En stor del av den aktuella forskningen r¨or just f¨ors¨ok att f¨orst˚a hur man ska handskas med olika typer av icke-linj¨ara problem

UPPSALA UNIVERSITET L ¨ASANVISNING 4

MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ordin¨ara differentialekvationer Civilingenj¨orsutbildning

L ¨ASANVISNINGAR till G. Simmons -

Diffetential Equations with applications and Historical Notes Kapitel 11

Det h¨ar kapitlet ¨ar det mest sp¨annande och fram˚atpekande i hela boken. En stor del av den aktuella forskningen r¨or just f¨ors¨ok att f¨orst˚a hur man ska handskas med olika typer av icke-linj¨ara problem. Till skillnad fr˚an den linj¨ara situationen, d˚a man ofta har generella och str¨omlinjeformade metoder, g¨aller h¨ar snarast mottot:

“anythings goes”. N¨ar man n˚agon enstaka g˚ang r˚akar hitta en exakt l¨osning s˚a ¨ar det oftast en ren slump. Man f˚ar i allm¨anhet n¨oja sig med olika typer av generella resultat som existens- och entydighetssatser, eller kvalitativa resultat: stabilitet och dylikt.

Vi inskr¨anker v˚ara studier till autonoma (ej tidsberoende) system, dvs system d¨ar l¨osningens fortsatta bana endast ¨ar beroende av den punkt (och inte tidspunkt) d¨ar l¨osningskurvan befinner sig f¨or tillf¨allet.

L¨osningens bana kan vi ofta best¨amma via ekvation 4 sid. 447, en f¨orsta ordningens ekvation som ofta ¨ar separabel (eller homogen). N¨ar vi har l¨ost den ekvationen och ¨aven har best¨amt systemets kritiska punkter kan vi rita ett fasportr¨att. Om m¨ojligt ska banorna f¨orses med pilar som visar deras riktning, som best¨ams genom analys av ˙x och ˙y i det ursprungliga systemet.

N¨ar det g¨aller stabilitetsunders¨okningar kan vi v¨alja mellan metoder:

• Linearisering. Denna metod bygger p˚a att vi k¨anner till hur det ligger till med den enda kritiska punkten (origo) hos ett icke-degenererat (inget egenv¨arde = 0 ) linj¨art system med konstanta koefficienter, dvs att vi med hj¨alp av egenv¨ardenas realdelarkan avg¨ora det linj¨ara systemets stabilitetsegenskaper. Om origo ¨ar ett- centrum, dvs om egenv¨ardenas realdelar ¨ar 0, s˚a fungerar inte metoden, men i annat fall kan man s¨aga att det linj¨ara systemets stabilitetsegenskaper “smittar av sig” p˚a det icke-linj¨ara systemet. Om dessutom inga egenv¨arden sammanfal- ler s˚a kommer till och med typen (nod, sadelpunkt, spiral) av kritisk punkt att vara densamma, dvs fasportr¨att f˚ar lokalt samma utseende f¨or det ursprungliga systemet och dess linearisering.

• Lyapunovs metod. Om linj¨ara termer saknas helt, eller bara om n˚agot egen- v¨arde har realdel 0 , s˚a kan vi ¨and˚a ofta unders¨oka stabilitet med den s˚a kallade Lyapunovs metod. Denna bygger p˚a att vi kan finna en positiv definit funktion E(x, y) (ofta av typen Ax^2m + By²ⁿ) som avtar, eller ˚atminstone inte v¨axer, l¨angs banorna. I detta fall g˚ar det att geometriskt inse att stabilitet d˚a f¨oljer. Att vi i fallet d˚a Φ(t) = E(x(t), y(t)) ¨ar str¨angt avtagande l¨angs banorna t o m f˚ar

asymptotisk stabilitet ¨ar inte lika l¨att att se, men f¨oljer ur resonemanget l¨angst ner p˚a sid 468 .

Rekommenderade ¨ovningar:

58: 3, 4, 6, 7.

59: 1, 2, 60: 1.

61: 3, (4, 5).

62: 4,5.

Extra uppgifter:

1. Best¨am eventuella j¨amviktspunkter till systemet:

x⁰ = y − 3x − x³ y⁰ = 6x − 2y

och avg¨or om de ¨ar stabila, asymptotiskt stabila eller instabila.

Ledning: F¨ors¨ok att finna en Lyapunov-funktion av typen E(x, y) = ax²+ by². 2. Unders¨ok om origo ¨ar ett stabilt j¨amviktsl¨age till systemet

x⁰ = ln(4y + e^−3x) y⁰ = 2y − 1 +√³

1 − 6x . 3. Best¨am fasportr¨att till systemet

x⁰ = 2x + ay y⁰ = −ax − y

f¨or alla v¨arden p˚a konstanten a . Ange s¨arskild banornas utseende n¨ara origo.

4. Unders¨ok karakteren av j¨amviktsl¨agena till

x⁰1 = x³2

x⁰2 = −x³¹+ ax2

f¨or alla v¨arden p˚a konstanten a .

5. Betrakta ekvationen x⁰⁰ + ax⁰ + bx = f (x⁰) , d¨ar a och b ( b > 0 ) ¨ar reella konstanter och f ∈ C², f(0) = 0 . Ange ett system av f¨orsta ordningen som svarar mot ekvationen och best¨am alla kritiska punkter. Best¨am ett tal A s˚a att origo ¨ar ett asymptotiskt stabilt j¨amviktsl¨age om a > A och instabilt om a < A . 6. Visa att origo ¨ar ett stabilt j¨amviktsl¨age till systemet

x⁰ = −2xy y⁰ = x²− y³. Ar origo asymptotiskt stabilt?¨

7. Betrakta van der Pols ekvation x⁰⁰+2k(1−x²)x⁰+x = 0 , k ∈ R . Ange ett system av f¨orsta ordningen som svarar mot denna. Best¨am eventuella j¨amviktsl¨agen samt best¨am de v¨arden p˚a k f¨or vilka de ¨ar asymptotiskt stabila.

8. Unders¨ok om origo ¨ar ett stabilt j¨amviktsl¨age till systemet

x⁰ = x + e^y− cos y y⁰ = 3x − y − sin y .

Svar:

1. Asymptotiskt stabilt. (Lyapunov-funktion E(x, y) = 6x²+ y².) 2. Asymptotiskt stabilt (linearisera).

3. |a| <√

2 ⇒ sadelpunkt,

|a| =√

2 ⇒ kritisk linje genom origo,

√2 < |a| < 3

2 ⇒ nod,

|a| = 3

2 ⇒ degenererad nod (endast en egenvektor),

|a| > 3

2 ⇒ v¨axande spiral.

4. a <0 ⇒ asymptotiskt stabilt (Lyapunovfunktion E(x, y) = x⁴¹+ x⁴2), a= 0 ⇒ stabilt (banor x⁴¹+ x⁴2 = C ),

a >0 ⇒ instabilt (linearisera).

5. A= f⁰(0) (linearisera).

6. E(x, y) = x²+ 2y² dugger.

7. Asymptotiskt stabilt f¨or k > 0 , instabilt f¨or k < 0 . 8. instabilt (linearisera).