5. Algebra
5.3. Ekvationer
additionsmetoden
definition den metod för att lösa lineära ekvationssystem som består av ledvis addition, d.v.s. högerleden i ekvationerna adderas för sig och vänster-leden för sig
kommentar Idén med additionsmetoden är att den ena variabeln skall försvinna då man adderar ekvationerna.
exempel För att eliminera y i ekvationssystemet 11x + 3y = 155 och 5x + 2y = 80 multipliceras den första ekvationen med 2 och den andra med −3. Man får då 22x + 6y = 310 och −15x − 6y = −240, så att termerna med y försvinner efter ledvis addition: 22x − 15x = 310 − 240.
andragradsekvation
definition ekvation av andra graden
kommentar En ekvations grad bestäms av den potens som har den största expon-enten. En ekvation med en obekant kan ha högst det antal lösningar som svarar mot ekvationens grad (om denna är minst 1).
En andragradsekvation kan allmänt skrivas på formen ax2+ bx + c = 0 med a 6= 0 och har således högst två lösningar. Lösningarna är
x = −b ±√b2− 4ac 2a ,
vilket visar att det finns en rot, kallad dubbelrot, om b2− 4ac = 0, annars två olika rötter med medelpunkt −b/(2a).
exempel x2− 10x + 16 = 0.
historia I babylonisk matematik (omkring 1500 f. Kr.) löstes geometriska pro-blem som motsvarade andragradsekvationer genom kvadratkomplett-ering. Diophantos (troligen under 200-talet e. Kr.) formulerade och löste andragradsekvationer. De återkommer också i arabisk matem-atik från 800-talet och framåt.
jämför algebraisk ekvation s. 97
diofantisk ekvation
definition ekvation med två eller flera obekanta där lösningarna skall vara heltal
exempel Ekvationen xp+ yp= zp, där alla fyra obekanta skall vara heltal.
historia Denna typ av ekvationer har fått namn efter Diophantos, som levde i Alexandria, troligen på 200-talet e. Kr. Diophantos själv accepterade positiva rationella tal som lösningar. Teorin för positiva heltalslös-ningar utvecklades av indiska matematiker från och med 500-talet.
diskriminant
definition hför en andragradsekvation x2+ px + q = 0i uttrycket p2− 4q
kommentar Diskriminanten är noll precis när ekvationen har en dubbelrot; den diskriminerar (urskiljer) fallet med dubbelrot från fallet med enkla rötter.
Man kan mera allmänt definiera diskriminanten för n tal x1, . . . , xnsom produkten av alla kvadrater (xj− xk)2över alla j och k med j > k. Den är noll precis när minst två av talen är lika. Därmed kan man definiera diskriminanten för ett polynom som diskriminanten för dess rötter. För ett polynom av andra graden återfår man den redan givna definitionen.
dubbelrot
definition multipelrot av multipliciteten 2
exempel Ekvationen x2− 4x + 4 = 0 har dubbelroten 2.
jämför andragradsekvation s. 93, multiplicitet s. 97
ekvation
definition matematisk utsaga som innehåller en likhet
kommentar Ofta innehåller en ekvation en eller flera obekanta. En ekvation som gäller för alla värden på de obekanta talen kallas identitet.
De obekanta betecknas med bokstäver, ofta x, y eller z. En lös-ning till en ekvation är ett eller flera tal som gör att vänstra ledet (VL) är lika med högra ledet (HL).
exempel 2 + 3 = 5; 2 + 3 = 7;
a2− b2= (a + b)(a − b) (konjugatregeln, en identitet); 7x − y = 14;
x2+ 3x = 25.
etymologi Ekvation kommer av latinets aequatio ’likställande, utjämning’, som kom i bruk under 1200-talet. Det är ett substantiv till verbet aequare ’att göra lika’.
jämför likhet s. 16
ekvationssystem
definition två eller flera ekvationer som skall gälla samtidigt
kommentar Man söker de lösningar som är gemensamma för samtliga ekvationer i systemet.
exempel Systemet 2x + 3y = 8, 4x + y = −4. Systemet x3− y5= 1, x2+ y2= 4.
ekvivalenta ekvationer
definition ekvationer som har samma lösningsmängd
exempel 3x − 2 = x + 2 är ekvivalent med x − 2 = 0.
eliminera
definition vid lösandet av ekvationssystem bortskaffa en eller flera obekanta
kommentar Vid elimination reduceras också antalet ekvationer.
jämför additionsmetoden s. 93, substitutionsmetoden s. 99
enhetsrot
definition havseende ett visst positivt heltal ni lösning till ekvationen zn = 1
kommentar Enhetsrötterna kan skrivas z = e2πik/n= cos(2πk/n) + i sin(2πk/n), där k = 0, . . . , n − 1. De är alltså n till antalet.
falsk rot
definition tal som kommit fram under lösandet av en ekvation men som inte uppfyller ekvationen
kommentar En falsk rot kan uppstå genom att man gör en operation så att man får en ny ekvation med flera lösningar än den ursprungliga ekvationen. De två ekvationerna är alltså inte ekvivalenta.
