Kunskaper och kunskapsutveckling
För en lärare som undervisar i matematik är det fundamentalt att ha inte bara nödvändiga, utan även goda kunskaper inom ämnet. Men viktigt är också att ha en generell överblick och att förstå hur skolmatematiken förhåller sig till det akademiska ämnet och till andra kunskapsområden. I detta ligger grunden för en matematikfilosofisk uppfattning, som jag menar att man som lärare bör bygga sin undervisningspraktik på. Man behöver noga tänka igenom hur man kan besvara frågor som ”Vad är matematik?” och ”Vad innehåller matematiska akti- viteter?” Lärarens uppfattningar avspeglas i klassrumspraktiken, och påverkar direkt elevernas inställning till ämnet (Hersh, 1997; Ernest, 1991).
Läraren behöver också göra klart för sig vilka slags kunskaper hon/han menar är viktiga och med vilka arbetssätt och undervisningsmetoder dessa ska uppnås av eleverna. Det är tyvärr alltför vanligt att undervisningen inriktas mot att finna ”det rätta svaret”, och de metoder och algoritmer man ”ska” använda för detta (Thompson, 1989; Pehkonen, 2001). Istället menar jag att man bör utgå från meningsfulla matematiska aktiviteter av olika slag (Kaput, 1998; Kieran, 2004b; 2007), och vid organiserandet av dessa även ha en medvetenhet om på vilka sätt de är avsedda att ge eleverna matematisk erfarenhet och bidra till att de utvecklar sin begreppsvärld.
Synen på hur undervisning och lärande går till och lärarens och elevernas roller i klassrumsarbetet är också av stor betydelse (Brousseau, 1997). En soci- alkonstruktivistisk syn på kunskapsbildning hos individen medför ett sätt att organisera undervisningen som utgår från de kunskaper eleverna har och som sedan utvecklar dem i en social kontext (Vygotsky, 1978; Novak, 1998). Som lärare bör man ha ett individuellt förhållningssätt och möta eleverna där de står kunskapsmässigt, men däremot inte bedriva en individuell undervisning där
varje elev arbetar var för sig ”i egen takt”. Istället är det viktigt med samarbete mellan eleverna och kamratstöd när det gäller arbetet med och förståelsen för svåra begrepp, och att som lärare regelbundet diskutera dessa i större grupper eller i klassen för att befästa dessa egenskaper och de samband som finns med andra begrepp.
När det gäller vilka förkunskaper elever måste ha när de påbörjar en gymna- sieutbildning visade vår studie att det inte gick att fastställa någon undre nivå för
sådana. Istället var det andra faktorer (t.ex. de affektiva) som bestämde om de skulle lyckas med algebrastudierna. Men det finns givetvis kunskaper och fär- digheter som är önskvärda för att elevernas utsikter skall upplevas som godare. Bland de viktigaste är aritmetiken tillsammans med en god grundläggande tal- uppfattning, inkluderande negativa tal och rationella tal. Detta hänger samman med algebrans intima samband med aritmetiken (Carraher m.fl., 2006). Om ele- verna har allvarliga brister vad gäller de grundläggande aritmetiska begreppen, behöver dessa avhjälpas innan man bygger vidare med den mer abstrakta alge- bran. Över huvud taget är det nödvändigt att man som lärare försöker skaffa sig en uppfattning om vad eleverna bär med sig av kunskaper och föreställningar om begrepp och processer i matematiken, för att inte de ansträngningar man gör för att leda dem vidare i kunskapsutvecklingen ska bli fruktlösa (Tall, 2008).
Förståelse för matematiska begrepp och färdigheter när det gäller beräk- ningar och metoder utgör inte konkurrerande mål för undervisningen, utan ut-
vecklas i ett samspel i de matematiska aktiviteterna. Undervisningen bör organi- seras så att det sker en växling mellan uppgifter och problem som har den ena eller andra inriktningen. Man måste också vara medveten om att lärandeproces- sen ofta sker språngvis, och att en elev ibland ganska snabbt kan tillägna sig ett
visst begrepp (Freudenthal, 1978; Vygotskij, 1999), medan hon/han under andra perioder i stort sett står stilla i begreppsbildningen. Viktigt för bildandet av sta- bila kunskaper är också att dessa befästs ordentligt genom att de övas och åter- kommer i olika problemlösningskontexter.
