x så har vi en andragradsekvation t ¹_t 6 t² 6t 1 0 med lösningarna t1,2 3 2 2 . Båda är positiva, så x1,2 ln t1,2.

Solve ^{x x} 6, x, Reals

x log3 2 2,x log3 2 2

21. Lös ekvationen log₂x log₂x 4 5 där log_ab betyder logaritmen av b med avseende på basen a.

Lösningsförslag: Använd basbyte till "hemmaplan" log_ab ^{ln b}_{ln a} och sedan logaritmlagarna. Vi får

ln x ln 2

ln x 4

ln 2 5 ln x ln x 4 5ln 2 Kolla till slut att x 0 och x 4 0 ln x x 4 ln 2⁵ x x 4 32 x1 8 och x2 4 falsk.

Vi låter Mathematica prova lyckan oxå

Solve Log 2, x Log 2, x 4 5, x x 8

22. Man har f x c ^{k x}.

a) Bestäm c och k om vet att f 1 2 och f 3 4.

b) Beräkna f 5 .

c) Lös ekvationen f x 5.

Lösningsförslag: a) Applicera villkoren så har vi ekvationssystemet c ^k 2

c ^3k 4. Vi eliminerar c genom att dividera ekvationerna med varann _3k^{k 2}₄ ^{2k 1}₂ k ¹₂ln 2 . Slutligen ur första ekvationen c 2 ^k 2 . Vi låter Mathematica prova oxå.

ekv y c ^{k x} . x 1, y 2 , x 3, y 4

2 c ^k, 4 c ^{3 k}

cÅk Solve ekv, c, k , Reals First

c 2 , k log 2 2 ^

Eftersom vi behöver f x i b) och c) kan det vara lämpligt att meka ihop den.

f x c ^{k x} . cÅk 2^{x2 12}

b) Beräkna f 5 . Sätt in x och räkna på med potenslagar.

f 5 8

c) Lös ekvationen f x 5. Räkna på med potenslagar och logaritmlagar.

Solve f x 5, x, Reals Simplify

x log²⁵₂ log 2 ^

23. The recommended tire pressure in a Honda Civic, in England, is 28 psi (pounds per square inch). What is this pressure in atmosphere? Hint: 1 atm 10⁵Nm ², 1 pound 4.448 N, 1 foot 12 inch, 1 foot 0.3048 m.

Lösningsförslag: Vi får direkt trycket i atm

P 28 4.448

^0.3048

12 ² 1 10⁵ 1.93044

24. Farmer John has recently bought a 40 acre field and wishes to replace the fence surrounding it. Given that the field is square, what length in meters should Farmer John purchase? Hint: 1 acre 43 560 square feet, 1 foot 0.3048 m.

Lösningsförslag: Vi får direkt arean i m² A 40 43 560 0.3048² 161 874.

Så till slut staketlängden i meter 4 A

1609.34

25. Verifiera med dimensionsanalys

a s ¹₂gt² vt b v₂² v²₁ 2as c mgh ¹₂mv² d m ΡV e P Fv

f v gh g F m ²_t2^x h m v1 v0 0

tF t i E mc² j V _a^bΠy x² x

Lösningsförslag: Läs i "Något om Dimensionsanalys och Mathematica".

26. Ljudhastigheten v i en gas beror på trycket p och densiteten Ρ. Bestäm ett dimensionsmässigt uttryck för detta samband.

Lösningsförslag: Vi får med identifiering.

v C p^ΑΡ^{Β m}_s 1  ^{kg m}

s²m²^Α ^kg_m3^Β

1 Α 2Α 3Β m

1 2Α s

0 Α Β kg

.

Solve 1 Α 2 Α 3 Β, 1 2 Α, 0 Α Β

Α 1 2,Β 1

2^

Så v C ^p

Ρ .

27.En boll släpps från ett torn. Ange ett dimensionsriktigt uttryck för hastigheten v som funktion av bollens massa m, fallsträckan y och tyngdaccelerationen g.

Lösningsförslag: Vi får med identifiering.

v Cm^Αy^Βg^{Γ m}_s 1 kg^Αm^Β_s^m₂^Γ

1 Β Γ m

1 2Γ s

0 Α kg

.

