Bevis

algoritm

definition regel som talar om hur man stegvis kan beräkna något eller hur man stegvis kan lösa ett problem

exempel Algoritmen för division av hela tal. Euklides’ algoritm.

etymologi Ordet algoritm, ursprungligen algorism, är bildat av namnet på matematikern, astronomen, astrologen och geografen Muh.ammad Ibn M¯us¯a al-Khw¯arizm¯ı, som var verksam i Bagdad (Ba ˙gd¯ad) under första hälften av 800-talet. Al-Khw¯arizm¯ı betyder ’han från Khw¯arezm’. (Khw¯arezm var en historisk provins kring den nuvarande staden Khiva i Uzbekistan och var betydligt större än den nuvarande provins-en Khorezm.)

I sin nuvarande betydelse användes termen av Leibniz 1684 i en uppsats där han formulerade de grundläggande deriveringsreglerna.

antagande

synonym hypotes1

definition utsaga som antas vara sann i en sats eller under ett resonemang

etymologi Hypotes kommer av grekiskans hypóthesis ’förutsättning, det under-lag på vilket man bygger sitt resonemang’, bildat av hypó ’under’ och tithénai ’att sätta, att ställa, att lägga’.

bevis

definition övertygande argumentation för att ett matematiskt resultat skall ac-cepteras som sant

kommentar Motsvarande verb är bevisa.

Ett matematiskt bevis för en sats skall med logisk nödvändighet leda läsaren från teorins accepterade axiom och satsens antaganden till satsens slutsats.

Kraven på hur ett gott matematiskt bevis skall vara beskaffat har varierat under historiens lopp. I stort sett kan man säga att kraven ökat med tiden.

Det är inte så att ett bevis måste innehålla alla logiskt nödvändiga steg för att accepteras. Det kan få innehålla små luckor, om dessa är sådana att en rutinerad läsare lätt kan fylla ut dem. Därmed står det klart att läsarens kunskaper avgör huruvida luckorna är acceptabla.

jämför logisk följd s. 119, slutledning s. 121

deduktiv metod

definition bevismetod som använder logiska resonemang utgående från givna antaganden

direkt bevis

definition Bevis som utgår från antagandena och därifrån leder till slutsatsen

jämför indirekt bevis s. 130

empirisk

definition grundad på erfarenheten

etymologi Empirisk kommer av grekiskans empeiría ’erfarenhet’, sammansatt av en ’i’ och peíra ’försök, experiment’.

heuristik

definition studiet av och praktiserandet av heuristiska lösningsmetoder

kommentar Den förste som i modern tid uppmärksammade heuristikens betyd-else i utbildning och forskning var George Pólya (Pólya György, 1887 1985).

heuristisk

definition utnyttjande allmänna principer för problemlösning, tidigare erfaren-heter, försök och gissningar

kommentar Heuristiskt lärande och problemlösande söker sig fram genom all-männa principer snarare än standardlösningar och prövar flera möj-ligheter så att man lär sig av begångna misstag och successivt når fram till målet.

etymologi Adjektivet heuristisk är bildat av det grekiska verbet heuriskein ’att finna (vad man söker), att uppfinna, att upptäcka’; jämför med ut-ropet Heur¯eka! ’Jag har funnit (det)!’ ["h >eure:ka], som tillskrivs Arkimedes (287 212 f. Kr.).

härleda

synonym deducera

definition hom ett påståendei från givna antaganden och med hjälp av givna regler och logiska resonemang nå fram till påståendet;

hom en formeli genom resonemang och räkningar nå fram till formeln

kommentar Motsvarande substantiv är härledning och deduktion, som syftar på processen; någon gång på resultatet.

etymologi Deduktion kommer av latinets deducere ’att leda bort, att härleda’.

indirekt bevis

definition bevis som utgår från att det som skall bevisas är falskt och bevisar att något av antagandena är falskt

kommentar I stället för en implikation P ⇒ Q betraktar man ¬Q ⇒ ¬P . Ett direkt bevis för det senare påståendet blir ett indirekt bevis för det förstnämnda.

Man säger att ¬Q ⇒ ¬P uppstår genom kontraposition av P ⇒ Q. De två påståendena är ekvivalenta i klassisk logik, men inte i den intuitionistiska logiken.

jämför direkt bevis s. 129

induktion

synonym matematisk induktion

definition bevismetod för en uppsättning påståenden grundad på att alla natur-liga tal kan nås från talet 0 medelst ändligt många steg

kommentar Påståendena kan vara ändligt eller uppräkneligt oändligt många. Man bevisar först påståendet P₀, induktionsbasen. Därefter visar man att påståendet P_nimplicerar P_n+1för alla n ∈ N,

induktions-steget, eller, i fallet ändlig induktion, för alla n upp till en viss gräns.

