I sin översikt över forskning inom algebraområdet använder sig Kieran (2007) av en struktur som bygger på de två begreppen activity (aktivitet) och meaning (mening, betydelse, innebörd). Som redan i inledningen redogjorts för, delar hon in aktiviteterna inom algebraundervisningen i genererande, transformerande och globala/metanivå-aktiviteter. Denna indelning är dock inte helt särskiljande, eftersom det i en och samma forskningsstudie kan förekomma delar som tillhör mer än en av dessa typer av aktiviteter (se förklaring i kap.1). Det andra begreppet, som jag här väljer att översätta med mening, har studerats av en rad forskare (se t.ex. Radford, 2004). Utgående från Radfords klassifikation gör Kieran (2007) följande indelning av huvudkällorna till algebraisk mening i de matematiska aktiviteterna:
Mening skapas av
den algebraiska strukturen i sig, inklusive den bokstavssymboliska formen.
andra matematiska representationer, inklusive multipla sådana.
problemlösningens kontext.
det som ligger utanför kontexten i matematiken/problemlösningen
Inom den första punkten ryms förhållandet mellan aritmetik och algebra, de symboliska formerna, struktur och manipulation av uttryck, likheter och ekvi- valenser, etc. (se t.ex. Cerulli & Mariotti, 2001a). Den andra punkten rör alge- brans skilda representationer, som de verbala, numeriska (tabeller), grafiska och symboliska samt bytena mellan dessa (se t.ex. Janvier, 1987b) och möjligheten att utnyttja två eller flera av dem simultant. Den tredje punkten bygger på över- tygelsen om att problemlösningens kontext utgör grunden för uppkomsten och utvecklingen av förmåga till algebraiskt resonemang (se t.ex. Bednarz & Jan- vier, 1996), och inkluderar även ”verklighetsbaserade problem” och modelle- ring. Den fjärde punkten innefattar processer av meningsskapande som bygger på hur elever använder exempelvis språk, gester, kroppsrörelser, metaforer och artefakter under de matematiska aktiviteterna (se t.ex. Radford, Demers, Guzmán & Cerulli, 2003).
Den tredje basen för indelningen av forskning som Kieran (2007) använder är vilket stadium inom utbildningsväsendet eleverna/studenterna befinner sig. Hon gör där en indelning i (motsvarigheten till): mellan- och senare åren i
grundskolan, gymnasiet samt lärarutbildningen. Till detta måste givetvis tilläg-
gas förskolan och grundskolans tidigare år, men denna forskning behandlas inte av henne utan av Carraher & Schliemann (2007) i ett separat kapitel. Algebra-
forskning på universitetsnivå är heller inte redovisad i Kierans översikt, även om vissa referenser för de senare gymnasieåren (college) förekommer. Den typ av algebra som är innehållet i matematikkurser på universitetet har också en helt annan karaktär än skolalgebran, och bygger på teoretiskt grundade algebra- strukturer, inklusive gruppteori m.m. Detta kommer att behandlas vidare nedan.
Den struktur Kieran (2007) utnyttjar kan alltså sägas bygga på tre huvud- dimensioner: stadium, aktivitet och mening. Varje forskningsstudie kan då pla- ceras in i en matris, i vilken varje ”element” karakteriseras av kombinationen av de tre dimensionerna (med Kierans indelning 36 tänkbara element). Det är dock naturligt att inte alla dessa kombinationer kommer ifråga i verkligheten, exem- pelvis för grundskoleundervisningen, och det är även vanligt att forskningsstu- dier placerar sig inom två eller flera ”element”.
