HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 – 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor

Said, Stenholm, Strömberg ………..………...STH KTH 1

TENTAMEN

HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 – 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor

Tentamen består av 12 uppgifter som totalt kan ge 24 poäng

Fx är ett underkänt betyg men med möjlighet till komplettering. Kompletteringen kan endast göras upp till betyg E.

• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.

• Börja varje ny uppgift på nytt blad, detta gör att rättningen blir säkrare.

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv namn och personnummer på varje blad.

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

• Skriv klass på omslaget, A, B eller C.

Undervisande lärare: Elias Said, Jonas Stenholm, Håkan Strömberg.

Examinator: Armin Halilovic

Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten

Said, Stenholm, Strömberg ………..………...STH KTH 2 Uppgift 1 (1 poäng)

Bestäm definitionsmängden för funktionen

) 9 ln(

4 2 )

(x x x²

f = + + −

Uppgift 2 (1 poäng)

Vilken eller vilka av nedanstående funktioner har en invers. Bestäm i förekommande fall dessa. Motivera ditt svar.

i) f(x)= x−1 ii) f(x)=x− x iii) f(x)= 1−x² Uppgift 3 (1 poäng)

Givet funktionen

x a x x x

f( )=cos(sin )+ ² +

Bestäm koefficienten a så att ^f′(π)=3^. Uppgift 4 (1 poäng)

Bestäm

2) cos(

2 lim sin

π −π

→ x

x

x

Uppgift 5 (2 poäng)

Sambandet x³+ y³−9xy=0 definierar en kurva y= y(x) i punkten (2,4). Bestäm ekvationen till tangenten som går genom punkten (2,4).

Uppgift 6 (4 poäng) Låt

1 1 ) 3

( 4

2 4

+ +

= + x

x x x

f

Skissa kurvan y= f(x) med angivande av definitionsmängd samt eventuella asymptoter och lokala extrempunkter.

Uppgift 7 (4 poäng)

Genom punkten x= på kurvan a y=e^−x, x>⁰ dras en tangent till kurvan. Denna tangent avgränsar tillsammans med x-axeln och y-axeln en triangel. För vilket värde på punkten a kan triangeln anta största arean. Bestäm även den maximala arean.

Uppgift 8 (2 poäng)

Bestäm de stationära punkterna samt avgör deras karaktär (max, min eller sadelpunkt) till flervariabelfunktionen

x y y y x x

f = +8−

) , (

Said, Stenholm, Strömberg ………..………...STH KTH 3 Uppgift 9 (2 poäng)

Bestäm samtliga primitiva funktioner till ₃

1

x e^{− x}

dvs beräkna integralen

∫

1

Uppgift 10 (2 poäng)

Bestäm värdet av följande generaliserade integral:

∞

∫

0 + 9 2

1

1 dx x

Uppgift 11 (2 poäng)

Bestäm talet A > 0 så att man får samma volym då området {0≤ y≤x² ,0≤x≤ A} roterar såväl kring x-axeln som kring y-axeln.

Uppgift 12 (2 poäng) Beräkna dubbelintegralen

∫∫

T

y dxdy x

1

då området T definieras genom {x∈R:0≤x≤1,x≤ y≤2x}.

Said, Stenholm, Strömberg ………..………...STH KTH 4 Lösningsförslag

Uppgift 1 (1 poäng)

Definitionsmängd för f(x)= 2x+4+ln(9−x²).

• ²x+⁴≥⁰ ⇒ x≥−²

• ⁹−x² >⁰ ⇒ ⁽³−x⁾⁽³+x⁾>⁰ ⇒ −³<x<³

• Svar: D_f =^{x∈R^:−²≤x<^3} Uppgift 2 (1 poäng)

Enbart f(x)= x−1 har en invers f⁻¹(x)=x²+1.

(Ekvationen y= x−1har högst en lösning m.a.p. x medan ekvationerna

ii) y=x− x och iii) y= 1 x− ² har två lösningar för några y i funktionernas värdemängder.

Uppgift 3 (1 poäng) x a x x x

f( )=cos(sin )+ ²+

π π

π^{) 3 2 3 3 2}

( 2

cos )) sin(sin (

)

( = − ⋅ + + ⇒ ′ = ⇒ + = ⇒ = −

′ x x x x a f a a

f

Uppgift 4 (1 poäng)

⎭⎬

⎫

⎩⎨

=⎧

→ − vikananvända L'Hospitalsregel 0

0 2) cos(

2 lim sin

π

π x

x

x

2 2) sin(

2 cos

lim 2 =−

−

−

= →^π _x π

x

x

Uppgift 5 (2 poäng)

Implicitderivering av sambandet x³+y³−9xy=0 och insättning av punkten (2, 4) ger:

5 4 9 3

3 0 9

9 9 3

3 2

2 2

2 =

−

= −

′

= ⇒

− ′

′−

+ y x

x y y

y x y y y x

5 12 5 ) 4

2 5(

4= 4 − ⇒ = +

− x y x

y , tangentens ekvation.

Uppgift 6 (4 poäng)

R D och x

x då x x

x x x

f → →±∞ _f =

+ + + =

+

= + 1

1 1 3

1 1 ) 3

( ₄

2 4

2 4

En vågrät asymptot vid y=1. Lodräta och sneda asymptoter saknas.

