Logik

avgörbar

definition hom ett påstående i en teorii sådant att man med hjälp av en algo-ritm kan komma fram till huruvida det är sant eller falskt i teorin; hom en teorii sådan att varje påstående formulerat i teorin är avgör-bart

exempel Satskalkylen är avgörbar.

Predikatkalkylen är inte avgörbar (det finns visserligen ett bevis till varje sant påstående, men detta kan inte hittas med en algoritm).

Mängdteorin med de vanliga axiomen är inte avgörbar.

bunden variabel

definition variabel i ett logiskt eller matematiskt uttryck som är bunden av en kvantifikator eller en operation med avseende på variabeln

kommentar De kvantifikatorer som är vanligast är för alla och det finns, och de operationer som är vanligast är summering med hjälp av summa-tecken och integrering. Om en bunden variabel byts ut, så ändras inte utsagans betydelse.

exempel I följande uttryck är x och y bundna variabler, medan a är en fri variabel. Utsagan Det finns ett tal x sådant att x2= a är ekvivalent med utsagan Det finns ett tal y sådant att y2= a.

I uttrycket 3 X j=1 j²= 3 X k=1 k²= 14 är j och k bundna variabler.

I uttrycket Z a 0 f (x)dx = Z a 0 f (t)dt är x och t bundna variabler, medan a är fri.

jämför fri variabel s. 118

disjunktion

1

definition hgivet två utsagor P och Qi utsagan P eller Q

kommentar Disjunktionen är sann om P eller Q eller båda är sanna, annars falsk. Ordet eller skall alltså här tolkas inkluderande i den meningen att disjunktionen är sann när båda de ingående utsagorna är sanna. En exkluderande disjunktion kan skrivas P 6⇔ Q; den är falsk när både P och Q är sanna.

Ett vanligt skrivsätt är P ∨ Q.

etymologi Disjunktion kommer av latinets disiunctio ’åtskiljande’, bildat av pre-fixet dis- ’isär-’ och iungere ’att förena’, således som motsatsord till coniunctio.

disjunktion

₂

definition den operation som utgående från två utsagor ger deras disjunktion1

kommentar Man kan jämföra med operationerna addition, subtraktion, multi-plikation och division, och deras resultat, summa, differens, produkt, kvot.

disjunktionstecken

definition Tecknet ∨

ekvivalens

₁

definition hgivet två utsagor P och Qi utsagan P om och endast om Q

kommentar Ekvivalensen är sann om P och Q båda är sanna eller båda falska, annars falsk. Ett vanligt skrivsätt är P ⇔ Q.

kommentar Man säger att utsagorna är ekvivalenta.

etymologi Ekvivalent kommer från de två latinska orden aequus ’lika’ och valere ’att vara värd’.

ekvivalens

₂

definition den operation som från två utsagor ger deras ekvivalens1

ekvivalenspil

definition dubbelriktad pil som anger att två utsagor är ekvivalenta

kommentar Pilen skrivs vanligen ⇔ och kan läsas ”är ekvivalent med”.

exempel x2− 9 = 0 ⇔ (x = 3 eller x = −3).

ekvivalensrelation

definition relation som är reflexiv, symmetrisk och transitiv

kommentar Definitionen innebär, om vi kallar relationen för R, att xRx för alla x; att xRy medför yRx för alla x och y; samt att xRy och yRz medför xRz för alla x, y, z.

exempel Likhet.

Kongruens modulo något tal.