Ordet induktion har en helt annan betydelse inom vetenskaps-filosofin: där betyder det att en generell utsaga görs trolig genom ett antal enskilda exempel.

etymologi Induktion kommer från det latinska verbet inducere ’att föra in’.

iterera

definition utföra en procedur upprepade gånger

kommentar Genom iteration kan man bevisa existensen av lösningar till olika ekvationer.

exempel Den positiva roten ur 2 är det geometriska medelvärdet av 1 och 2, men också lika med det geometriska medelvärdet av x och 2/x för varje positivt tal x. Om x och 2/x ligger nära varandra, kan man i stället för det geometriska medelvärdet ta det aritmetiska medelvärdet ¹₂(x+2/x). Denna idé har länge använts för att beräkna ett närmevärde för√

2 genom iterering. Vi kan till exempel ta x = 1 som en första approximation och därefter det aritmetiska medelvärdet av 1 och 2/1, som är 1,5. Därefter tar vi det aritmetiska medelväret

av 1,5 och 2/1,5, som är ≈ 1,416 667. Det aritmetiska medelvärdet av detta tal och 2 genom detta tal är ≈ 1,414 216, som redan är en ganska god approximation av√

2 ≈ 1,414 214. Man kan visa att man kan beräkna hur många decimaler som helst i den decimala repre-sentationen av√

2 på detta sätt.

Vi kan visa existensen av en lösning till differentialekvationen u⁰ = f (u) genom att först definiera en funktion u0och sedan definiera uj+1 genom att lösa u⁰_j+1= f (uj), j ∈ N. Man itererar proceduren som från ujger uj+1. Under lämpliga antaganden konvergerar följden (uj) mot en lösning till ekvationen.

etymologi Iterera kommer av det latinska verbet iterare ’att upprepa’, bildat till iterum ’ånyo, om igen’.

konstruktivt bevis

definition bevis som från antagandena leder fram till slutsatsen genom steg som alla innebär konstruktion av de efterfrågade matematiska objekten

jämför existenssats s. 125, indirekt bevis s. 130, motsägelsebevis s. 131

motsägelsebevis

synonym reductio ad absurdum

definition bevis som utgår från att satsen är falsk och härleder en motsägelse

kommentar Om satsen har formen P ⇒ Q, så är dess negation P & ¬Q, och det är från den hypotesen som man bevisar en motsägelse.

Denna typ av bevis förutsätter att man accepterar lagen om det uteslutna tredje, d.v.s. att det inte finns någon annan möjlighet än att ett påstående är sant eller falskt.

jämför direkt bevis s. 129, indirekt bevis s. 130

paradigm

definition hinom grammatikeni böjningsmönster;

hinom vetenskapsfilosofini tankemönster inom en vetenskap

kommentar Den gamla språkvetenskapliga betydelsen av ordet har numera över-skuggats av den som Thomas Kuhn (1922 1996) skapade i sitt verk The Structure of Scientific Revolutions (1962), där han beskrev hur forskarnas tankemodeller styr vilka frågor de ställer, och därmed vilka svar som kan nås.

etymologi Ordet paradigm är från grekiska parádeigma, avledd från verbet paradeiknýnai ’att ställa bredvid, att visa sida vid sida’.

jämför paradigmskifte s. 131

paradigmskifte

synonym vetenskaplig revolution

definition hinom vetenskapsfilosofini förkastande av ett tankemönster inom en vetenskap och övergång till ett annat, annorlunda

kommentar Avvikelser från en teori betraktas först som undantag, anomalier eller observationsfel, men en tillräckligt stor samling anomalier kan till slut (under gynnsamma omständigheter) bringa ett paradigmskifte åstad.

etymologi Termen paradigmskifte fanns inte i Thomas Kuhns bok The Structure of Scientific Revolutions (1962) utan uppstod i debatten i anslutning till denna.

jämför paradigm s. 131

paradox

synonym antinomi

definition svårförklarad motsägelse

exempel Zenons paradox om Akilles, som inte kan springa ikapp sköldpaddan trots att han springer dubbelt så fort som denna. (Denna paradox är skenbar och har fått en tillfredsställande förklaring genom teorin för summering av oändliga serier.)

Bertrand Russell (1872 1970) formulerade paradoxen om barb-eraren som rakar alla som inte rakar sig själva. (Denna paradox har lett till en utveckling av mängdläran.)

etymologi Paradox kommer av grekiskans para- ’bredvid-’ och doxa ’mening’. Antinomi kommer av grekiskans antinomía, en juridisk term med betydelsen ’lagens motsägelse mot sig själv’, bildat av anti- ’mot-’ och nómos ’lag’.