Solve 1 Β Γ, 1 2 Γ, 0 Α

Α 0,Β 1 2,Γ 1

2^

Så v C yg , alltså oberoende av bollens massa.

28.Falltiden för ett torn exempelvis i Pisa antas bero på tornets massa m, dess höjd h och tyngdaccelerationen g. Ange ett dimensionsriktigt uttryck för falltiden T.

Lösningsförslag: Vi får med identifiering.

T Cm^Αh^Βg^Γ s 1 kg^Αm ^Β _s^m₂^Γ

1 2Γ s

0 Α kg

0 Β Γ m

.

Solve 1 2 Γ, 0 Α, 0 Β Γ

Α 0,Β 1 2,Γ 1

2^

Så T C ^h_g , alltså oberoende av massan.

29.Farten v för en fisk beror på dess tvärsnittsarea A, vattnets densitetΡoch den effekt P som fisken klarar av att utveckla. Bestäm ett uttryck för v med dimensionsanalys.

Lösningsförslag: För effekt har vi P F v N ^m_s ^{kg m}_s2 ^m_s , så med identifiering.

v C A^ΑΡ^ΒP^{Γ m}_s 1 m²^Α _m^kg₃^Β ^{kg m}_s2 ^m_s ^Γ

1 2Α 3Β 2Γ m

1 3Γ s

0 Β Γ kg

.

Solve 1 2 Α 3 Β 2 Γ, 1 3 Γ, 0 Β Γ

Α 1

3,Β 1 3,Γ 1

3^

Så v C_Ρ^P_A^{1 3}.

30.Många tillväxtprocesser i naturen följer den logistiska modellen L t _{1 b}^L0_kt, där L0, b och k är positiva konstanter och tiden t 0. Ofta betraktas andelen P t ^{L t}_L

0. a Ange limt L t .

b Ange enheterna för b, k och P.

c För längden av en Ginsengrot har McGonigle funnit att b 149 och k 0.085. Rita P t . d Hur lång tid tar det tills Ginsengroten vuxit till 50 av sin slutliga längd?

e Bestäm P ' t . Rita.

f Visa att inflexionspunkten ligger vid t ^{ln b}_k .

Lösningsförslag: a) Eftersom ^kt 0 då k 0 och t har vi att L t L0då t . L0 kallar vi gränsvärdet.

b) Eftersom 1 b ^kt ska vara tillåtet måste b ^kt 1 . Men ^def 1 , så b 1 , det vill säga b dimensionslös. Argumentet till måste vara dimensionslös, så kt k s 1 k s ¹. Alltså har k dimensionen "1 genom tid". P är dimensionslös.

c) Rita

Plot

1 1 149 ^{0.085 t}

, t, 0, 120 , PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "P t " 

20 40 60 80 100 120t 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 P t

d) Vi ska tydligen lösa ekvationen p _{1 b}¹ _kt.

P _{1 b}¹ _kt 1 b ^kt _P¹ b ^kt _P¹ 1 ^kt _b¹¹_P 1 kt ln¹_b¹_P 1

t ¹_kln¹_b_P¹ 1. Färdig . Så Ginsengrotsresan till P 0.5 tar tiden t 58.9. Mathematica då...

Solve0.5 1

1 149 ^{0.085 t}



t 58.87

e) Derivera exempelvis som en kvot och förenkla

D 1

1 b ^{k t} , t

b k ^{k t}

b ^{k t} 1²

PlotEvaluateD 1 1 b ^{k t}

, t . b 149, k 0.085 , t, 0, 120 , PlotStyle Green, AxesLabel "t", "P' t " 

20 40 60 80 100 120t 0.005

0.010 0.015 0.020 P' t

f) Vi söker tydligen t då P'' 0. Visa först med lite algebrapyssel att P ' k P 1 P . Så med produktregeln P'' k P' 1 P P 0 P ' _k

0

P '

0

1 2P 0 P ¹₂. Detta fall är redan gjort i uppgift d) förenkla t ¹_kln¹_b_P¹ 1 P ¹₂ t ¹_kln¹_b_{1 2}¹ 1 t ¹_kln¹_b ^{ln b}_k .

