2. De fyra räknesätten
2.5. Division
bråkstreck
definition ett av tecknen (vågrätt bråkstreck) och / (snett bråkstreck)
kommentar Snett bråkstreck används företrädesvis då man i löpande text vill skriva täljare och nämnare på samma rad.
historia Det äldsta kända exemplet på användning av det horisontella bråk-strecket återfinns i ett manuskript av al-H. as.s.¯ar (verksam i Marocko på 1100-talet).
jämför divisionstecken s. 32
delare
definition faktor i en viss faktorisering av ett givet tal eller polynom
kommentar Det måste anges eller av sammanhanget framgå vilken faktorisering det är frågan om. De vanligaste fallen är heltalen; polynom med heltalskoefficienter; polynom med reella koefficienter; polynom med komplexa koefficienter.
Heltalet d är en delare i heltalet n om det finns ett heltal k sådant att n = kd. Man säger då att n är delbart med d och k, eller någon gång att d och k går jämnt upp i n. Ibland förekommer även det oegentliga talesättet jämnt delbart med, som kan missförstås, eftersom man kan tro att kvoten skall vara ett jämnt tal.
Speciellt är 0 delbart med 0, men kvoten 0/0 är inte entydigt definierad, eftersom det finns mer än ett tal k sådant att 0 = k · 0.
exempel Talet 37 är delare i 1 147 men inte i 1 148 (heltal).
Polynomet x + 1 är delare i polynomet x2− 1 (polynom med heltalskoefficienter).
Polynomet x2+ 1 kan inte faktoriseras i förstagradspolynom med reella koefficienter, däremot om vi tillåter komplexa koefficienter: x2+ 1 = (x + i)(x − i).
jämför faktor s. 27
dividera
definition utföra division
kommentar Man säger att man dividerar ett tal a med ett annat tal b eller be-räknar kvoten1 mellan (eller av) a och b.
En divisionsalgoritm kan uppfattas som en upprepad subtraktion.
etymologi Dividera kommer från det latinska verbet dividere ’att dela, att klyva’.
division
definition räkneoperation med syfte att finna vilket tal ett givet tal skall multi-pliceras med för att man om möjligt skall erhålla ett annat givet tal eller komma nära detta givna tal
kommentar Om man arbetar med någon av talmängderna de rationella talen Q, de reella talen R eller de komplexa talen C, så är division den inversa operationen till multiplikation, vilket innebär att resultatet av divisionen, betecknat a/b, är lika med k om och endast om a = kb, förutsatt att b 6= 0. Lösningen k till ekvationen a = kb, där a och b är givna och b 6= 0, är unik och kallas för kvoten1 av a och b.
Om man arbetar med heltalen Z är det inte alltid möjligt att lösa ekvationen a = kb även om b 6= 0. Man väljer då ett tal q som gör att avvikelsen a − qb blir liten i någon mening. Om b > 0 så är det vanligaste är att man väljer q så att 0 6 a − qb < b. Denna olikhet har exakt en lösning. Man kan också välja ett heltal x som uppfyller |a − xb| 6 b1
2|b|c.
Termen division används även för polynom. Till två givna poly-nom A(x) och B(x) med rationella koefficienter och där B(x) inte är noll väljer man som kvot det unika polynom Q(x) sådant att R(x) = A(x) − Q(x)B(x) har lägre grad än B(x).
En division som skrivs 18/3 = 6 utläses ”arton delat med tre är (lika med) sex” eller ”arton genom tre är (lika med) sex”. I uttrycket a/b kallas a dividend och b divisor.
etymologi Division kommer från det latinska divisio, verbalsubstantiv till verbet dividere ’att dela, att klyva’. Dividend betyder ’som bör delas’; di-visor ’delare’.
jämför dimension2 s. 70, dimensionsanalys s. 70, storhet s. 73
divisionsalgoritm
definition algoritm som anvisar hur man kan räkna ut kvoten1 eller kvoten2
mellan två tal eller två polynom
historia En vanlig divisionsalgoritm i Europa före 1600 var galärmetoden. Den hade utvecklats ur metoder där delresultaten i beräkningarna successivt suddades ut under arbetets gång. Dessa metoder hade sitt ursprung i arabisk matematik och vidare tillbaka i Indien och Kina.
1 /5 5 /3/3 1 /6/8/7/8 | 6 /5/2/8/4/ | 109 5 /9/4/4/4/ | 5 /9/9/ 5 /
Galärmetoden för division. Dividenden är här 65 284, divisorn 594, kvoten2
109 och resten 538. Namnet kommer troligen av att uppställningen liknar en galär till formen.
Galärmetoden lärdes ut i den första tryckta läroboken i matem-atik, den s. k. Treviso-aritmetiken 1478. Den användes också i den tidigaste läroboken på svenska av Aurelius 1614. De flesta andra di-visionsalgoritmer som använts i Sverige är i sina uppställningar mer lika dagens.
I Skolöverstyrelsens utredning i skolfrågor nummer 5, Termino-logi, beteckningssätt och uppställningstyper i den elementära matem-atikundervisningen (1961), konstaterades att fyra olika divisionsal-goritmer var i bruk i skolorna liksom i läromedlen, och att en en-hetlighet vore önskvärd. Man förordade då trappan, bland annat på grund av att ”kvoten sätts ovanför dividenden” samt att uppställ-ningen var vanlig i Danmark, England, Holland och USA. Trappan var den vanliga uppställningen i Danmark och den förordades också av några i Sverige – i Holland, England och USA användes en vari-ant med högerparentes för den vertikala delen av trappsteget. I en terminologibok från 1966 användes enbart trappan.