Said, Stenholm, Strömberg ………..………...STH KTH 5 0

1 0

) (

) 1 (

) 1 )(

1 )(

1 ( 6 )

1 (

) 1 )(

1 ( 6

) 1 (

) 1 ( 6 )

1 (

6 6 )

1 (

12 ) 1 ( ) 6 (

2 4

2 2

4 2 2

2 4

4 2

4 5 2

4

5 4

=

±

⇒ =

′ =

+

+ +

−

= − +

+

−

=−

+

−

= − +

+

= − +

−

= +

′

x och x

x f

x

x x x x x

x x

x

x x x x

x x x

x x

x x f

Teckenstudie:

x -1 0 1

– 6x + + + 0 – – –

x – 1 – – – – – 0 +

x+1 – 0 + + + + + f'(x) + 0 – 0 + 0 –

f(x) ↗ max ↘ min ↗ max ↘

Teckenstudie visa att x=±1ger funktionens största värde (lokalt max) y_max=5/2 medan x=0 ger ett lokalt min. ymin=1.

Grafen till

1 1 ) 3

( ₄

2 4

+ +

= + x

x x x

f

Uppgift 7 (4 poäng)

Tangenten i punkten a har ekvationen y−e^−a =−e^−a(x−a)

Skärning med y-axeln ges av y−e^−a =−e^−a(0−a) ⇔ y=(1+a)e^−a Skärning med x-axeln ges av ekvationen

a x

a x a

x e

e ^a =− ^a − ⇔ = − ⇔ = +

− ^{− −} ( ) 1 1

0

För triangelarean

2 ) 1 ( 2

) 1 )(

1 ) ( (

2 a

a a e

e a a a

T

−

− = + +

= +

0 ,

1 0

) 1 )(

1 2( ) 1

( = + − = ⇒ = >

′ a a a e⁻ a a

T ^a .

Said, Stenholm, Strömberg ………..………...STH KTH 6 Teckenstudie ger att a=1 ger triangelareans största värde

e e

T 2

2 ) 1

( = ⁻¹= .

Uppgift 8 (2 poäng) x y y y x x

f = +8−

) , (

2 0

0 ) 8 ( 8

0 ) 1

, (

8 8 0

1 ) , (

3 4

2 2

2 2

=

⇒ =

=

⇒ −

⇒ =

−

⇒ =

=

−

−

∂ =

∂

⇒ =

=

−

∂ =

∂

y och y

y y y

y

y x y

x y

y x f

x y y x

x y x f

Flervariabelfunktionen är inte definierad för y=0 och den enda kritiska punkten är 4

2 ⇒ =−

= x

y dvs. (−4,2).

2 1 4 ,

1 , 1

4 1 16

3 2 2 2

2 3

2

2 = =−

∂

= ∂

−

=

−

∂ =

∂

= ∂

−

=

∂ =

=∂

y x y

C f y y

x B f x

x A f

punkt är

punkten A

och B

AC 0 0, ( 4,2) max

16 1 4

2 = 1− > < −

−

Uppgift 9 (2 poäng)

∫

1

, variabelbyte

, 2

1 1

t dx dt x t

t=−x ⇒ =− =

∫

∫

Partiell integration ger −

∫

∫

e C e

xe dx x

e ^x _{x x x}

+

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= + +

= ^{− − −}

∫

1

Uppgift 10 (2 poäng)

3 6 arctan 3 lim 1 9

1 lim 1 9

1 1

0

2 0

2

=π + =

+ = ^{→∞ →∞}

∞

∫

∫

Uppgift 11 (2 poäng)

Rotation kring x-axeln ger volymen

5

5 0

4 A

dx x V

A

x =π

∫

Said, Stenholm, Strömberg ………..………...STH KTH 7 Rotation kring y-axeln ger volymen

2 2

4 0

2 A

dx x x V

A

y = π

∫

5 2

5

4

5 = ⇒ =

= ⇒ A A A

V

V_{x y} π π

Uppgift 12 (2 poäng)

Se figuren nedan över området T.

) 1 2 ( 4 )

1 2 ( ) 2 2

( 2

1 ¹

0 1

0 2

1

0

−

=

−

− =

=

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫∫

x T

Said, Stenholm, Strömberg ………..………...STH KTH 8 Rättningsmall

1. Rätt eller fel.

2. Rätt eller fel.

3. Rätt eller fel.

4. Rätt eller fel.

5. Fel implicitderivering -2p

Rätt derivering men fel tangentekvation -1p 6. Rätt analys av funktionens asymptoter +1

Rätt bestämning av stationära punkter samt dess karaktär: +(1+1)p.

Fel derivering -2p

Rätt ritning av graf: +1p (om föregående steg ej är korrekta men grafen är korrekt ritad bör motivering till figuren finnas med för att eventuellt erhålla 1p) .

7. Rätt bestämning av areas funktion dvs. A(a) +2p.

Fel areas funktion -4p.

Rätt bestämd a +3p

Fel beräknad maximal area men allt annat rätt ger inga poängavdrag, saknas denna beräkning ger -1p

8. Korrekt bestämning av den stationära punkten: +1p.

Korrekt undersökning av stationära punktens karaktär: +1p.

Fel partiella derivator -2p.

9. Rätt variabelbyte +1p.

Fel integrationsmetod, dvs. fel variabelbyte -2p.

Fel partiellintegration +1p.

10. Rätt primitiv funktion +1p Fel primitiv funktion -2p

11. Rätt uppställda uttryck för rotationsvolymerna +1.

12. Rätt uppställd dubbelintegral med rätt angivna gränser samt Rätt integrering först kring y-axel +1p. Annars -2p.