inte varit speciellt omfattande. Det finns dock en del viktiga studier på gymna- sienivå, vars fokus tangerar eller ligger i närheten av inriktningen av min egen. Samtliga dessa befinner sig huvudsakligen inom den kognitiva forsknings- dimensionen, men sträcker sig i varierande intresseriktningar.
Jakobsson-Åhl (2006) kartlade hur några läroböcker avsedda för gymnasiet behandlar olika algebramoment, t.ex. vilka begrepp som betonas, hur begrepp introduceras, vilka färdigheter som betonas, textuppgifternas roll och hur bok- stavssymbolerna kopplas till numeriska uttryck. Hon kunde påvisa en utveckling över tid av hur algebran framställs som drevs av läroplansförändringar, men också av internationella influenser kring synen på algebra och hur algebra defi- nieras.
Ett par studier av undervisning kring andragradsekvationer finns. Olteanu (2007) undersökte i en omfattande studie relationen mellan klassrumspraktiken i två gymnasieklasser inom naturvetenskapsprogrammet och elevernas lärande och förståelse för andragradsekvationer och -funktioner. Avsikten var att identi- fiera mönster i lärarnas och läromedlens framställning av begreppen, bl.a. utifrån variationsteori, och även att se mönster i hur eleverna uppfattar kvadra- tiska uttryck och deras kontext. Olteanu såg också på hur eleverna uppfattade bokstavssymbolernas olika roller, speciellt de parametrar som refereras till i formlerna för andragradsekvationernas lösningar (”p-q-formeln”), och hur det avspeglas i förståelsen av vad formeln innebär. Särskilt intressant är hur denna förhåller sig till hur olika former av andragradsekvationer framställs av läraren och av läroboken samt till de aktiviteter det leder till.
En viktig iakttagelse av undervisningen i Olteanus (ibid.) undersökning är att andragradsfunktionerna i den ena klassen behandlades separat från ekvationerna, dvs. ett sammanhållande funktionellt perspektiv saknades. Istället studerade ele- verna de speciella egenskaperna hos funktionerna, exempelvis symmetri, para- belform etc., med ekvationerna enbart fungerande som ett lösryckt redskap. Det framgår inte riktigt i studien på vilket sätt grafritande verktyg utnyttjades i ele- vernas arbete och vid helklassdiskussionerna, en användning som annars ligger nära till hands med tanke på diskussionen kring parametrar och deras roll. En hypotes är att en del av elevernas förvirring kring skillnaderna mellan ekvation och funktion, som påvisades i studien, kunde ha undvikits med en mer över-
gripande framställning av kvadratiska uttryck, och med undersökande aktiviteter som utgångspunkt.
Winsløw (2004a) beskrev lektioner med andragradsekvationer i en japansk skola, och jämförde även hur en japansk och en dansk lärobok introducerar sådana ekvationer och sedan sekventierar uppgifterna. Han konstaterar att en av de mest slående skillnaderna är den centrala roll aktiviteter spelar i den japanska undervisningen, både i dispositionen av lektionerna och i läroboken. I kontrast till detta står den danska boken, i vilken förklaringar och färdiglösta exempel är det mest framträdande och där uppgifter och aktiviteter är underordnade. Winsløw exemplifierar skillnaden med kapitlets första sida i de båda böckerna. I den danska boken ser man en uppritad parabel och tre lösta exempel. I den japanska ser man en bild uppifrån av höns i en inhägnad och under bilden problemet:
Vi ska bygga en rektangulär inhägnad för höns enligt bilden, så att vi använder stallväggen som en av de fyra sidorna och med hönsnät på de tre andra. Nu har vi 24 m hönsnät. Vi måste använda allt nätet, och inhägnaden måste vara 70 m2. Hur långa kommer inhägnadens sidor att bli?
(översatt från s. 59-60).
Som nämnts ovan har Häggström (2008) jämfört undervisningen kring ekvationssystem med två obekanta i några klasser från grundskolans senare år i Sverige med motsvarande i Kina. Momentet ingår också i gymnasiematemati- ken, varför studien ändå bör nämnas här. Även Häggström använder sig av vari- ationsteori för att analysera vilka uppgifter som väljs och hur de sekventieras. Han studerar även hur olika lösningsmetoder, som substitutionmetoden eller additionsmetoden, framställs i lärarnas undervisning, och hur elevernas problem med förståelse av metoderna hanteras. En utmärkande skillnad mellan undervis- ningen var betoningen (t.ex. tidsmässigt) av lösningsprocedurer i det svenska klassrummet, medan fokus i det kinesiska var på begreppsbildning. Det är också värt att nämna att grafiska metoder, exempelvis med grafritande verktyg, inte alls berördes som sätt att visualisera och lösa ekvationssystem under lektionerna i studien.
En del forskning kring användningen av datorer och räknare har gjorts i de nordiska länderna. Andresen (2006) har i sin avhandling undersökt potentialen för att förbättra elevers förståelse för matematik och flexibilitet vid problemlös- ning i en datorstödd miljö. Med flexibilitet avser hon den mentala:
The flexibility of a mathematical conception constructed by a person is the designation of all the changes of perspective and all the changes between different representations the person can manage within this conception.