Relationen mellan två geometriska figurer att vara likformiga.

entitet

definition avgränsat (matematiskt) objekt som uppvisar vissa egenskaper

kommentar Termen entitet används ofta på samma sätt som det äldre substans, i betydelsen ’något objektivt underliggande som bär upp såväl speci-fika som tillfälliga egenskaper’.

exempel Tal, triangel och täljare är entiteter, medan udda, liksidig och di-videra inte är det.

falsk

kommentar I satskalkylen kan en utsaga anta sanningsvärdena sann och falsk.

jämför sann1 s. 120, sann2 s. 120

fri variabel

definition variabel i ett logiskt eller matematiskt uttryck som inte är bunden

exempel I utsagan Det finns ett x sådant att x² = a är a en fri variabel, x en bunden variabel. Utsagan är inte ekvivalent med Det finns ett x sådant att x²= b.

jämför bunden variabel s. 116

implikation

₁

definition hgivet två utsagor P och Qi utsagan P medför Q

kommentar Implikationen är sann om P är falsk eller Q är sann, annars falsk. Den är således falsk endast när P är sann och Q är falsk: man tolkar implikationen P medför Q som ¬P ∨ Q.

Ett vanligt skrivsätt är P ⇒ Q.

kommentar Man säger att den första utsagan implicerar eller medför den andra. Den första utsagan kallas för hypotes eller försats och den andra för

slutsats.

etymologi Implicera kommer från latinets implicare ’infoga, inveckla’ av plicare ’att vika, att veckla’.

jämför ekvivalens₁ s. 117, falsk rot s. 95

implikation

₂

definition den operation som från två utsagor ger deras implikation1

implikationspil

definition pil som anger att ett logiskt uttryck implicerar ett annat, d.v.s. att det andra följer av det första

kommentar Implikationspilen skrivs vanligen ⇒.

exempel x + 3 = 0 ⇒ x2= 9 (omvändningen gäller inte).

kalkyl

definition hi logikeni system av utsagor med regler för hur de får se ut och hur de kan härledas

kommentar För att beskriva en kalkyl fordras att man anger de tecken som får förekomma; regler för vilka sammanställningar av tecknen som är ac-ceptabla (sådana sammanställningar kallas ofta välformade); samt vilka axiomen är och vilka härledningsreglerna är.

jämför satskalkyl s. 121, predikatkalkyl s. 120

konjunktion

₁

definition hinom logiken; givet två utsagor P och Qi utsagan P och Q

kommentar Konjunktionen är sann om P och Q båda är sanna, annars falsk. Vanliga skrivsätt är P ∧ Q och P & Q.

etymologi Konjunktion kommer av latinets coniunctio ’förening, förbindelse’, bildat av prefixet con- ’samman-’ och iungere ’att förena’.

konjunktion

₂

definition hinom logikeni den operation som från två givna utsagor ger deras konjunktion₁

konjunktionstecken

definition tecknet ∧

kommentar Ibland skriver man &.

kvantifikator

synonym kvantor

definition logisk operation som binder en fri variabel

kommentar De vanligaste kvantifikatorerna är allkvantifikatorn, som ofta be-tecknas ∀ och uttalas ”för alla”, existenskvantifikatorn, som ofta betecknas ∃ och uttalas ”det finns” eller ”det finns minst ett element”, och kvantifikatorn det finns exakt ett element, som ibland betecknas ∃!.

exempel För alla heltal n finns det ett primtal p som är större än n. Här binds variablerna n och p av var sin kvantifikator. Ordningen är viktig: utsagan Det finns ett primtal p sådant att för alla heltal n gäller att p är större än n är inte ekvivalent med den första.

logik

definition slutledningskonst

kommentar Logiken studeras både som en gren av filosofin och som en gren av matematiken. Den sistnämnda kallas symbolisk logik eller

matem-atisk logik.

historia Logiken som vetenskap grundades av Aristoteles på 300-talet f. Kr. Han beskrev en grupp av slutledningar, som han kallade syllogismer, och gav en uttömmande och korrekt beskrivning av de möjliga syl-logismerna.

etymologi Logik kommer av grekiska logiké ’konsten att resonera’, bildat av lógos i betydelsen ’resonemang’.

logisk följd

definition hfrån givna utsagori påstående som kan härledas med hjälp av logik från de givna utsagorna

kommentar Om de givna utsagorna är sanna, så är följden också sann. Om de givna utsagorna är falska, så är följden inte nödvändigtvis falsk.

