tiva området. Det är dock klart att de affektiva faktorerna spelar en betydande roll för lärandet, förmodligen lika stor som för de kognitiva. Novak (1998) skriver:
Feelings, or what psychologists call affect, are always a concomitant to any learning experience and can enhance or impair learning. (s. 24)
De affektiva faktorerna samverkar till det vi kan kalla elevens ”känslor” och kan grovt indelas i följande:
x intresse, förväntningar och motivation
x attityder hos den enskilde eleven och kamraterna
x självförtroende och känsla av att lyckas (eller misslyckas) x socialt klimat i klassrummet.
Om eleven saknar intresse och motivation för att delta i matematiska aktiviteter, och har låga förväntningar på det som ska ske under en lektion, är förutsättning- arna för verkligt lärande mycket små. Allvarliga hinder kan vara attityderna till exempelvis algebra hos eleverna eller ett dåligt socialt klimat med lite kamrat- stöd. Det är dock möjligt att vända negativa attityder till sådana som snabbt ger förbättrade förutsättningar för lärande (Hannula, 2002; 2005), och här kan en nyckelfaktor vara känslan av att lyckas med matematiken.
Förväntningarna inför en lektion bygger på de uppfattningar eleven har om vad matematik är, vad matematiska aktiviteter handlar om, vad hon/han ska utföra eller producera under lektionen samt vilken roll hon/han ska spela gent- emot andra elever och läraren (Brousseau, 1997; Pehkonen, 2001). När det gäller elevens roll har utvecklingen gått från att ha varit en passiv åhö- rare/utförare till att ta en mer aktiv roll som deltagare/producent. Inte minst gäller det inom de teknologiska miljöerna, där eleverna har möjlighet att arbeta med undersökande uppgifter och problemlösning på ett mycket mer aktivt och flexibelt sätt. En rad undersökningarna har också visat att eleverna i dessa mil- jöer har en mer positiv attityd till matematik och är mer motiverade att delta i aktiviteter än vad som är normalt för elever i icke-teknologiska miljöer (se t.ex. Burrill m.fl., 2002; Ellington, 2003; Reznichenko, 2007a).
Samarbetet i klassrummet och de olika rollerna som antas beror på hur lära- ren ”orkestrerar” arbetet (Artigue, 2005), dvs. organiserar och fördelar det indi- viduellt och gruppvis. Detta i sin tur sammanhänger med lärarens uppfattningar om matematik och matematiska aktiviteter, hur lärande går till m.m. I själva verket utgör detta den viktigaste grunden för elevernas lärande och den avgö- rande förutsättningen för en rad andra faktorer. Läraren är auktoriteten och den viktigaste personen i klassrummet, på samma gång som hon/han inte får vara auktoritär och i princip vara den enda som får agera och tala. Boaler (2003) visade t.ex. hur lärare i ”traditionell” undervisning gav eleverna information, medan de i ”reforminriktade” klassrum istället drog informationen ur eleverna genom att ge dem olika problem och ställa frågor till dem.
En större översikt över lärares uppfattningar (beliefs) och känslor (affect) har gjorts av Philipp (2007). Han påpekar att det är en skillnad mellan det vi kallar uppfattningar och det vi kallar värden. En tro att något är fallet är en upp- fattning, medan en tro på något representerar ett värde. Uppfattningar är heller
inte detsamma som en kunskaper. Båda är kognitiva konstruktioner, men kun- skaper är starkare eftersom de bygger på fakta och sanningar. Philipp delar in forskning om läraruppfattningar i sådan som rör elevers matematiska tänkande, läroplansförändringar, teknologi resp. genus. Han påpekar också att, medan det gjorts många studier kring lärares uppfattning, finns det relativt få tillgängliga om lärares känslor
Harel, Fuller och Rabin (2008) menar att lärarens sätt att ge mening till matematiska begrepp och aktiviteter är av avgörande betydelse för elevernas utveckling av algebraisk förståelse. I sin studie undersökte de hur (och om) lärare i undervisningen behandlade syftet med nya begrepp, distinktioner i matematiken, matematisk terminologi och matematiska symboler. De fann en rad problem härvidlag, som de menar beror på t.ex. institutionella begränsningar (som tid, resurser etc.), prestationskrav (som nationella prov), lärarnas mål för undervisningen (som inte byggde på mening) samt brister i lärarnas kunskapsbas (matematikinnehåll, epistemologi och pedagogik). Lärarnas handlande gör enligt Harel m.fl., att eleverna riskerar att få en oönskad syn på matematik, exempelvis de följande:
x Matematiken innebär att utföra standardprocedurer mycket mer än den innehåller mening och resonemang.
x Matematiska definitioner och resultat är tillfälliga och godtyckliga. x Symboliska resonemang har ingen koppling till verkligheten. x Formen på ett uttryck är viktigare än dess värde.