En fruktbar utgångspunkt för indelning av forskningen kring algebralärande är vilka krav som ställs på lärarens kunskaper, färdigheter och uppfattningar. En fransk forskargrupp (Artigue, Assude, Grugeon & Lenfant, 2001) har skapat ett multidimensionellt ramverk, som delar in forskning i en epistemologisk, en
kognitiv och en didaktisk dimension. Systemet kallas Multidimensional Grid for
Professional Competence in elementary Algebra (MGPCA), och har utnyttjats av dessa forskare t.ex. för att samla in och analysera data från studier kring lärarstudenters möte med algebra och deras vidare utveckling, både vad gäller egna kunskaper och färdigheter och vad gäller den praktiska tillämpningen i klassrummet. De tre dimensionerna innefattar följande:
Epistemologisk dimension: x Algebrans innehåll x Algebrans struktur
x Algebrans roll och plats i matematiken
x Kopplingarna mellan algebra och andra matematikområden och fysiska fenomen
x Egenskaperna hos värdefulla algebrauppgifter avsedda för elever. Kognitiv dimension:
x Utvecklingen av elevers algebraiska tänkande
x Elevers tolkning av algebraiska symboler, notationer och begrepp x Arten av elevers missförstånd och svårigheter i algebra
x Olika vägar till algebra och algebrakunskaper x Väsentliga lärandeteorier
x Vägar att motivera elever. Didaktisk dimension:
x Läroplanens innehåll och mål inom algebra för den aktuella utbildningsnivån
x Olika arbetssätt och metoder i klassrumsarbetet
x Användningen av olika läranderesurser, som läroböcker, konkret materiel, teknologiska verktyg, IKT, etc.
x Naturen hos och utvecklingen av en effektiv klassrumsdiskurs.
Denna studies huvudsyfte, som är att bidra till att förbättra algebraundervis- ningen, gör det naturligt att ta samtliga dessa delar och dimensioner i beaktande, samtidigt som jag måste konstatera att jag inte med empiriska metoder har möj- lighet att undersöka dem alla. Det är snarare en uppgift för ett större forskar- team, som det franska. Min forskning kan huvudsakligen placeras inom den kognitiva dimensionen, med ett par viktigt undantag som användningen av tek- nologiska verktyg samt arbetssätt och metoder i klassrumsarbetet. I denna av- handling kommer jag dock att i olika sammanhang beröra nästan samtliga punkter i MGPCA. Speciellt behandlar jag matematikens och algebrans innehåll och roll i kapitel 4.
I de kommande avsnitten kommer jag att ge exempel på forskning kring en rad viktiga begrepp, aktiviteter och vägar till algebrakunskaper, inklusive olika svårigheter elever möter. Betydelsen av funktionsvägen till algebran och möjlig- heterna att använda teknologiska verktyg får, tillsammans med forskning kring levers och lärares uppfattningar om algebra, särskilda delkapitel. Den indelning jag gjort bygger delvis på Kierans och delvis på den franska gruppens dimen- sioner. Slutligen uppmärksammar jag i ett separatavsnitt några studier som gjorts i Sverige och i Norden.
Aritmetikļ algebra
Framväxandet av algebran, så som vi känner den idag, har pågått under en mycket lång period i människans historia. De äldsta källorna från Mesopotamien och Indien sträcker sig så långt tillbaka som c:a 2000 f.Kr. Den retoriska, för- symboliska algebra man beskrev var inriktad på problemlösning med generella och systematiska metoder, och uppgiften var att finna ett bestämt tal som ut- gjorde lösningen. Det var alltså den tillämpning av algebra vi idag kallar ekva- tionslösning som var den förhärskande, och den förblev så under lång tid, fak- tiskt ända fram till 1600-talet. Under tiden utvecklades det språk algebran utnyttjar från att vara helt verbalt till att utnyttja ett alltmer sofistikerat teckensy- stem, med bokstäver som symboler för det ”hemliga” talet. Detta skedde paral- lellt med att aritmetiken gradvis införde ett teckensystem, som efter hand inklu- derade tecknen för de fyra räknesätten, likhetstecknet, parenteser, etc.
Med naturvetenskapens starka tillväxt under 1600-talet kom krav från fors- kare, som t.ex. Newton, på ett verktyg som dels kunde uttrycka samband mellan olika storheter, och dels kunde utnyttjas för generaliserade beräkningar. Så kon-
struerades den analytiska geometrin av Fermat och Descartes 1637, och det blev möjligt att representera kurvor och samband på ett meningsfullt sätt med algebra (se t.ex. Puig & Rojano, 2004; Katz, 2006). Användningsområdet för algebra- iska symboler kom att breddas kraftigt till att även gälla generaliserade tal och funktionssamband, och de algebraiska reglerna mejslades fram. De generalise- rade principer för aritmetiska beräkningar man stött sig på blev nu möjliga att uttrycka med algebra och bokstavssymboler.
