Likhetstecknet är en symbol med central betydelse i matematiken, och då även inom algebran. Före Robert Recordes introduktion av symbolen 1557 hade man beskrivit likhet mellan två matematiska uttryck, storheter eller geometriska ele- ment med text som var speciellt anpassad för situationen. Den införda symbolen ”=” kom alltså att betyda flera olika saker. Vad menar vi t.ex. när vi om två sträckor i en geometrisk figur skriver att AB = CD? Sammanfaller sträckorna eller är de lika långa? Och i det senare fallet, hur vet vi att de är lika långa? Frå- gan om likhetstecknets olika betydelser och tolkningar är av största vikt i skol- matematiken, från tidiga år till universitetsnivå. Därför är även forskningsresul- tat från yngre elevers tänkande kring symbolen av intresse för att förklara exem- pelvis gymnasieelevers sätt att behandla den.
Det är huvudsakligen två typer av tolkningar som är dominerande. I den ena ses likhetstecknet som en operator, och den aktivitet som blir följden är av typen att beräkna eller förenkla. I de andra ses det som en relationell symbol, med aktiviteter som att jämföra eller strukturellt transformera. Det finns tecken på att elever genomgår en utveckling mot att kunna omfatta alltfler tolkningar, och där
det relationella synsättet representerar en högre abstraktionsnivå i tänkandet. Sáenz-Ludlow och Walgamuth (1998) undersökte utvecklingen av tredjeårsele- vers användning och tänkande kring likheter. Först använde eleverna olika informella sätt att uttrycka likhet, t.ex. med ord. När sedan likhetstecknet inför- des, såg alla elever det som en uppmaning att göra en beräkning. Senare kom de även att upptäcka den relationella innebörden, men först efter en längre process där lärarens roll var avgörande (se även Freiman & Lee, 2004). Synen på lik- hetstecknet som i första hand en operator kan dock vara dominerande långt fram i elevernas utveckling. Knuth, Stephens, McNeil och Alibali (2006) visade i en undersökning av elever i år 6-8 att mer än hälften av eleverna i första hand använde en operationell definition av likhetstecknet. Kieran (2007) beskriver studier där även elever/studenter på gymnasie- och universitetsnivå uppvisar denna preferens.
Inom algebran finns det många övningar som är rent operationella, och där likhetstecknet ofta är implicit. Ett exempel är uppgifter i läroböcker av typen , där eleven förväntas inleda med att skriva ett likhetstecken och sedan det förenklade uttrycket (resultatet av operationen). Övningar av den typen riskerar att förstärka elevers operationella uppfattning, och kan ställa till problem med utvecklingen mot ett relationellt tänkande vid ekvationslösning (se t.ex. Kieran, 1992). y 5 x y 2 x 3
När tecknet används som relationell symbol i algebran är det viktigt att skilja på de olika avsikterna man har. Dessvärre förekommer det olika definitioner av exempelvis ordet ”ekvation” (se t.ex. Godfrey & Thomas, 2008). Jag kommer här att benämna alla uttryck där likhetstecknet ingår med likhet. Om likheten är sann för vilket värde som helst på de ingående variablerna är det en ekvivalens eller identitet (ex. 3(2x5y) 6x15y). Om den bara är sann för vissa värden (eller inget alls) på variablerna är det en ekvation (ex. 2x5y 16). Här bör man observera att även det man i första hand uppfattar som ett samband (t.ex. ) med denna definition kan ses som en ekvation. Godfrey och Thomas använder här beteckningarna ”identical equation” resp. ”conditional equation”.
5 x
y
Båda de ovanstående sätten att använda relationell likhet plus det operatio- nella förekommer jämsides i algebraundervisningen, men ofta utan att skillna- derna uppmärksammas specifikt. Eleverna får ibland i stort sett på egen hand försöka utveckla en sådan förståelse, vilket i många fall misslyckas. Godfrey och Thomas’ (ibid.) undersökning av utvecklingen hos elever/studenter från grundskolans senare år fram till universitetet bekräftar detta. De skriver:
If students have a view of the equals sign as signifying the result of a procedure, or only as a conditional equality, as many in our study did, and have not constructed the properties of an equivalence relation, they will not
be able to interact fully with the mathematical equation object, or make good progress in their transition to university mathematics. (s. 89)
Ett stort antal studier har gjorts kring hur elever arbetar med ekvationslös- ning, och detta delområde tillhör de tidiga inom algebraforskning (se t.ex. Kie- ran, 2006). Många av problemen eleverna möter är också välkända. Några nyare studier har också gjorts, speciellt sådana som involverar teknologiska verktyg. Här kan nämnas Kierans och Drijvers’ (2006) undersökning av hur elever med hjälp av CAS-verktyg (CAS = Computer Algebra System) och för hand med olika metoder (substitution, faktorisering, expandering eller annan manipule- ring) jämför och själva konstruerar algebraiska uttryck, som sedan bildar ekva- tioner eller ekvivalenser. CAS-verktyget ger också möjligheten att skriva in en likhet och få det logiska svaret ”sant” eller ”falskt” på om den är en ekvivalens, alltså sann för alla variabelvärden. En viktig kommentar de ger, är att de mest produktiva lärandesituationerna uppstod när svaret CAS-verktyget gav på något sätt stod i konflikt med vad elevernas trodde på förhand.
Ett par till ekvationer närliggande områden kan också nämnas. Det första är algebraiska olikheter, för vilka exempelvis Tsamir och Bazzini (2002) visat att elever tenderar att i analogi använda samma metoder som de har för ekvations- lösning, inklusive att (ibland oriktigt) dividera med negativa tal. Det andra är ekvationssystem, som studerats av t.ex. Filloy, Rojano och Solares (2004) och Häggström (2008). I sin studie jämför Häggström detaljerat undervisningen kring system med två obekanta i några klasser från grundskolans senare år i Sverige och Kina, utifrån variationsteori (vilka övningar väljs?) och med fokus på lärarnas genomförande av lektionerna. Resultaten av denna presenteras längre fram i kapitlet.
Slutligen ska nämnas att likhetstecknet kan användas på fler sätt än de ovan nämnda. Vasco (2004) inriktar sig på avsikten med likheten och urskiljer inte mindre än sju olika sådana. Första avsikten är den operationella (som ovan), den andra är den deklarativa (som ekvivalens) och den tredje den förutsägande (som ekvation). De övriga fyra är mer specialiserade. En av dem är den instruerande, som används i en del programmeringsspråk, t.ex. på räknare. Där kan man exempelvis skriva x = x + 1, och menar med det att variabeln ska tilldelas ett värde som är en enhet större än det tidigare. Logiskt ser uttrycket konstigt ut, och ”tilldela” ges nu oftast i programmering en speciell teckenkombination, så att man skriver x := x + 1.
En till den förra närliggande avsikt som Vasco nämner är den stenografiska, då vi tilldelar ett uttryck en speciell symbol. T.ex. i formeln för andragradsekva- tionens lösning kan vi skriva: ”Låt '
2p 2q”. Då blir lösningarna till ekvatio- nen x 2pr '”. Vidare nämner han den postulerande avsikten, med vilken
man exempelvis i en geometrikonstruktion skriver: ”För punkten C på linjen AB, låt AC = CB”. Slutligen beskriver han den statusändrande avsikten, då man vill ändra fokus från något man uppfattar som uppenbart till något som måste bevisas. Ett exempel är ”Visa att (a)b a(b)”. Här måste eleven övergå till att med en rad steg i ett fullständigt bevis klargöra det ”uppenbara”.