I Matematikterminologi för skolan (1979) rekommenderade Skol-överstyrelsen i stället liggande stolen. Trappan angavs som en ”Alt-ernativ uppställning”, men med ett förbehåll: ”En sådan uppställning kan dock åstadkomma att förväxling sker mellan täljare och nämnare eftersom dessa då skrivs i omvänd ordning mot i en med snett bråk-streck tecknad division”.
jämför kort division s. 33, lång division s. 34, liggande stolen s. 34, trappan s. 34
divisionstecken
definition tecknet eller / när det symboliserar operationen division
kommentar På miniräknare och tangentbord till datorer förekommer ÷ som sym-bol för division. Även kolon ( : ) förekommer som symsym-bol för divis-ion, men är olämpligt eftersom detta (som matematiskt tecken) oftast symboliserar ett förhållande, t. ex. en skalangivelse.
historia Leibniz använde : som divisionstecken 1684, och här förekommer också ett horisontellt streck ( ). Johann Rahn använde ÷ år 1659, och ett snedstreck ( / ) är som tidigast funnet i 1700-talsskrifter.
jämför bråkstreck s. 30
Euklides’ algoritm
definition algoritm för att bestämma största gemensamma delaren till två nat-urliga tal
exempel Talen 497 och 203 har 7 som största gemensamma delare. Denna hittas genom successiv division med rest: 497 = 2 · 203 + 91, 203 = 2 · 91 + 21, 91 = 4 · 21 + 7, 21 = 3 · 7 + 0; den sista rest som inte är noll är 7, och detta tal är den största gemensamma delaren.
gemensam delare
definition delare till vart och ett av två eller flera givna heltal
kommentar Motsvarande gäller även för polynom. Den största gemensamma del-aren betecknas ibland SGD.
exempel Talet 3 är gemensam delare till 6, 12 och 132.
Polynomet x+3 är gemensam delare till x2−9 och 2x2+12x+18.
kort division
definition divisionsalgoritm där man räknar direkt på bråkstrecket och där inte alla uträkningar bokförs
kommentar Metoden är lätt att använda om nämnaren är ett ensiffrigt tal.
exempel Vi dividerar 86 med 2. Först delar vi tiotalen (8/2 = 4). Sedan delar vi entalen (6/2 = 3). Vi får 4 tiotal och 3 ental = 40 + 3 = 43.
kvot
1definition hvid räkning med rationella, reella eller komplexa tali resultat av en division
kommentar Termen kvot används även för divisionsuttrycket.
I de nämnda talmängderna, som alla är kroppar2, kan ekvationen a = kb lösas för alla givna tal a och b 6= 0. Kvoten1 mellan (eller av) a och b är det unika tal k som uppfyller a = kb. Man skriver k = a/b
exempel Kvoten1 av 7 och 2 är 3,5.
etymologi Kvot kommer från det latinska uttrycket quota pars ’hur stor del?’; quot betyder ’hur många?’, en relevant fråga när man kvoterar in vissa grupper till en eftersökt utbildning.
kvot
2definition hvid räkning med hela tal när icke hela tal inte tillåtsi resultat av en division
kommentar Ekvationen a = kb kan inte alltid lösas med heltal när a och b är heltal, även om b 6= 0.
Kvoten2 är ett heltal som kommer nära kvoten1i någon mening; om b > 0 till exempel, så väljer man vanligen det unika heltal q som uppfyller 0 6 a − qb < b. Kvoten2 är alltså då lika med heltalsdelen av den rationella kvoten1: q = bkc, där k är kvoten1. Talet a − qb kallas resten.
exempel Kvoten2 av 7 och 2 är 3; resten är 1.
jämför division s. 31
liggande stolen
definition lång division där dividenden skrivs till vänster, divisorn till höger mellan stolens ben och kvoten successivt skrivs ovanför dividenden.
historia Se termposten divisionsalgoritm. 567 35 16,2= 016,2567 35 –35 217 –210 0070 –70 00
Liggande stolen. Dividenden är här 567, divisorn 35 och kvoten1 16,2. Om man avbryter när man kommit till 217 − 210 = 7, får man i stället kvoten2 16 och resten 7.
lång division
definition divisionsalgoritm som genomförs med hjälp av en standarduppställ-ning bestående av flera steg vilka var för sig inte innehåller division
kommentar För lång division finns det många räkneuppställningar eller algoritm-er. De fungerar även för polynom. En vanlig uppställning kallas liggande stolen, en annan trappan.
jämför liggande stolen s. 34, trappan s. 34
rest
definition tal som blir kvar vid division av ett heltal med ett positivt heltal
kommentar Resten vid division av ett heltal a med ett positivt heltal b är det heltal r som uppfyller 0 6 r < b och a = qb + r för något heltal q.
exempel Fyra flickor skall dela 14 äpplen. De får tre äpplen var och det blir två äpplen över: 14 = 3 · 4 + 2. Man säger att kvoten2 är 3 och att resten är 2.
jämför kvot2 s. 33
trappan
definition lång division där divisorn skrivs till vänster, dividenden till höger, och kvoten successivt skrivs ovanför dividenden
567 35 16,2= 016,2 35 567,0 –35 217 –210 70 –70 00
Trappan. Dividenden är här 567, divisorn 35 och kvoten1 16,2. Om man avbryter när man kommit till 217 − 210 = 7, får man i stället kvoten2 16 och resten 7.