Det perspektiv på algebra som utvecklats mest under senare år är funktionsper- spektivet (se t.ex. Kieran, 2006; Carraher & Schliemann, 2007; Kieran, 2007). Bokstavssymbolerna ses som variabler, som kan anta vissa (eller) alla värden. Till skillnad från den ofta statiska symbolsynen i generaliseringsperspektivet, betonas här istället variablernas dynamiska karaktär. Ett uttryck som exempelvis kan ge upphov till en rad frågor som sammanhänger med vilka värden 5 x 4 Problem Modell Betydelse Lösning Översättning Formulering Omskrivning Manipulering Tolkning Kontroll Värdering Algebra ”Verkligheten”
uttrycket antar då x varierar, som: När är värdena positiva, negativa eller lika med noll? För vilket x antas det exakta värdet 21? Varför finns det inte fler x som ger samma värde? För vilka värden på x blir värdena större än 100 eller större än de för uttrycket ? Varför blir värdena alltid desamma som för uttrycket , vilket x vi än använder?
x 10 ) x 1 ( ) 2 x ( 3
En stor del av de aktiviteter som förknippas med skolalgebra, som ekva- tionslösning, lösning av olikheter eller ekvivalenser, kan alltså betraktas som speciella frågor man ställer kring ett uttrycks värde. Men metoderna som används är på många sätt annorlunda än med de andra perspektiven. Centralt för dem är de olika representationsformer man använder när man bearbetar uttryck och löser problem, och här är den avgörande punkten att man inför en ny varia- bel som representerar värdet. Man får då en fri, oberoende variabel och en bun- den, beroende variabel, som bildar ett samband. Samvariationen mellan de båda variablerna, dvs. hur dessa förhåller sig till varandra, bygger själva dynamiken i sambandet men är inte oproblematisk ens ganska långt fram i matematikutbild- ningen, vilket visats av Blomhøj (1997), Grevholm (1998) och Hansson & Grevholm (2003). I exempelvis Blomhøjs studie av hur elever i årskurs 9 reso- nerar kring sambandet påvisades hos vissa den felaktiga uppfattningen att värdet på x var 5 mer är det för y. Bland tänkbara orsaker till detta nämns missförstånd av likhetstecknet, men även av begreppet funktion.
5 x
y
Den senare tidens forskning har visat att även yngre barn kan förstå funk- tionssamband. Blanton och Kaput (2004) lät elever från förskola (åldrar 3-5 år) upp t.o.m. år 5 (10-11-åringar) arbeta med problem som innehöll samband mellan olika antal eller storheter. De konstaterade:
The data from the study suggest that students can engage in co-variational thinking as early as kindergarten and are able to describe how quantities correspond as early as 1st grade. (ibid., s. 135)
Studien visar också på hur det abstrakta tänkandet utvecklas under de första skolåren och ger exempel på undervisningsmetoder som underlättar detta. Ett viktigt påpekande här är att avsikten inte var att utveckla funktionsbegreppet i sig, utan att grundlägga ett variabel- och samvariationstänkande.
I en longitudinell studie med elever i år 2-4 (åldrar 7-10 år) introducerade Carraher, Schliemann och Brizuela (2006) tallinjer, inklusive en variabel tallinje med N på nollans plats, som verktyg för problemlösning. De visade att eleverna kunde klara uppgifter som krävde variabeltänkande, likheter och funktionellt tänkande, och deras slutsats var att barn kan hantera algebraiska begrepp och symboler betydligt tidigare än vad hittills antagits.
Att använda sig av funktionsvägen för att introducera algebra utgör en bety- dande didaktisk möjlighet, men det är viktigt att ta hänsyn till hur konsistent undervisningen är om den ska bli framgångsrik. Att omväxlande använda funk-
tions- och ickefunktionsmetoder kan förvirra elever. Forskning har visat att så- dana ”hybridvägar” i vissa fall kan ge negativa effekter (Kieran, 2007). Det är också viktigt hur man introducerar de olika representationsformer man använder för sambandet, och vilka verktyg man utnyttjar för dessa. Yerushalmy (2000) lät i en longitudinell studie elever i grundskolans senare år arbeta med problemlös- ning i ett funktionsperspektiv och med tillgång till grafritande teknologi. Resul- taten visade hur strategierna och representationsformerna utvecklades i samver- kan och hur multipel representation av funktioner bidrar till elevernas begrepps- utveckling.
Ett problem ges ofta i textform eller som en situation, och för att kunna bearbeta det funktionsmässigt krävs att det översätts till någon lämplig repre- sentationsform. De tre huvudformer som oftast anges är tabell, graf och symbo- lisk form. Det finns dock andra närliggande former, som t.ex. bilder eller skisser av grafer, och hybridformer som synkoperad algebra. Mellan de olika represen- tationsformerna och inom representationsformerna kan man genomföra en rad typer av översättningar och transformationer (se vidare kap.4). En förenklad bild av dessa aktiviteter ges i tabell 1.
Från Till
Situationer Text
Tabeller Grafer Formler Symboler Situationer Text omformulera tolka tabeller tolka grafer känna igen och tolka
Tabeller samla in data omgruppera avläsa punkter
beräkna värden
Grafer skissa grafer plotta grafer omrita plotta funktioner Formler Symboler modellera situationer anpassa formel till data anpassa funktion till graf omskriva, manipulera
Tabell 1. Transformationer mellan representationsformer (vidareutvecklad efter Janvier, 1987b, s. 28).
Bytena av representationsformer, exempelvis att plotta en graf utifrån en formel för en funktion, har ofta varit tidsödande, och en följd av detta har blivit att några av dessa övats i ganska liten utsträckning av elever. Och att använda sig av multipla former vid problemlösning har varit tämligen sällsynt. De teknolo- giska verktygen, i form av räknare och datorprogramvara, har till stor del undan- röjt dessa och andra hinder för att funktionsvägen till fullo ska kunna användas.
Farmaki, Kloudatos och Verikios (2004) introducerade algebra för elever i grundskolans senare år i ett undervisningsexperiment, i vilket momenten ekva- tioner och funktioner integrerades i ett funktionsperspektiv. Eleverna löste t.ex. ett problem som ledde fram till ekvationen 2x4 3x genom att studera hur de två linjära funktionerna y 2x4 och y 3x förhåller sig till varandra. För att underlätta för eleverna att använda grafer vid lösningen, hade de grafritande programvara till sitt förfogande. Studiens resultat pekar mot att elevernas djupare förståelse för bokstavssymbolerna och de algebraiska uttrycken och ekvationerna underlättades, dels av den välkanta kontext problemen gavs i och dels av de olika representationsformer eleverna upplevde. Farmaki m.fl. menar också att den funktionella vägen hjälper elever att utveckla övergripande pro- blemlösningsstrategier, som ”trial and error”, ”rita ett diagram”, ”lös en ekva- tion” m.m., och att den även befrämjar ett visuellt tänkande. Visualisering och visuellt tänkande är speciellt framträdande i de nya teknologiska miljöerna, sär- skilt i dynamiska tillämpningar (se även Heid & Blume, 2008a).