Centralt för kunskapsutvecklingen är själva abstraktionsprocessen. Vi varse- blir konkreta objekt och fenomen, som vi kan bearbeta i olika processer. Dessa symboliseras sedan och kan bearbetas på ett mer abstrakt plan, där de kan upp- fattas antingen som den ursprungliga processen eller som ett objekt (Sfard, 1991; Sfard & Linchevski, 1994; Dubinski, 1991). Kombinationen av begrepp och process, då båda synsätten kan alternera, benämner man procept (Gray & Tall, 2001; 2002), och utgör den abstraktionsnivå man som lärare bör eftersträva hos elever när det gäller centrala algebraiska begrepp på gymnasienivå. En ännu högre nivå, som man oftast inte uppnår förrän i samband med högskolestudier, är den som innehåller begreppsdefinitioner som bygger på en rad egenskaper inom ett axiomatiskt system. Dock menar jag, att man för eleverna på det natur- vetenskapliga programmet bör ”glänta på dörren” till denna för skolmatematiken annorlunda matematiska värld, som utgör den mest avancerade i ”matematikens tre världar” enligt Tall (2008).
Symboler och representationsformer
Som matematiklärare måste man vara medveten om de olika symboler och sym- bolsystem vi använder och om den speciella roll dessa spelar i matematiken (Vygotskij, 1999; Winsløw, 2004b; Ernest, 2006; Steinbring, 2006). De mate- matiska tecknen och skriftspråkets tecken utgör kulturella redskap, som männi- skor kommunicerar och överför kunskap med. Men de är också nödvändiga verktyg för eleven för att förstå problemsituationer och att utveckla sina egna kunskaper. Det är alltså av största vikt att man strategiskt arbetar med att utveckla och formalisera dessa symbolsystem i undervisningen, och i samband med detta diskuterar kända problem kring symbolerna med eleverna. Exempel- vis behöver minustecknets skilda roller (Gallardo & Hernadez, 2005), hur lik- hetstecknet uppfattas (Sáenz-Ludlow & Walgamuth, 1998; Knuth m.fl., 2006) och en rad konventioner när det gäller den algebraiska syntaxen (Drijvers, 2003) nogsamt ventileras och exemplifieras.
Av speciell betydelse för hur algebra uppfattas av elever är vilken förståelse de har av bokstavssymbolerna och hur dessa används i olika sammanhang (Ursini & Trigueros, 2001). Förståelsen för symbolerna som okända tal, genera- liserade tal eller tal i funktionssamband kan kopplas till en rad förmågor eleven har på olika abstraktionsnivåer, varav den högsta innebär att denna fullt ut kan symbolisera situationen i den aktuella kontexten. Det är av yttersta vikt att man ger tid i undervisningen för utvecklandet av alla dessa förmågor, och att man
även försöker främja elevernas flexibilitet i uppfattningen av symbolerna. Bloedy-Vinner (2001) påpekar:
As to the difficulty in determining which letters holds which roles, students should know that the roles are context dependent (an issue rarely discussed in the classroom). They should always be told what the role of each letter is, and where the information which determines it comes from. (s. 184)
Vidare bör man ge akt på om något av de tre användningsområdena dominerar hos den enskilde eller hos gruppen/klassen, så att man i undervisningen kan stärka utvecklandet av de övriga. Goda algebrafärdigheter bygger på att man kan hantera samtliga.
En fjärde roll bokstavssymboler har är som parametrar. Speciellt när man arbetar med generaliserade matematiska objekt som exempelvis olika funk- tionstyper, utnyttjar man ofta parametrar, även då dessa är svåra att förstå för eleverna (Ursini & Trigueros, 2004; Drijvers, 2003). Och om man vidare använ- der symbolhanterande verktyg i undervisningen kan parameterframställningar vara tämligen vanligt förekommande, och där kan bristen på förståelse för sam- spelet mellan variabler och parametrar utgöra allvarliga hinder. Det är min åsikt att denna typ av användning av bokstavssymboler bör uppmärksammas betydligt mer i undervisningen, trots att exempelvis läroböckerna tar upp väldigt lite kring den.
Strukturkänsla är en viktig förmåga som man behöver uppöva för att lättare finna bra och strategiskt fruktbara vägar då man arbetar med matematiska pro- blem. Speciellt gäller detta förstås för algebraiska uttryck, ekvationer och sam- band (Boero, 2001; Hoch & Dreyfus, 2004; 2005). Den algebraiska struktur- känslan hänger intimt samman med den numeriska, i det man kan kalla struktu- rell aritmetik. Sådan behöver man arbeta med inom matematiken på alla skol- nivåer, och medvetet träna eleverna i att se ”hela bilden” och inte bara detaljerna i uttryck och beräkningar. Med fördel kan man bygga in strukturövningar i beräkningar och i algebraiska manipulationer som eleverna bara får utföra i huvudet. En sådan övergripande syn på hur man bearbetar matematiken har positiva återverkningar på lång sikt för den enskilde eleven (Novotná & Hoch, 2008).