Vissa operationer på de två leden av en ekvation kan leda till en ny ekvation som följer av den första men inte är ekvivalent med den. Dit hör kvadrering.
Omvänt kan division med en kvantitet som är noll (fast detta inte syns) leda till att en rot till den ursprungliga ekvationen inte är en rot till den nya ekvationen.
exempel Om vi vill lösa ekvationen sin x = cos x, så kan vi kvadrera och får då sin2x = cos2x = 1 − sin2x, som löses av sin x = ±1/√
2, x = ±π/4 + kπ, k ∈ Z. Men alla dessa x löser inte den ursprungliga ekvationen. Vissa av de nya rötterna måste alltså förkastas.
funktionalekvation
definition ekvation med en eller flera obekanta som är funktioner
exempel Funktionalekvationen f2 = f löses av alla funktioner som endast antar värdena 0 och 1.
En annan typ av funktionalekvation är när man söker alla funkt-ioner f : R → C sådana att ekvationen f (x + y) = f (x)f (y) skall gälla för alla x, y ∈ R.
förstagradsekvation
synonym lineär2 ekvation
definition algebraisk ekvation av första graden
exempel Ekvationen 2x − 3 = 9. Ekvationen 7x − y + 5z = 14.
jämför algebraisk ekvation s. 97, räta linjens ekvation s. 98, planets ekvation s. 97
grafisk metod
definition metod för lösning av ekvationer eller ekvationssystem med hjälp av funktioners uppritade grafer
jämför ekvationssystem s. 95
homogen ekvation
definition algebraisk ekvation sådan att alla termer är av en och samma grad
exempel Ekvationen x + 2y − 3z = 0 är homogen av grad 1.
Ekvationen 2x2y3+ 4xy4− 5z5= 0 är homogen av grad 5.
Ekvationen 2x − 3y = 1 är inte homogen. Den kallas inhomogen (inte *heterogen).
homogent ekvationssystem
definition ekvationssystem i vilket samtliga ingående ekvationer är homogena av samma grad
jämför homogen ekvation s. 96, lineärt2 ekvationssystem s. 97
högra ledet
synonym högerledet
definition det led som står till höger om likhetstecknet i en ekvation eller till höger om olikhetstecknet i en olikhet
kommentar En vanlig förkortning är HL.
jämför vänstra ledet s. 99
led
definition uttryck på en av sidorna om likhetstecknet i en ekvation eller på en av sidorna om olikhetstecknet i en olikhet
lineärt
2ekvationssystem
definition ekvationssystem i vilket samtliga ingående ekvationer är av första graden
jämför förstagradsekvation s. 96
lösning
definition htill en ekvation, olikhet eller utsagai sådana värden på de obekanta som gör att ekvationen gäller respektive olikheten eller utsagan blir sann
kommentar En lösning till en ekvation med en obekant kallas ofta för rot.
jämför ekvation s. 94, rot s. 67, satisfiera s. 99
multipelrot
definition htill en algebraisk ekvationi rot som har multiplicitet minst 2
kommentar Om p är ett polynom, så är ett tal c en multipelrot till ekvationen p(x) = 0 om polynomet innehåller (x − c)2som faktor.
jämför multiplicitet s. 97, dubbelrot s. 94
multiplicitet
definition hhos ett nollställe c till ett polynomi det heltal m sådant att poly-nomet är delbart med (x − c)mmen inte med (x − c)m+1
exempel Polynomet x(x − 3)5 har ett nollställe 0 med multipliciteten 1 (ett
enkelt nollställe) och ett nollställe 3 med multipliciteten 5. etymologi Multiplicitet kommer av latinets multiplicitas ’mångfald’.
jämför dubbelrot s. 94, multipelrot s. 97, rot s. 67
omvänd proportionalitet
definition hmellan två storheteri samband sådant att storheternas produkt är konstant
kommentar Om storheterna är x och y så är de omvänt proportionella när det finns en konstant k sådan att y = k/x.
exempel Enligt Newton är gravitationskraften mellan två klotformiga kroppar1
omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan kropparna.
planets ekvation
definition förstagradsekvation i tre variabler
kommentar En sådan ekvation har formen ax+by +cz +d = 0, där koefficienterna a, b, c inte är noll alla tre. Nollställena bildar ett plan i det tredimens-ionella rummet. (Om a = b = c = 0 är lösningsmängden antingen den tomma mängden Ø eller hela R3, mängder som inte är plan.)
polynomekvation
synonym algebraisk ekvation
definition ekvation av typen p(x) = 0 eller p(x, y) = 0 eller motsvarande med flera obekanta, där p är ett polynom
kommentar Polynomets grad2 kallas också för ekvationens grad.
exempel Ekvationen x2+ 5x − 3 = 0, som är av andra graden.