31.Ponnykarusellen på Liseberg ger utmärkta tillfälle att öva mekanik och dimensionsanalys. Karusellen roterar medurs med en rotationstid på T s per varv. För att inte slungas ut från karusellen måste en resenär hålla emot med en kraft F som antas bero på resenärens massa m, rotationstiden T och radien r från rotationscentrum till resenärens åkplats.

a Sök ett dimensionsmässigt korrekt uttryck för den sk centripetalkraften F.

b Om hela attraktionen vore dubbelt så stor, men roterade med samma rotationstid, hur skulle kraften på resenärerna ändras?

c Hur skulle rotationstiden ändras för att en resenär skulle uppleva samma kraft i den större attraktionen?

Lösningsförslag: a) Enligt text skall vi prova F Cm^ΑT^Βr^Γ, där C är en dimensionslös konstant. Men F kg m s² så kg m s² 1 kg^Αs^Βm^Γ varefter indentifiering av "fundamental units" ger det utsökt enkla ekvationssystemet.

Solve 1 Α, 1 Γ, 2 Β Α 1,Β 2,Γ 1

Så F ^kmr_T2 . b) Vi får ^F_F^{2 r}

r

kmT ²2r kmT²r 2.

c) Vi får ^F_F^{2 r}

r 1 ^kmT_kmT^{2 r22r}

r2r T_{2 r}

T_r 2 .

32. Uttryck x som funktion av a och Θ i de rätvinkliga trianglarna nedan.

d

q x a

e

q a x

f

q x a a

q a x

b

q a

x c

q x

a

Lösningsförslag: Drillövning på rätvinklig triangel. Funktionerna inom parentes används ofta av Mathematica.

a x a sinΘ b x a tanΘ c x _tan^a_Θ a cotΘ

d x a cosΘ e x _cos^a_Θ a secΘ f x _sin^a_Θ a cosecΘ a cscΘ

33. Fyll i tabellerna!

x cos x sin x tan x 0

Π 6 Π 4 Π 3 Π 2

x arccos x arcsin x 1

3 2 1 2 1 2

0

x arccos x arcsin x 0

1 2 1 2 3 2

1

x arctan x 3

1

1 3

0

1 3

1 3 Lösningsförslag: Dessa bör man kunna!

x cos x sin x tan x

0 1 0 0

Π

6 3

2 1 2

1 3 Π

4 1

2 1

2 1

Π

3 1

2 3

2 3

Π

2 0 1

x arccos x arcsin x

1 ^{Π Π}₂

3 2

5Π 6

Π 3 1

2 3Π

4

Π 4 1

2

2Π 3

Π 6

0 ^Π₂ 0

x arccos x arcsin x

0 ^Π₂ 0

1 2

Π 3

Π 6 1

2 Π 4

Π 4 3

2 Π 6

Π 3

1 0 ^Π₂

x arctan x

3 ^Π₃

1 ^Π₄

1 3

Π 6

0 0

1 3

Π 6

1 ^Π₄

3 ^Π3

34. Lös ekvationen sin x ¹₂. Rita enhetscirkeln!

Lösningsförslag: sin x ¹₂ x1 ^Π6 n2Π eller x2 Π ^Π₆ n2Π ⁵₆^Π n2Π. Mathematica levererar denna skolbokslösning.

SolveSin x 1 2

, x

x ConditionalExpression2Πc1 Π

6, c1 ,x ConditionalExpression2Πc1

5Π

6 , c1 

Vill man ha principalvinklarna är det bara att beställa det.

SolveSin x 1 2

, 0 x 2 Π, x

x ^Π

6^,x 5Π 6 ^

Exempel på hur man kan "rita" i Mathematica. Omständigt att göra enkla bilder men lätt att göra komplicerade ;-)

GraphicsBlue, Circle 0, 0 , 1 , Red, Line 1, 1 2, 1,

1 2, AspectRatio Automatic, Axes True, AxesLabel "x", "y" 

1.0 0.5 0.5 1.0x

1.0 0.5 0.5 1.0 y

35. Lös ekvationen cos 2x ¹

2 . Rita enhetscirkeln!