De representationsformer hon undersöker är grafisk form, analytisk form (for- mellt språk), naturligt språk samt teknisk form (datorspråk). En slutsats Andresen drar är att flexibilitet är en viktig indikator på elevernas matematiska framsteg, och hon diskuterar också hur den är möjlig att mäta (vilka tecken man kan påvisa) samt hur en undervisning som stödjer flexibilitet kan genomföras.
Villkoren för elevers lärande i en datorbaserad matematikundervisning på gymnasiet har även diskuterats av Blomhøj (2001). Han redogör bl.a. för pro- jektet ”Den elektroniska skolan”, som pågick i Danmark under åren 1995-1998, i vilket den grundläggande tanken var att eleverna i de ”elektroniska klasserna” skulle använda datorn som sitt primära arbetsredskap. Blomhøj beskriver och analyserar tre olika verksamhetsformer som eleverna ägnade sig åt i de matema- tiska aktiviteterna: den osäkra och defensiva, den lösningsinriktade och den
reflekterande. Han drar också några viktiga slutsatser kring implementeringen
av teknologi i undervisningen. För det första skapar den nya villkor för elever- nas lärande, för det andra ställer den nya krav på lärarnas kompetens och för det tredje skapar den behov av ett utökat försöks- och utvecklingsarbete.
Bergqvist (2001) visar i fyra delstudier hur elever och lärare resonerar kring ekvations- och funktionsbegrepp med grafräknare som verktyg. I en studie undersöker eleverna egenskaper hos andragradsfunktioner och hur olika symbo- liska representationer av funktionen avspeglas i grafen (ex. x2bxc
ļ c 4 b ) 2 b x
( 2 2 ). I en annan är faktorsatsen utgångspunkt för skapandet av metoder för faktorisering av andragradsuttryck och lösning av andragradsfunk- tioner. I en tredje studie får eleverna försöka verifiera, eller motbevisa, olika matematiska påståenden, som exempelvis: ”En linjär och en kvadratisk funktion
skär alltid varandra i två punkter” eller ”Grafen för en tredjegradsfunktion kor- sar alltid x-axeln”. I den fjärde studien jämfördes gymnasielärares förväntningar
på hur elever resonerar kring påståendena i föregående studie. Resultaten visar att lärarna tenderade att underskatta elevernas abstraktionsnivå vid lösning av algebrauppgifter, och att de felaktigt trodde att endast ett fåtal elever i varje klass kunde uppnå en högre nivå av argumentation. En viktig slutsats i avhand- lingen var också att eleverna såg grafräknarna som en normal och betydelsefull del av deras matematikmiljö, och att de utnyttjade dem på en rad sätt för att visualisera, undersöka, kontrollera och verifiera i de matematiska aktiviteterna.
Lärares uppfattningar och erfarenheter kring grafräknare i gymnasieunder- visningen beskrivs i Ballings (2003) avhandling. Speciellt har hon intresserat sig för vilka lärandepotentialer som finns i att introducera räknarna i undervisningen och vilka hinder (institutionella, ekonomiska, tekniska och individuella) som existerar för detta. Ett viktigt resultat av studien är att räknarna i den reella undervisningen inte används i särskilt hög grad som undervisningsverktyg (dvs. för nya undervisningsformer, där eleverna själva undersöker egenskaper hos
matematiska objekt och upptäcker matematiska samband), utan huvudsakligen som rena räknehjälpmedel. De uppfattningar lärarna i studien uttryckte pekade också på att det krävs en omfattande lärarfortbildning för att räknarna i skol- undervisningen allmänt ska kunna användas som kvalificerade undervisnings- verktyg.
Blomhøjs (1997) studie av hur elever i grundskolans sista år resonerar kring det algebraiska sambandet y x5 (se ovan) har följts av studier med samma utgångspunkt av Grevholm (1998) och Hansson (2006). Grevholm och Hansson (se även Hansson & Grevholm, 2003) undersökte hur lärarstudenter resonerade kring sambandet, exempelvis om de använde termer som funktion eller ekvation och om de gav en huvudsakligen numerisk eller en mer symbolisk beskrivning av hur variablerna x och y sammanhänger etc. De fann inga tecken på det miss- förstånd av variablernas inbördes storlek som Blomhøj såg, men kunde visa att studenterna till största del använde numeriska förklaringar och räkneregler för hur de hänger samman. Det fanns heller ingen student som nämnde ekvations- aspekten hos likheten och få som beskrev den som en funktion.
Grevholm (2003) har även undersökt lärarstudenters åsikter om i vilken grad elever i grundskolans senare år klarar att, för likheter och olikheter som
d b a c b
a eller 2n!n2, avgöra om de alltid, aldrig eller ibland är sanna. Bland slutsatserna av studien kan nämnas att de flesta lärarstudenterna hade orealistiska förväntningar på elevernas förmåga att resonera kring och för- stå bokstavssymboler. Grevholm menar att lärarna måste förstå vad som föror- sakar problem för eleverna och vara medvetna om deras förkunskaper för att kunna tillämpa detta i undervisningssituationerna. I annat fall riskerar resultatet av undervisningen att bli undermåligt.
