Det fanns, som nämnts i kapitel 5, tre huvudsyften med artikel 2. I korthet var dessa att jag ville genomföra en djupare analys av elevsvaren på en central enkät- och intervjufråga i den empiriska studien, att jag ville knyta denna fråga till tidigare forskning samt att jag ville diskutera möjliga vägar för förbättring av
algebraundervisningen, utgående från resultaten av denna analys. Det sista syftet kommer jag att närmare behandla i kapitel 8, medan resultaten från de två första, som också uttrycktes i forskningsfrågorna, sammanfattningsvis relateras här. Samband och representationsformer
En av de utredande uppgifterna i enkät 1 var att förklara sambandet y x5, gärna på flera olika sätt. Vid en uppföljande intervju av 20 elever fick dessa se- dan möjlighet att ytterligare utveckla det de skrivit i enkätsvaret. Ett år senare fick eleverna i enkät 2 besvara en ny, liknande fråga, nu för sambandet
. Det jag med min analys av dessa svar avsåg att undersöka var hur utvecklade elevernas procept (Tall, 2008) var, vilka representationsformer och transformationer de använde (Duval, 2006), samt hur flexibla eleverna var med dessa i en förklarande situation (Andresen, 2006). Speciellt intressant var om man kunde se tecken på reifikation enligt Sfards (1991) definition. Vidare ville jag undersöka vilka förändringar som kunde spåras i elevernas begreppsbild efter ett år, alltså i början av årskurs 2.
5 x 2 y Representations- form
Numerisk Tabell Linje eller graf Annan förkl. Ingen förklaring Vid starten (n = 105) 54 (51 %) 4 (4 %) 6 (6 %) 3 (3 %) 11 (10 %) Efter ett år (n = 86) 17 (20 %) 10 (11 %) 37 (43 %) 0 6 (7 %) Begrepp och objekt
Variabler Funktion Ekvation Algebr. uttryck Reifierat objekt Vid starten (n = 105) 17 (16 %) 10 (10 %) 21 (20 %) 2 (2 %) 9 (9 %) Efter ett år (n = 86) 14 (16 %) 18 (21 %) 12 (14 %) 0 9 (10 %) Tabell 4. Kategorier av elevförklaringar av sambandet y x5 vid starten
av gymnasiestudierna och efter ett års studier
Resultaten (se tabell 4) visar att en majoritet (51 %) av eleverna vid början av gymnasiestudierna föredrar en numerisk förklaring av sambandet mellan x och y. De är också kapabla att lämna förklaringar som innehåller begrepp som variabler (16 %) och ekvationer (20 %), men ganska få nämner direkt funktioner eller använder en funktionsinriktad förklaring (t.ex. med en rät linje) (10 %). Och bara omkring en tiondel av eleverna benämner sambandet som ett algebra- iskt objekt eller använder det på ett sådant sätt, att man kan tolka det som att de ser det som ett objekt (reifikation). Av de 94 elever, som gav någon förklaring
för sambandet alls, var det bara 12 (13 %) som gav två, och en elev som gav tre förklaringar.
Ett intressant faktum avslöjades vid intervjuerna. Många av eleverna hade mött andra representationsformer än de som de angav i undervisningen tidigare, och kunde känna igen dem när de blev påminda. Oftast kunde de också använda dessa former när de blev ombedda att göra det av intervjuaren. Detta var också fallet med vissa av dem som inte gav någon skriftigt förklaring alls av samban- det, vilka utgjorde c:a 10 % av eleverna.
Resultaten från enkät 2 visade på en del förbättringar av det matematiska språket. Förklaringarna var i allmänhet rikare, mer flerordiga, använde tabeller, grafer, etc. Svaren hade förskjutits något från huvudsakligen numeriska till för- klaringar med funktioner och räta linjer med, i många fall, åtföljande tabeller. Det var också färre som benämnde sambandet som en ekvation eller som ett allmänt algebraiskt uttryck. Lite förvånande var kanske det faktum, att ingen förändring av antalet elever som såg det som ett reifierat objekt kunde spåras. I sådana svar angavs det som ”en ekvation”, ”en ekvation för en rät linje” eller helt enkelt som ”en linjär funktion”. Och om man jämför svaren från den första och andra enkäten, så är det praktiskt taget samma elever som visar dessa tecken på reifikation.
En ökning av antalet elever som utnyttjade mer än en representationsform eller mer än ett begrepp kunde konstateras. Dessa fördubblades ungefär: 23 stycken (29 % av dem som besvarade frågan) gav två och 2 elever gav tre olika förklaringar. Det motsvarar ungefär en tredjedel av eleverna. Ett exempel:
Detta är en linjefunktion. y är en funktion. y är dubbelt så stor som x och +5. Du gör en värdetabell. Av detta kan man få fram ett diagram. Här har vi en linje med riktningskoefficienten 2. Där linjen skär y-axeln är m = 5 [värdetabell och tabell finns med] (flicka)
Det är helt klart ett denna elev helt har internaliserat de karakteristiska egenska- perna hos linjära funktioner, och kan snabbt och flexibelt presentera dem på begäran. Hennes konstruktion av ett praktiskt, användbart procept hade kommit tämligen långt, och hon befann sig väl inom Talls (2008) proceptuellt-symbo- liska värld. Det fanns flera elever med ungefär motsvarande förmåga, men man måste också komma ihåg att många fortfarande föredrog en enkel, numerisk för- klaring eller, dessvärre, inte kunde ge någon alls (9 elever). Vilka tänkbara orsa- ker kan det finnas för detta? Gray och Tall (2007) ger ett möjligt delsvar:
If at one stage a learner fails to focus on relevant aspects to produce subtle thinkable concepts and instead learns the steps of the procedure to carry out a specific task, then the human brain lacks the thinkable concept to build on the sophistication required at the next stage and is more likely to resort to the primitive strategy of learning by rote. (s. 37)
I det procedurella tänkandet ligger i grunden idén att i första hand ta till nume- riska metoder eller förklaringar, och om elevernas begreppsbildning är ofull- ständig eller svag, blir denna typ av förklaring vad de spontant tar till, alternativt inte vill visa.