De olika sätten att betrakta bokstavssymbolerna sammanhänger delvis med de vägar man som lärare kan välja för att eleverna ska kunna närma sig algebran på ett meningsfullt sätt: generaliseringsvägen, problemlösningsvägen och funk- tionsvägen (Bednarz m.fl., 1996; Mason, 1996a). Av dessa är troligen generali- seringsvägen den vanligaste för introduktionen av algebra i dagens skola, och man utgår då ofta från olika geometriska eller numeriska mönster (Küchemann & Hoyles, 2001; Lin & Yang, 2004; Lannin m.fl., 2006). Men det finns en del frågetecken kring hur eleverna förstår generaliseringsprocessen och även hur de
kan överföra begreppen till de övriga sätten att arbeta med algebraiska symboler (Zazkis & Lijedahl, 2002). Man bör, enligt min mening, som lärare iaktta en viss försiktighet när det gäller det gäller att enbart förlita sig till denna väg.
En tämligen traditionell väg att närma sig algebra är som ett problemlös- ningsverktyg. Typiskt i läroböckerna är att eleven, när denna tränat på en viss manipulativ färdighet, därefter presenteras med en textuppgift, ett ”problem”, som ska lösas just med hjälp av denna färdighet. I teorin ska alltså algebran ta vid där aritmetiken inte räcker till (Bednarz & Janvier, 1996), men frågan är om detta är vad eleven uppfattar. När man arbetar med en matematisk aktivitet, som innebär verklig problemlösning, utgör algebran en viktig del av ett större pro- blemlösningsschema. Detta innehåller en rad steg, som bygger på modellering och olika transformationer mellan representationsformer, och som också förut- sätter en rad förmågor hos eleverna, exempelvis formulering, omskrivning, manipulering och tolkning av uttryck, samt kontroll och värdering av lösningar. Som lärare bör man med eleverna strategiskt öva samtliga dessa specifika fär- digheter, och det är klarlagt att sådan träning har en positiv inverkan även på den övergripande problemlösningsförmågan, till och med hos svagpresterande elever (Koedinger m.fl., 2008; Mayfield & Glenn, 2008). Vidare är en problemlös- ningsaktivitet, som jag ser det, snarare lämpad att utgöra introduktion till ett nytt begrepp eller område än att komma sist i avsnittet som en tillämpning av det eleverna redan ska ha lärt sig.
Funktionsvägen till algebrakunskaper ser jag som väldigt lovande, trots att den kanske inte uppmärksammats särskilt mycket i undervisningspraktiken. Det är också den som utvecklats mest under senare år (Kieran, 2006; 2007; Carraher & Schliemann, 2007). Speciellt väl passar den med de grafritande kognitiva verktyg som är vanliga idag. Bokstavssymbolerna har här en dynamisk karaktär, och ses som variabler som kan anta olika värden. Jag menar att en stor del av skolalgebran kan ses som en rad speciella frågor som man ställer kring ett eller flera uttrycks värde. Men de sätt på vilka man bearbetar uttrycket i funktions- perspektivet skiljer sig en del från tidigare, ”traditionella” sätt, vilket innebär att man som lärare måste reflektera över och omarbeta sina sätt att undervisa kring algebra. Detta kan emellertid ge utbyte i det långa loppet, genom att eleverna får möjlighet att bli mer flexibla i sitt sätt att undersöka algebraiska uttryck och dra slutsatser kring dem (Farmaki m.fl., 2004).
När man väljer funktionsvägen till algebra, innebär det samtidigt att man kommer att arbeta med den i olika representationsformer, varav de fyra vik- tigaste är situation/text, tabell, graf och formler/symboler (Janvier, 1987b). Då man utgår från ett samband, ges detta i någon av formerna, exempelvis som en text. Därefter behöver man göra en eller flera transformationer för att kunna stu- dera sambandet ur olika synvinklar. En fördel är om man kan se flera represen- tationsformer samtidigt, och detta ger de grafritande verktygen goda möjligheter
till. Transformationsprocesser av skilda slag är ett grundläggande inslag i all matematikundervisning (Duval, 2006). Den mest närliggande är transformatio- nen från text till ett numeriskt eller algebraiskt uttryck som används till lösandet av alla textuppgifter, men det finns ett antal andra som omvandlar från ett repre- sentationsregister till ett annat (Duval, 2006). Det är viktigt att man som lärare är medveten om de olika typerna av transformationer, behandlingar inom ett register såväl som omvandlingar mellan register, och att man utarbetar övningar där man tränar dessa. Särskild uppmärksamhet bör man också ha på att beteck- ningar och algoritmer oftast är helt olika för samma process i skilda register, och att detta kan innebära väsentliga problem för eleverna (Winsløw, 2004b).