(Harel m.fl. s. 125, min översättning)
Ett viktigt memento vad gäller sättet att behandla terminologi i undervisningen menar de är:
Teachers explicitly introduce and review terminology while discussing concepts, but they also implicitly set the norms for how terminology is used by using it themselves. When the teacher does not demonstrate precise and referential definitions, it is unlikely that students will value referential usage of terminology. (ibid., s. 126)
I en studie av förhållandet mellan lärarens roll och uppfattning och elevernas sätt att använda grafräknare, fann Doerr och Zangor (2000) att lärarens förtrogenhet, flexibilitet och insikt om begränsningarna med verktyget ledde till en undervis- ningsnorm som krävde att resultat skulle styrkas matematiskt och i en gemen- sam diskussion.
Skolalgebra har internationellt sett befunnit sig i en period av förändring mot en mer funktionsbaserad undervisning (se t.ex. Artigue m.fl., 2001). Detta ställer naturligtvis stora krav på lärarnas kunskaper och förmåga att skifta perspektiv vad gäller algebran, krav som det är svårt att leva upp till och som bl.a. förut-
sätter att lärare fortbildar sig (ibid.). I en studie av Chazan m.fl. (2008) intervju- ades några lärare i grundskolans senare år för att ta reda på hur en läroplansför- ändring mot en funktionsväg till algebran påverkade deras lösningsmetoder för ekvationer av olika slag, och hur de jämförde ekvationer när det gäller deras mening och bokstavssymbolernas roll. Ett exempel var ekvationen 2x x2, som inte alla insåg är algebraiskt olösbar. Det var också svårt för lärarna att se den som en jämförelse mellan två funktioner, y 2x och , som är möj- liga att rita upp med exempelvis en grafräknares hjälp, och på så sätt numeriskt finna de två lösningarna. Ett annat exempel var ekvationssystemet
2 x y ¯ ® 3 y 3 x 6 5 x 2 y
Vanligast var att lärarna tillämpade algebraiska metoder, t.ex. substitution, och kom fram till någon slags identitet, eftersom systemet saknar lösning. Detta var en typ av uppgift som inte brukade ges i en grundläggande algebrakurs, men som är lätt att förstå om de båda ekvationerna ses som linjära, men parallella funktioner. Chazan m.fl. menar att bytet från traditionella, ofta strukturella, per- spektiv till ett funktionsperspektiv innebär stora och djupgående förändringar för de verksamma lärarna:
We see a strong analogy between the situation of the teachers and the scientist who embraces a new paradigm; as a result of a shift in one key definition, confronting the same algebraic equations they find the equations transformed through and through in many of their details. (s. 98)
De menar att detta beror på ett fundamentalt faktum inom matematiken, nämli- gen att man kan utveckla en teori med aningen olika utgångspunkter fram till strukturer som verkar ganska lika, men som har helt olika kvaliteter.
Lärarnas uppfattning av vad som är lätt och problematiskt i algebra för ele- verna överensstämmer inte alltid med verkligheten. Hadjidemetriou och Williams (2002) undersökte hur lärarnas bedömning av svårighetsgraden hos grafritande uppgifter, och vilka fel och missförstånd som var vanliga, stämde med elevernas. De fann t.ex. att lärare i allmänhet underskattade de tekniska svårigheterna, medan de överskattade svårigheterna i att tolka svaren. Liknande skillnader mellan vad läraren tror och vad eleverna uppvisar har visats i flera studier (t.ex. Bergqvist, 2001).
Slutsatserna som kan dras av mängden studier kring lärares uppfattningar om algebra är att det krävs en betydande insats av fortbildning av yrkesverk- samma lärare och i vissa fall även av grundutbildningen för att algebraundervis- ningen ska kunna utvecklas (se t.ex. Artigue, 2005; Kieran, 2006; 2007; Carraher & Schliemann, 2007). Studier från sådana projekt rapporteras också från olika delar av världen, som exempelvis i Italien (Bartolini Bussi & Bazzini,
2003) eller USA (Hallaghan, 2004). I Sverige finns det för närvarande möjlighet att anordna kurser inom fortbildningssatsningen ”Lärarlyftet”, men för en lång- siktig förändring krävs snarare ett mera intimt samarbete mellan lärarutbild- ningen och skolorna.