Jämförelse mellan olika utbildningsnivåer
Orsaken till och inspirationen för att just sambandet y x5 användes i den empiriska studien var en undersökning av lärarstudenters föreställningar om några algebraiska uttryck, ekvationer och samband, som tidigare gjorts av Grevholm (1998). Denna indikerade att det fanns allvarliga problem både med förståelsen av den algebraiska notationen och med hur lärarstudenterna kunde utrycka meningen med och representera dessa algebraiska objekt.
I en tidigare artikel hade Blomhøj (1997) presenterat och diskuterat resultat från en studie av hur några elever, som gick sista terminen i klass 9 i Danmark kunde förklara just uttrycket y x5. Bland annat kunde han konstatera att c:a en tredjedel av eleverna faktiskt angav att x hade ett större värde än y i samban- det. En tänkbar förklaring var att det rörde sig om ett grundläggande missför- stånd av ekvationer och likhetstecken. På något sätt ser eleverna det som en jäm- förelse mellan x och y, där x är (+5). En annan var att eleverna ser y som en ”funktionsmaskin”, som ändrar värdena man ”stoppar in”. x är talet man stoppar in, och då görs det 5 större av maskinen. Blomhøj (ibid.) drar slutsatsen:
Analysen har vist, at der for nogle elever kan være betydelig afstand mellem på den ene side de objektive matematiske begreber, der er målet for
elevernes læring, og på den anden side de begreber og
begrebssammenhænge, som eleverne opbygger gennem deres matematiske aktiviteter. (s. 28)
I Grevholms (1998) studie fick studenterna bevara en enkät, som bl.a. innehöll samma fråga som Blomhøj ställde. Bland svaren fanns emellertid inget som angav att x skulle vara det större talet. Däremot erhölls en mängd olika förklar- ingar som Grevholm med ”grounded theory” gav en ny kategorisering. Denna kategorisering utgick jag från och utvecklade enligt min egen teoribakgrund (se ovan) vid analysen av svaren i min egen studie.
Också i Grevholms (ibid.) studie var det påfallande i hur stor utsträckning numeriska förklaringar användes (57 %), medan andra, som exempelvis sådana som angav ”funktion” eller ”ekvation” var sällsynta och eller saknades helt. Även efter en kurs i algebra var bilden av studenternas begreppsuppfattning den- samma, med de numeriska förklaringarna i centrum. Förklaringen kan återigen ligga i det som Gray och Tall (2007) framhåller om hur ”gamla” sätt att se på
exempelvis algebraiska uttryck alltid i grunden finns kvar, och att man tar till dessa når man hamnar i en osäker situation.
Det finns definitiva likheter i resultaten från de tre studierna, Blomhøjs, Grevholms och min, även om missförståndet av det inbördes storleksförhållan- det mellan x och y inte kunde upptäckas i Grevholms (1998) eller i min under- sökning. Speciellt kan man se att mina elever och lärarstudenterna till stor del avgav likartade förklaringar. I båda fallen övervägde från början numeriska för- klaringar och fokus låg på variablerna före algebra- och funktionskursen, men ersattes sedan delvis av ett funktionellt tänkande med fokus på den räta linjen. I båda fallen uppvisade också eleverna/studenterna en rikare konceptuell förstå- else med ett bredare förråd av representationsformer efter kursen, och de hade också beredskap att använda dessa.
Några skillnader mellan dessa två studier kan man också märka, även om de till viss del kan förklaras med delvis olika taxonomi. I min egen undersökning förklarade eleverna ofta (20 %) sambandet som en ekvation, medan detta inte alls förekommer i Grevholms (ibid.) studie. ”Ekvation” var inte en kategori i hennes analys, av det skälet att ingen av studenterna nämnde ordet. Detta tyder på att denna typ av förklaring inte var det första de kom att tänka på. I min enkät föregicks uppgiften av en annan, där eleverna skulle förklara hur man löser en linjär ekvation. Detta kan eventuellt ha färgat svaren, i så måtto att detta begrepp fortfarande fanns kvar i elevernas tankar när de påbörjade förklaringen av sam- bandet.
Sammanfattningsvis:
x Vid starten av gymnasiestudierna uttrycker en majoritet av eleverna i studien sambandet med hjälp av numeriska förklaringar, och använder ofta orden ”ekvation” och ”variabler” vid dessa förklaringar.
x Den vanligaste representationsformen är numeriska tal, med specifika värden som exempel på sambandet mellan x och y. Få elever (c:a 10 %) använder mer än en representation eller förklaring.
x Endast cirka en tiondel uttrycker sambandet på ett sådant sätt att det kan tyda på reifikation.
x Efter ett års studier har de numeriska förklaringarna till stor del ersatts av sådana som kan hänföras till den räta linjens egenskaper, och tabeller och grafer används i större utsträckning. Det är också fler (c:a en tredjedel) av eleverna som visar mer än en representation eller förklaring.
x Det finns stora likheter, men även en del skillnader, i mönstret av förklaringar mellan elever/studenter från senare delen av grundskolan, gymnasiet och lärarutbildningen.