Med hjälp av begreppskartor (se Novak, 1998) har Hansson (2006) analyse- rat lärarstudenters begreppsmässiga förståelse av de tre sambanden y x5, och . Dessa tre samband valdes bl.a. för att de representerar tre olika funktionsklasser; linjära, kvadratiska och reciproka (rationella) funktioner. Studien visade att studenterna i ringa grad beskriver sambanden med typiska funktionstermer, utan använder andra sätt att uttrycka dem, exempelvis geomet- riska (speciellt andragradssambandet som liknar formeln för cirkelns area). Stu- denterna anspelade också på grafer för generiska funktioner, som exempelvis
och på parametriska allmänna former som 2 x y S xy 2 2 x y y kxm. Svårast för
studenterna att uttrycka var det reciproka sambandet, där de inte hade någon speciell struktur att förhålla sig till. Vanligast var en numerisk förklaring, som föregicks av omskrivning till y 2/x. Hansson menar att:
…preservice teachers should be exposed more to problem situations involving reasoning of various relations between functions and other
mathematical concepts,…to realize that functions have large networks of relations in mathematics and the function concept is one of the fundamental concepts underlying mathematics. (s. 47)
Detta är en viktig grund för utvecklandet av en av de kompetenser som krävs av en matematiklärare: att vara medveten om de övergripande begreppssambanden och kunna omsätta dem i konkreta lärandesituationer.
I detta kapitel har en del termer och delar av teorier använts provisoriskt, utan en mer exakt förklaring. I det nästkommande kapitlet kommer centrala teoretiska begrepp att utredas och ges en plats i mitt teoretiska ramverk.
4. Teoretiskt ramverk
I den breda forskningsansats jag haft under de år jag arbetat med projektet har det inte varit möjligt att förbli inom ett snävare teoretiskt ramverk. Istället har jag i olika faser och med olika perspektiv på algebralärande tillämpat lokala teo- rier jag funnit både vara tillämpliga i det specifika fallet och samtidigt passande med min övergripande syn på lärande. Det har även skett en utveckling av min referensram, både vad gäller lokala och globala teorier. Vissa av de lokala kog- nitiva teorier jag analyserade elevers tänkande utifrån i början av projektet, har jag nu delvis frångått eller modifierat, bl.a. på grund av nyare forskningsrön. Andra har kunnat sättas in i en större och mer generell teori, som baserats på nyare forskning. Under samma tid har jag också sökt placera mitt arbete med algebralärande inom globala teorier på olika plan, såsom ontologiska, epis- temologiska och perceptionella.
Gravemeijer (1994) har beskrivit en teoretisk ansats han benämner ”theory- guided bricolage”. Det franska ordet ”bricolage” betyder ungefär ”lapptäcke”, och Gravemeijer avser med termen att man tar delar från olika teorier och passar samman dem för det speciella forskningsobjektet (t.ex. användning av räknare i undervisningen). Min egen tolkning av ”bricolage” är att jag sammanfogar olika lokala och globala teorier, vertikalt såväl som horisontellt, till det teoretiska ramverk jag behöver för att tolka och analysera mina empiriska resultat samt kunna utnyttja dessa för att formulera implikationer för algebraundervisningen. För att de skilda teorierna (”lapparna”) ska passa väl med varandra är det nöd- vändigt att de uppfyller vissa kriterier:
x De måste erbjuda beskrivningssätt och förklaringar för de fenomen jag observerar, på ett sätt som överensstämmer med mina erfarenheter som lärare och med min uppfattning om hur lärande går till.
x En teori på en underordnad nivå måste kunna passas in i en övergripande teori, utan att konflikter uppstår.
x Teorin måste passa väl med andra, närliggande teorier, så att de kan erbjuda olika perspektiv snarare än att vara konkurrerande.
x Teorin måste ha en potential för att bilda bakgrund för och ge ett underlag för lärare att förbättra sin egen undervisning.
Presentationen av mitt teoretiska ramverk är uppdelad i fem avdelningar. Först kommer jag att resonera kring min syn på matematiken som vetenskap, något jag menar är en grund för hur man som lärare förverkligar den i klass- rummet. Därefter redogör jag för min syn på hur lärande går till i klassrummet, hur kunskapsutveckling sker och vad som skiljer kunskap på olika nivåer. I det tredje avsnittet diskuterar jag symbolernas betydelse, givetvis med speciellt
fokus på de algebraiska, och i det fjärde olika representationsformer och trans- formationer mellan dem. Slutligen kommer jag att behandla centrala begrepp som artefakt, verktyg och instrument, och min syn på deras tillämplighet för teknologiska hjälpmedel i undervisningen. Förhållandet mellan teorierna visas i figur 6.
Figur 6. Huvuddelarna av det teoretiska ramverket
Teorier om kunskap Matematikfilosofi
och lärande
Symbolernas Representations- Verktyg för
betydelse former lärande