Lösningsförslag: cos 2x ¹₂ 2x1,2 Π ^Π₄ n2Π så x1 3

8 nΠ eller x2 5

8 nΠ. Mathematica levererar denna skolbok- slösning.

SolveCos 2 x 1 2

, x Expand

x ConditionalExpressionΠc1 3Π

8 , c1 ,x ConditionalExpressionΠc1 3Π

8 , c1 

Vill man ha principalvinklarna är det bara att beställa det.

SolveCos 2 x 1 2

, 0 x 2 Π, x

x 3Π

8 ^,x 5Π

8 ^,x 11Π

8 ^,x 13Π 8 ^

GraphicsBlue, Circle 0, 0 , 1 , Red, Line 1 2

, 1,  1 2

, 1,

AspectRatio Automatic, Axes True, AxesLabel "x", "y" 

1.0 0.5 0.5 1.0x

1.0 0.5 0.5 1.0 y

36. Antag att sin u ³

13 och 0 u ^Π₂. Bestäm exakta värdet av sin 2u . Lösningsförslag: Vi har

sin 2u 2sin u cos u Men cos u då ...? ... trig. ettan 2sin u 1 sin²u

Här gäller tecknet eftersom 0 u ^Π₂ cos u 0 2 ³

13 1  ³

13 ^{2 12}₁₃. Mathematica är inte så dum heller...

Sin 2 u . SolveSin u 3 13

, 0 u Π 2

, u FullSimplify

12 13^

37. Bestäm största värdet av sin x sinx ^Π₃.

Lösningsförslag: Utveckling ger sin x sinx ^Π₃ sin x sin x cos^Π₃ cos x sin^Π₃ 1 ¹₂sin x ₂³ cos x

1 ¹₂²  ₂³ 

2 sin x 3 sin x , varav största värde 3 . Här kallas 3 för amplitud och för fasförskjutning eller fasvinkel. Mera direkt har vi i Mathematica genom att söka nollställe till derivatan som vanligt

der DSin x Sinx Π 3

, x

sinΠ

6 x cos x

opt Solve der 0, 0 x Π , x

x ^Π 3^

Sin x Sinx Π 3

 . opt FullSimplify

 3 , 3

Eller absolut snabbast ;-)

MaximizeSin x Sinx Π

3, 0 x Π, x

 3 ,x ^Π 3^

38.Solvera triangeln, det vill säga bestäm samtliga sidor och vinklar och a a 3, b 5, c 6,

b a 3,Α 40 , Β 130 , c a 3, b 5,Γ 32 , d a 3,Β 25 ,Γ 70 ,

e a 3, b 5,Α 20 _Α

a Β

b Γ c

Lösningsförslag: Att solvera trianglar, det vill säga bestämma tre av a, b, c, Α, Β och Γ då de övriga är kända, är något man ska klara för hand. Det gäller att envist räkna på med

cosinussatsen: c² a² b² 2abcosΓ (och motsvarande för Α och Β) sinussatsen: _sin^a

Α b sinΒ

c sinΓ.

Cosinussatsen är tryggare att använda eftersom sinussatsen "gör bort" sig vid trubbiga vinklar på grund av definition av arcsin. Om vi låter Mathematica slita på med Solve blir det tyvärr oftast många och oöverskådliga lösningar!

En av anledningarna till att vi får flera lösningar är att vi inte har med kravet att vinkelsumman ska vara 180 i en triangel samt att alla sidor och vinklar ska vara större än noll. Då blir det fler ekvationer än variabler, så kallat överbestämt ekvationssystem. Vi ska välja ett alternativt och ofta användbart angreppssätt som innebär att formulera problemet som ett minimeringsproblem, vilket definitivt är bra om vi tex har mätfel inblandat. När ekvationerna är uppfyllda är skillnaden mellan vänster- och högerled noll, så om vi kvadrerar och summerar bör vi få något som antar noll som minimum. Vi kan då knåpa ihop en generell lösare som vi enkelt matar med det vi vet, och får sedan resten uträknat.