Ekvationen 7x3y4z5− 6x2yz3+ 3 = 0, som är av grad 12.
potensekvation
definition algebraisk ekvation i en variabel med två termer varav den ena är konstant
exempel Ekvationen x7= 25.
jämför algebraisk ekvation s. 97
proportionalitet
definition hmellan två storheteri samband sådant att kvoten1mellan storheter-na är konstant
kommentar Om storheterna är x och y så är de proportionella när det finns en konstant k (proportionalitetskonstanten ) sådan att y = kx. Man skriver då någon gång y ∝ x, och säger att y är proportionell mot x.
exempel Om 1 portion ris utgörs av 0,75 dl så är 3 portioner = 3 · 0,75 dl = 2,25 dl. Proportionalitetskonstanten k är här 0,75 deciliter per port-ion. Rismängden är proportionell mot antal portioner.
etymologi Proportionalitet kommer från ett latinskt prepositionsuttryck pro por-tione ’efter andel’.
pröva en lösning
definition genom insättning undersöka om ett tal eller en uppsättning av tal löser en ekvation, ett ekvationssystem eller en olikhet
kommentar Om den förmodade lösningen till en ekvation är riktig, så skall vänstra ledet bli lika med högra ledet.
jämför sätta in s. 92, satisfiera s. 99
räta linjens ekvation
definition förstagradsekvation i två variabler
kommentar En sådan ekvation har formen ax + by + c = 0, där inte både a och b är noll. Man säger att den är räta linjens ekvation på allmän form. Ekvationens lösningar bildar en linje i planet. (Om a = b = 0 så är lösningsmängden antingen den tomma mängden Ø eller hela R2, mängder som inte är linjer.)
Om konstanten b är skild från noll kan ekvationen skrivas y = −ax/b − c/b. Man inför då k = −a/b och m = −c/b så att ekvat-ionen får formen y = kx + m, som kallas linjens ekvation på k-form. Konstanten m ger y-koordinaten då x = 0: man kan rita upp linjen genom att starta i punkten (0, m). Konstanten k kallas för rikt-ningskoefficienten och anger linjens lutning. När k är positiv lutar linjen uppåt, när k är noll är den horisontell, och när k är negativ lutar linjen nedåt (åt höger räknat). Ett stort positivt eller negativt värde på k ger brant lutning.
m x
2−x
1y
2−y
1y = kx+m
x
y
y
2−y
1x
2−x
1k =
Räta linjens ekvation.
Man kan även beskriva en linje genom dess ekvation på
para-meterform. Det innebär att man ger linjen som mängden av alla
punkter (x, y) = (x0+ tα, y0+ tβ) = (x0, y0) + t(α, β) med t ∈ R, där (x0, y0) är en punkt på linjen och (α, β) dess riktning.
jämför förstagradsekvation s. 96, intercept s. 158, rät linje s. 186, riktningsko-efficient s. 186
satisfiera
definition uppfylla ställda krav
kommentar Man säger att en lösning till en ekvation satisfierar ekvationen.
etymologi Satisfiera kommer av det latinska satisfieri ’att bli tillfyllest’, samm-ansatt av satis ’tillräckligt, tillfyllest’ och fieri, passivum till facere ’att göra’.
jämför lösning s. 97
substitutionsmetoden
definition den metod för lösning av ekvationssystem som innebär att man löser ut en av de obekanta ur en av ekvationerna och sätter in den i de andra
exempel I ekvationssystemet 3x + 4y = 18, 2x − 3y = −5 kan vi lösa ut x ur den andra ekvationen: x =32y −52, och sätta in det funna värdet i den första för att få en ekvation med en enda obekant: 3 32y−52+4y = 18.
etymologi Substitution kommer av latinets substitutio ’ersättning, utbyte’, sub-stantiv till verbet substituere ’att ersätta, att byta ut’.
jämför ekvationssystem s. 95, eliminera s. 95, sätta in s. 92
vänstra ledet
synonym vänsterledet
definition det led som står till vänster om likhetstecknet i en ekvation eller till vänster om olikhetstecknet i en olikhet
kommentar En vanlig förkortning är VL.