Algebra som en röd tråd i matematikundervisningen
En av mina viktigaste generella insikter om matematikundervisning är att den bör ses i ett helhetsperspektiv, från förskola till högskola (Persson, 2004a). Den metafor jag ofta använder är att undervisningen kan ses som en samling ”röda trådar”, som löper under hela eller delar av elevernas skoltid. Trådarna korsar ofta varandra, och ibland tvinnas två eller flera ihop till kraftigare ”snören”. När undervisningen varit framgångsrik för eleven, bildar alla trådarna det tjocka och starka ”rep”, som vi kallar matematikkunskap.
Algebra och algebraiskt tänkande är en av de viktigaste ”trådarna”, som till- sammans med aritmetik och taluppfattning bildar stommen i elevens matematik- kunskap. Som framgått av en del studier (t.ex. Blomhøj, 1997; Grevholm, 1998; Hansson, 2006), utvecklas elevers algebrakunskaper över lång tid och genom att gradvis tillägna sig alltmer sofistikerade uppfattningar om bokstavssymboler och samband. Detta rimmar också väl med de resultat jag redovisat i artikel 2. Frå- gan är hur utvecklingen av elevers algebraiska tänkande ser ut under samtliga grundskoleår?
En betydande mängd forskning har gjorts kring införandet av algebra och algebraiskt tänkande i undervisningen för de tidigare åren. Några exempel är van Amerom (2002; 2003) som inriktade sig på övergången aritmetikĺalgebra resp. ekvationslösning, Warren (2004) som generaliserade aritmetik till algebra, Blanton och Kaput (2004) som arbetade med samband mellan olika kvantiteter samt Carraher m.fl. (2006) som lät elever lösa problem med hjälp av variabla tallinjer. Gemensamt för resultaten av dessa studier är att dessa inte pekar mot att yngre barn har några kognitiva hinder för att arbeta med det vi menar är typiska algebraiska begrepp och processer, som exempelvis okända tal, generali- serade tal, variabler eller samband mellan storheter. Snarare är det sättet som barnen tillägnar sig dessa idéer som skiljer sig från dem som ofta används när algebra introduceras först i grundskolans senare år. Men detta skiljer i grunden
inte ”tråden” algebra från andra ”trådar”, utan är snarare en funktion av vad som intresserar och motiverar eleverna.
Vidare är, som tidigare diskuterats, gränsen mellan aritmetik och algebra dif- fus. De aritmetiska reglerna avspeglar den underliggande algebra, som styr hur vi får behandla talen i talsystemen. När dessa regler tränas på ett strukturellt sätt (strukturell aritmetik), benämner man det ofta som prealgebra, men jag menar att det i själva verket utgör en viktig del av algebratråden. Och vissa delar av prealgebran är i själva verket förklädd algebra och kan utgöra en direkt intro- duktion till exempelvis ekvationslösning (Fujii, 2003).
För det långsiktiga lärandet är dessa prealgebraiska övningar av mycket stor vikt, eftersom eleverna med dem uppövar det algebraiska tänkandet (se t.ex. Berg, 2009). Lärarna för de yngre barnen bör alltså lägga ordentlig vikt vid detta perspektiv på aritmetiken, och diskutera det ingående med dem så att alla skaffar en grundläggande förståelse för strukturerna. Men jag menar även att man inte ska tveka att, när det är lämpligt för barnen samt med för åldern och utveck- lingen anpassade aktiviteter, införa bokstavssymboler i olika kontexter. Det man emellertid bör tänka på är att inte tvinga symbolerna på någon som inte är redo för dem, utan att låta barnen själva få upptäcka olika egenskaper, t.ex. hur man förenklar uttryck med bokstäver.