jämför slutledning s. 121

logisk operation

definition någon av operationerna konjunktion2, disjunktion2, implikation2, ekvivalens2, negation2, användning av en kvantifikator

motsägelse

definition förekomsten av två oförenliga påståenden

kommentar Om man inom en teori kan härleda en motsägelse, så är varje påstå-ende en sats inom teorin, och denna är därmed ointressant. Det är därför viktigt att, om möjligt, bevisa att en teori är motsägelsefri. Detta är dock omöjligt att göra inne i en någorlunda rik matemat-isk teori: Kurt Gödel (1906 1978) bevisade 1931 att om en sådan någorlunda avancerad teori innehåller ett bevis för sin egen mot-sägelsefrihet, så innehåller den också en motsägelse.

negation

1

definition hgivet en utsaga P i utsagan icke P

kommentar Negationen är sann om P är falsk, annars falsk. Ett vanligt skrivsätt är ¬P .

negation

2

definition den operation som från en utsaga P ger dess negation₁

predikatkalkyl

definition satskalkylen utökad med kvantifikatorerna för alla och det finns som får verka på predikat, d.v.s. egenskaper

exempel Påståendet ∀x P (x) ⇒ Q(x)
⇒ ∀x P (x) ⇒ ∀x Q(x)
är en sann sats inom predikatkalkylen.

påstående

synonym utsaga

definition uttryck som yttrar sig om de ingående entiteterna

exempel 3 + 5 = 7 och 3 + 5 = 8 är påståenden; 3 + 5 är ett uttryck men inte ett påstående.

sann

₁

synonym faktiskt sann

definition överensstämmande med verkligheten

kommentar Det finns kanske flera verkligheter – eller ingen.

jämför falsk s. 117

sann

₂

synonym logiskt sann

definition hom ett påståendei sant1oberoende av hur verkligheten är beskaffad

kommentar I satskalkylen kan en utsaga anta sanningsvärdena sann och falsk.

jämför falsk s. 117

sanningsvärdestabell

definition tabell inom satskalkylen som visar en utsagas sanningsvärde (sant eller falskt) för alla möjliga kombinationer av sanningsvärden hos de ingående variablerna

exempel För påståendet P ⇒ Q är sanningsvärdestabellen: P Q P ⇒ Q s s s s f f f s s f f s

Med två ingående satser finns det 4 möjliga par av sanningsvärden för de ingående variablerna och således 24= 16 olika sanningsvärdes-tabeller. Åtta av dem är:

P ∨ (¬P ) P ∨ Q Q ⇒ P P P ⇒ Q Q P ⇔ Q P ∧ Q

s s s s s s s s

s s s s f f f f

s s f f s s f f

s f s f s f s f

De övriga åtta tabellerna är för dessas negationer, d.v.s. (¬P ) ∧ P , (¬P ) ∧ (¬Q), Q ∧ (¬P ), ¬P , P ∧ (¬Q), ¬Q, ¬(P ⇔ Q) och (¬P ) ∨ (¬Q).

satskalkyl

definition kalkyl för de logiska operationerna konjunktion₂ och negation₂

kommentar De logiska operationerna disjunktion₂, implikation₂ och ekvivalens₂ omfattas också av satskalkylen, eftersom de kan uttryckas med hjälp av konjunktion2 och negation2. Satskalkylen är avgörbar, eftersom alla utsagor kan analyseras fullständigt med sanningsvärdestabeller av förutsebar storlek.

exempel Utsagorna ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q
och ¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q).

sluten utsaga

definition utsaga utan fria variabler

exempel För alla a finns det ett y sådant att y2= a. Här är variablerna a och y bundna.

jämför öppen utsaga s. 121, bunden variabel s. 116, fri variabel s. 118

slutledning

definition förlopp varvid man från ett eller flera antaganden logiskt härleder en eller flera slutsatser

jämför logisk följd s. 119

öppen utsaga

definition utsaga med minst en fri variabel

exempel Det finns ett y sådant att y2= a. Här är variabeln a fri, variablen y bunden.

7.2. Matematiska modeller

In document Matematiktermer för skolan (Page 116-122)