a2e a 3, b 5, c 6 , a 3, Α 40, Β 130 , a 3, b 5, Γ 32 , a 3, Β 25, Γ 70 , a 3, b 5, Α 20 ;

 , NMinimizea² b² c² 2 b c Cos Α ²

b² a² c² 2 a c Cos Β ²

c² a² b² 2 a b Cos Γ ²

b Sin Α a Sin Β ² c Sin Α a Sin Γ ²

Α Β Γ 180 ², a 0, b 0, c 0, Α 0, Β 0, Γ 0 . , Complement a, b, c, Α, Β, Γ , First  & a2e

a 3, b 5, c 6 3.57798 10²⁸, Α 29.9264,Β 56.251,Γ 93.8226 a 3,Α 40,Β 130 2.2803 10 ³⁰, b 3.57526, c 0.810446,Γ 10.

a 3, b 5,Γ 32 5.19008 10 ¹², c 2.9255,Α 32.9163,Β 115.084 a 3,Β 25,Γ 70 8.48025 10 ³⁰, b 1.2727, c 2.82985,Α 85.

a 3, b 5,Α 20 3.43278 10 ²⁹, c 2.2336,Β 145.247,Γ 14.7526

39.Sök längderna av x och y

3 1

5 x

y

Lösningsförslag: Vi har Pytagoras sats och likformiga trianglar. Välj den positiva lösningen Solve 3 1 ² x y ² 5², x

3 y 1

, x 0

x 9 4, y 3

4^

40.Sök längden av sträckan x längs diagonalens mittpunktsnormal

4

3 x

Lösningsförslag: Låt d vara rektangelns diagonal, så har vi med Pytagoras sats och likformiga trianglar

Solve4² 3² d², x d 2

3

4, d 0

d 5, x 15 8 ^

41.Bestäm ekvationen för den räta linje som går igenom punkterna 2, 1 och 1, 2 .

3 2 1 1 2 x

3 2 1 1 2 y

Lösningsförslag: Ansätt räta linjen y k x m så har vi ekvationssystemet 1 k 2 m

2 k 1 m med lösningen k 1, m 1.

kÅm Solve y k x m . x 2, y 1 , x 1, y 2

k 1, m 1

Visst vi vill se att linjen verkligen går genom punkterna!

Plotk x m . kÅm, x, 3, 2 , PlotStyle Green, AxesLabel "x", "y" , Epilog PointSize 0.03 , Red, Point 2, 1 , Blue, Point 1, 2 

3 2 1 1 2 x

3 2 1 1 2 y

42.En cirkelsektor med medelpunktsvinkelnΘoch radien r är given. Sök som funktion avΘoch r båglängden b, längden av kordan l, arean av den inskrivna triangeln At, arean

av cirkelsegmentet Assamt slutligen cirkelsektorns area. ^q

r

b

l At

As

Lösningsförslag: En direkt attack med cosinussatsen ger l² r² r² 2rrcosΘ. Detta är emellertid ett litet sidospår eftersom det inte hjälper oss så väldigt mycket när det gäller de eftersökta areorna. Det för modellering tränade ögat letar istället efter symmetri och vinkelräthet! Vi ser att den inskrivna triangeln är likbent och kan då på grund av symmetri delas upp i två lika stora trianglar (rita fig!) som har basen B r sin₂^Θ och höjden H r cos^Θ₂, så l 2B 2rsin^Θ₂ och At 2 ₂¹BH r²cos^Θ₂sin^Θ₂ ¹₂r²sinΘ. Båglängden är andelen Θ av ett helt varv 2Π av hela cirkelns omkrets, alltså b ₂^Θ_Π2Πr. Slutligen har vi arean av cirkelsektorn som är andelen Θ av ett helt varv 2Π av hela cirkelns area, alltså At As 2^ΘΠΠr². Detta bestämmer de sökta areorna. Övertyga dig nu att det blir samma l i de båda metoderna samt att l, As och At verkar rimliga genom att testa om de står pall för några olika vinklar som genererar välkända figurer! Senare i kursen ska du kunna härleda sådana här areor med integral. Så the Mathematica way!