En viktig fråga är självfallet vid vilket skede i skolundervisningenalla ele-
ver bör ha mött bokstavssymboler, i åtminstone någon av de roller de används i. Utifrån den forskning som finns och de egna forskningsrönen, vill jag rekom- mendera att detta sker någon gång i de mellersta åren, dvs. åldrarna 10-12 år. En strategisk satsning på att stärka algebran i grundskolans undervisning genom att starta introduktionen tidigare än vad som är allmänt idag, menar jag skulle kunna leda till avsevärda förbättringar vad gäller elevernas matematiska för- måga och utveckling, inte bara på grundskolan utan även i resten av deras ut- bildning och i deras vuxna liv.
Teknologi i matematikundervisningen
Som framgår av min artikel 3 finns det i forskningen en mängd resultat som pekar mot den positiva inverkan som användningen av teknologi i undervis- ningen har på elevers förmåga inom matematiska aktiviteter och förståelse av begrepp och processer (t.ex. Streun m.fl., 2000; Burrill m.fl., 2002; Ellington, 2003; Reznichenko, 2007b). En stor del av dessa var inriktade på grafritande räknare, vilket inte är förvånande eftersom dessa utgör de vanligaste teknolo- giska verktygen på gymnasienivå, och i flera länder även i grundskolans senare år (secondary school). I grundskolans tidigare år används mest enkla räknare, med de fyra räknesätten och möjligen någon funktion, som exempelvis kvadrat- rot.
Användningen av räknare i matematikundervisningen har debatterats sedan de introducerades i undervisningen på 1970-talet. En intensiv forskning under 1980-talet fastslog dock att räknarna inte påverkade elevernas kunskaper på ett negativt sätt utan istället gav en rad fördelar, inte minst vad gäller utvecklingen av klassrumsundervisningen (se t.ex. Sigg, 1982; Hedrén, 1984). Dessa enkla räknare har på ett framgångsrikt sätt implementerats i skolundervisningen av idag, men arbetssätten och –metoderna vid användningen av dem är ändå i behov av att ständigt diskuteras och omprövas. I vilka situationer bör de utnytt- jas och vad är avsikten med användningen?
När de grafritande räknarna kom i slutet av 1980-talet, fick debatten förnyad kraft och pågår delvis fortfarande, trots de tämligen övertygande bevisen för deras övervägande positiva inverkan. En del skeptiker påstår att de undergräver både elevernas beräkningsförmåga och deras förståelse för vad de gör när de arbetar med matematiska aktiviteter (Thunberg & Lingefjärd, 2006). Men redan några år efter de grafritande räknarnas introduktion presenterades studier som pekar mot att dessa, i likhet med de enkla räknarna, på flera sätt kan förbättra elevernas lärande (t.ex. Hembree & Dessart, 1986; 1992; Gilchrist, 1993). Och den nyare forskning jag presenterar i artikel 2 bekräftar och fördjupar bara den bilden. En viktig lärdom är också att de grafritande räknarna medför föränd- ringar i de sätt som viktiga begrepp inom bl.a. algebra, funktionslära och analys framställs på i undervisningen. De ger också eleverna möjligheter att ta en mer aktiv del i de matematiska aktiviteterna och att förstärka deras problemlösnings- kunnande, exempelvis vad gäller modellering och hypotesbildning.
Jag menar att resultaten av den stora mängden forskning kring grafritande verktygs inverkan på elevernas matematiklärande tämligen entydigt pekar på att man med deras hjälp kan förbättra matematikundervisningen, även då inom om- rådet algebra. Detta är naturligtvis under en del förutsättningar, som jag åter- kommer till när jag diskuterar utvecklingsarbeten nedan. Med hänvisning till den röda tråden i matematikundervisningen och funktionsbaserat tänkande vill jag vidare rekommendera att grafritande verktyg (räknare eller datorprogram- vara) introduceras redan under grundskolans senare år. Förutom att stärka ele- vernas begreppsuppfattning där, utgör de även en förbindande länk mellan matematikkurserna i grundskolan och gymnasiet. Övergången till grafritande verktyg vid starten av gymnasiestudierna kan av många elever kännas ganska abrupt och omvälvande.
De symbolhanterande verktygen (CAS) förnyar diskussionen om huruvida teknologin utövar en positiv eller negativ påverkan på elevernas matematiska kunnande. Här är bilden mer komplex, till stor del på grund av att dessa verktyg är så kraftfulla att de potentiellt kan förändra matematikundervisningen ganska radikalt. De kräver också kunskaper och färdigheter hos lärare som dessa troli- gen inte kunnat skaffa sig i sin yrkesutbildning, och som det ofta är mödosamt