En betydande vändning av perspektivet inträffade under 1800-talet, då de algebraiska principerna istället sågs som grunden för de aritmetiska reglerna. Med början hos Galois och Abel växte den abstrakta algebran fram, i vilken vår vanliga aritmetik bara är ett specialfall (om än det viktigaste) ur en i praktiken oändlig mängd av olika algebror. Aritmetiken följer alltså ur algebran, och inte tvärtom. Idag handlar inte algebran för matematiker i första hand om att finna rötter till ekvationer, utan om att söka gemensamma strukturer bland en rad matematiska objekt som definieras av bestämda axiomuppsättningar.
Det finns forskare som hävdat att människans sätt att tillägna sig algebra- kunskaper i stort följer den historiska utvecklingen, och att detta medför en rad implikationer för undervisningen (t.ex. Sfard, 1995; Katz, 2007; Moreno- Armella, Hegedus & Kaput, 2008). Exempelvis skulle retorisk algebra och arit- metik alltid föregå symbolisk algebra i tiden, och abstrakta algebraiska regler måste komma sist i utvecklingen. Detta avspeglar också den syn på lärande i olika abstraktionssteg som följer på varandra, och som företrätts av Piaget, Vygotskij (1999), m.fl. Enligt den synen genomgår alla elever (i varierande takt) en enkelriktad utveckling aritmetik ĺ algebra, och detta har influerat en lång rad forskare som studerat ”övergången” och de problem elever har att klara olika aspekter av den.
Några exempel för att belysa de varierande inriktningarna på dessa över- gångsproblem kan ges. Cerulli & Mariotti (2001a) studerade skillnaden mellan hur elever i grundskolans senare år gör beräkningar med tal och med bokstäver. De hävdar att övergången inte alls är smidig, utan representerar snarare en kog- nitiv diskontinuitet. Gallardo & Hernandez (2005) undersökte nollans olika betydelser för övergången mellan aritmetik och algebra för en motsvarande åldersgrupp. Warren (2003) ville istället se hur algebraisk struktur, som exem- pelvis relationer mellan uttryck (ekvivalens, olikhet), gruppegenskaper hos talen (kommutativa lagen m.fl.) eller samband mellan operationer (prioriteringsreg- ler), kunde understödja övergången. Gemensamt för dessa studier är att de del- tagande eleverna oftast är i ålder med grundskolans senare år i Sverige, vilket visar hur allmän föreställningen är om att övergången bara kan genomföras vid ett bestämt stadium i deras kognitiva utveckling. Arbete med i grunden algebra- iska regler under tidigare år menar man inte är ”riktig algebra”, utan ges namn som ”prealgebra” eller ”preparation för algebra”.
Mot detta synsätt står ett som kommit alltmer i förgrunden, nämligen att algebran inte bör vara låst till en speciell ”övergångstid” i skolundervisningen, och att förbindelsen mellan aritmetik- och algebraaktiviteter är dubbelriktad och utan någon bestämd gräns. I själva verket kan aritmetiken betraktas som en del av och ett specialfall av algebran. Den algebra eleverna möter i de tidigare åren kallas helt enkelt tidig algebra (early algebra) (se t.ex. Kieran, 2006; Carraher & Schliemann, 2007), och en rad forskningsresultat har visat att den tidigare föreställningen att dessa elever inte skulle ha de kognitiva förutsättningarna för att tillägna sig algebraiskt tänkande är felaktig (t.ex. van Amerom, 2002; Blanton & Kaput, 2004; Subramaniam & Banerjee, 2004; Carraher m.fl., 2006; Dougherty, 2007). Elevernas arbete med aritmetik kan leda till algebraiska abstraktioner av skilda slag, och förståelse av dessa kan leda till en smidigare och mer mångsidig aritmetisk förmåga. Bokstavssymboler och andra symboler är också möjliga att introducera i undervisningen långt tidigare än vad som är vanligt nu, rentav i de första skolåren. Vikten av att uppmärksamma den intima relationen mellan aritmetik och algebra i matematikundervisningen avspeglas t.ex. i gymnasieelevernas förståelse för variabler. Malisano & Spagnolo (2009) undersökte hur denna påverkar deras förmåga att lösa textbaserade problem. En av de speciella svårigheter de spårade i studien var elevernas bristande förmåga att omsätta aritmetiska samband i symbolisk-abstrakt form.