9. Geometri
9.2. Vinklar
definition hnär en transversal skär två räta linjeri två vinklar med spetsarna i varsin skärningspunkt, belägna på motsatta sidor om transversalen och båda i området mellan linjerna eller båda utanför detta område
A A’
B
B’
Alternatvinklar: A och A0är inre alternatvinklar; B och B0 yttre alternatvinklar.
kommentar I euklidisk geometri är alternatvinklarna lika om och endast om de två givna räta linjerna är parallella. Man säger att de är inre
alternat-vinklar när de ligger mellan linjerna, annars yttre alternatalternat-vinklar.
Enligt en äldre definition avsågs med termen alternatvinklar end-ast de inre. Definitionen är här vidgad.
historia Med alternatvinklar avsåg Euklides de inre. De omnämnes i Euklides’ satser 27 och 29 i hans första volym. Den första säger att om alt-ernatvinklarna är lika, så är linjerna parallella. Den andra ger, med stöd av parallellpostulatet, omvändningen: om linjerna är parallella, så är alternatvinklarna lika.
Mårten Strømer (1707 1770) skriver 1744 ett förtydligande just innan sats 27: ”Om en rät linea EF , råkar tvänne andra räta lineer AB, CD, så kallas de tvänne vinklarna, som stå emot hvarandra innan til på hvar sin sida om henne, alternat vinklar.”
etymologi Orddelen alternat kommer av latinets alternatus, perfekt particip av alternare ’att växla om, att ömsevis utföra något’; grundordet är alter ’den andre av två’.
jämför likabelägna vinklar s. 193
argument
2definition hför ett komplext tal zi tal t sådant att z = |z|eit= |z|(cos t + i sin t)
kommentar Om t är ett argument för z, så är även t + 2πk det för varje heltal k. För att få argumentet entydigt bestämt då z 6= 0 kan man föreskriva att 0 6 t < 2π.
Produkten av två komplexa tal har ett argument som är lika med summan av talens argument. Om man avser argumentet i intervallet [0, 2π[, så får man ibland subtrahera 2π, d.v.s. räkna modulo 2π. Med vanliga beteckningar skriver man arg(zw) ≡ arg z + arg w (mod 2π).
gradskiva
definition platt skiva avsedd att mäta vinklar med
hornvinkel
synonym kontaktvinkel
definition område mellan två kurvor som möts i punkt där de har en gemensam tangent
kommentar En hornvinkel är alltså inte en vinkel enligt definitionen av begreppet vinkel
exempel Tangenten till en kurva bildar en hornvinkel med kurvan.
historia Euklides nämner i sats 16, bok III i Stoikheía (i latinsk översättning Elementa) ’Grundbegreppen’ att hornvinkeln mellan tangenten till en cirkel och cirkeln är mindre än varje rätlinjig vinkel. Under främst femton- och sextonhundratalen vållade detta påstående en häftig de-batt om huruvida hornvinkeln skulle betraktas som en vinkel eller inte. Den vedertagna lösningen blev att hornvinkeln kan betraktas som en synlig infinitesimal, vars storlek beror på kurvans krökning.
komplementvinkel
definition htill en given vinkeli vinkel som tillsammans med den givna har summan 90◦
A B
Vinklarna A och B är komplementvinklar till varandra.
jämför supplementvinkel s. 196
likabelägna vinklar
definition hnär en transversal skär två räta linjeri två vinklar med spetsarna i varsin skärningspunkt, en i området mellan de räta linjerna och den andra utanför de räta linjerna, och på samma sida om transversalen
kommentar I euklidisk geometri är likabelägna vinklar lika om och endast om de två givna räta linjerna är parallella. Se figur på sidan 194.
jämför alternatvinklar s. 192
medelpunktsvinkel
definition hi en cirkeli vinkel mellan två radier och med spetsen i cirkelns medel-punkt
A A’
B B’
Likabelägna vinklar: A och A0 är likabelägna, liksom B och B0.
Medelpunktsvinkel.
rak vinkel
definition vinkel som är 180◦
En rak vinkel.
jämför rät vinkel s. 195
randvinkel
synonym bågvinkel, periferivinkel
definition vinkel med spetsen på en given kurva
kommentar Kurvan är ofta randen till ett område; därav namnet. Se figur på sidan 195.
randvinkelsatsen
synonym bågvinkelsatsen, periferivinkelsatsen
definition den sats som säger att alla randvinklar i en cirkel på en given båge är lika och hälften så stora som medelpunktsvinkeln på denna båge
Randvinkel.
v
2v
Randvinkelsatsen.
kommentar Detta gäller även om randvinkelns spets ligger på cirkelbågen – med lämplig tolkning.
rät vinkel
definition vinkel som är 90◦
kommentar Till begreppet hör fyra adjektiv, vinkelrät, normal, rätvinklig, och ortogonal. Man säger att en rät linje är vinkelrät mot, normal
mot eller ortogonal mot en annan rät linje eller ett plan. Man säger
att en triangel där en av vinklarna är rät är rätvinklig. Adjektivet används också för ett koordinatsystem om axlarna bildar räta vinklar mot varandra. En rätvinklig parallellepiped kallas rätblock.
etymologi Ortogonal är sammansatt av grekiskans orthós ’rät, rätt’ och g¯onía ’vinkel, hörn’.
jämför rak vinkel s. 194
sidovinkel
definition htill en given vinkeli vinkel som har ett vinkelben gemensamt med den givna och vars andra vinkelben är förlängningen av den givna vinkels andra ben
kommentar Det följer av definitionen att sidovinklar är supplementvinklar.
A A’
Vinkeln A0 är sidovinkel till A.
spetsig vinkel
definition vinkel som är större än 0◦men mindre än 90◦
Spetsig vinkel.
jämför trubbig vinkel s. 197
supplementvinkel
definition htill en given vinkeli vinkel som tillsammans med den givna har summan 180◦
A A’
Vinklarna A och A0 är supplementvinklar till varandra.
etymologi Supplement kommer från latinets supplementum ’utfyllnad’, av plenus ’full’.
trubbig vinkel
definition vinkel som är större än 90◦ men mindre än 180◦
Trubbig vinkel.
jämför spetsig vinkel s. 196
vertikalvinklar
definition vinklar som har samma spets och vilkas vinkelben är förlängningar av varandra
Vertikalvinklar.
kommentar Vertikalvinklar är lika stora.
jämför sidovinkel s. 195
vinkel
definition område mellan två strålar eller sträckor som möts i en gemensam ändpunkt
kommentar Strålarna eller sträckorna kallas vinkelben och den gemensamma ändpunkten kallas vinkelspets. Termen används också om vinkelns storlek, som är den rotation som fordras för att överföra det ena vinkelbenet på det andra och kan mätas i grader eller radianer (vinkel-benens längd har ingen betydelse).
historia Euklides’ definition av vinkel förutsätter inte att vinkelbenen är räta linjer. Hans definition 8 lyder: En plan vinkel är böjningen mot varandra hos två linjer [alltså kurvor] i ett plan, som möter varandra och inte ligger i en rät linje.
Om vinkelbenen är räta linjer så sägs vinkeln vara rätlinjig (de-finition 9).
etymologi Ordet vinkel kommer från det tyska ordet winkel, vars ursprungliga betydelse var ’hörn, böjning’.
vinkeln mellan två räta linjer i planet
definition noll om linjerna är parallella, annars storleken hos den vinkel som de bildar