5. Algebra
5.4. Mängdlära
definition det minsta oändliga kardinaltalet
kommentar Talet är kardinaltalet för mängden av de naturliga talen N = {0, 1, 2, 3, . . . }. Aritmetiken för detta tal är ganska enkel: ℵ0+ ℵ0= ℵ0· ℵ0= ℵ0. Men 2ℵ0 är inte lika med ℵ0, utan större.
historia Symbolen ℵ0infördes 1895 av Georg Cantor.
etymologi Den första bokstaven i det hebreiska alfabetet är ℵ (alef).
boolesk algebra
definition struktur med två kommutativa och associativa operationer ∨ och ∧ som båda har ett neutralt element 0 respektive 1 och som är dis-tributiva över varandra och där det varje element x har en invers y sådan att x ∨ y = 1 och x ∧ y = 0
kommentar Det handlar ofta om logiska uttryck, där de två värdena är sant och falskt. Operatorer som används i boolesk algebra är konjunktion, infimum (∧ eller and); disjunktion, supremum (∨ eller or); sträng disjunktion ( 6≡ eller xor) och negation (¬ eller not).
Boolesk algebra används t. ex. vid sökning i databaser. För att uttrycket a and b skall gälla måste både a och b vara sanna (eller vid sökning förekomma). För att uttrycket a or b skall gälla räcker det att antingen a eller b är sant (eller vid sökning förekommer). För att uttrycket a xor b skall gälla skall ett och endast ett av uttrycken a eller b vara sant (eller vid sökning förekomma). För att uttrycket a not b skall gälla måste a vara sant och b falskt (eller vid sökning a men inte b förekomma).
exempel Delmängderna till en given mängd X bildar en boolesk algebra om vi definierar A ∨ B = A ∪ B, A ∧ B = A ∩ B, 0 = Ø, 1 = X eller tvärtom.
historia Boolesk algebra introducerades av George Boole (1815 1864).
jämför disjunktion2 s. 117, supremum s. 61, konjunktion2 s. 119, infimum s. 58, negation2 s. 120
delmängd
definition htill en given mängdi mängd som är innehållen i den givna mängden
kommentar Delmängden kallas äkta om den inte är lika med den givna mängden. Att B är en delmängd av A skrivs B ⊂ A eller A ⊃ B. (Ibland ser man beteckningen B ⊆ A, som är analog med b 6 a, men i så fall kan B ⊂ A inte användas för äkta delmängd i analogi med b < a; man måste skriva B ( A eller B $ A.)
Familjen av alla delmängder av en mängd A betecknas oftaP(A).
exempel Lövträden är en delmängd av mängden av alla träd. Eftersom det också finns barrträd handlar det om en äkta delmängd.
De Morgans lagar
definition de lagar som säger att komplementet till unionen av två mängder är lika med snittet av deras komplement, respektive att komplementet till snittet av två mängder är lika med unionen av deras komplement
kommentar Med mängdlärans beteckningar lyder lagarna { A∪B = {A∩ {B och { A ∩ B = {A ∪ {B.
exempel Den som varken är rik eller frisk är fattig och sjuk. Den som inte är rik och frisk är fattig eller sjuk.
etymologi Lagarna är uppkallade efter Augustus De Morgan (1806 1871).
jämför komplement s. 102, snitt s. 103, union s. 104
differens
2synonym mängddifferens
definition hav två mängder A och Bi mängden av de element som tillhör A men inte B
kommentar Differensen mellan A och B skrivs A r B med ett snett minustecken.
jämför komplement s. 102
disjunkta
definition hom två mängderi utan gemensamt element
kommentar Att A och B är disjunkta kan skrivas A ∩ B = Ø.
exempel De udda och jämna heltalen är två disjunkta mängder av Z.
etymologi Disjunkta kommer av latinets disjunctus ’åtskild’, av dis- ’isär-’ och iungere ’att förena’; jämför iugum ’ok’.
ekvipotenta
definition hom två eller flera mängderi med samma kardinaltal
kommentar Två mängder är ekvipotenta precis när deras element kan paras ihop med en bijektiv avbildning. Man säger då också att de har samma
kardinalitet.
exempel Galileo Galilei (1564 1642) konstaterade att mängden av kvadrattal {1, 4, 9, 16, 25, . . . } är ekvipotent med mängden av naturliga tal trots att den förstnämnda är glesare. De två mängderna kan paras ihop genom kvadrattalens baser.
Primtalen och de rationella talen bildar två ekvipotenta mängder. De fyra nämnda mängderna har alla kardinaliteten ℵ0 (alef-noll).
element
definition hi mängdlärani objekt som tillhör en mängd
kommentar Man talar också om elementen i en följd.
jämför mängd s. 17, element i en följd s. 109
inklusion
definition relation mellan två mängder som uttrycker att den första är en del-mängd av den andra
jämför delmängd s. 100
kartesisk produkt
synonym cartesisk produkt
definition hav mängderna X och Y i mängden av alla ordnade par (x, y), där x är ett element i X och y är ett element i Y
kommentar Den kartesiska produkten av X och Y skrivs X × Y (utläses ”X kryss Y ”). Om Y = X så skriver man X × X = X2.
Ibland används termen produktmängd.
etymologi Se kartesiskt koordinatsystem, sidan 236.
komplement
definition htill en given mängdi mängden av alla objekt som inte tillhör mängd-en
kommentar Komplementet till en mängd B betecknas {B eller Bc. Ofta tar man komplementet av en delmängd B med avseende på en given mängd A. Då förstår man med komplementet till B mängden av alla element i A som inte hör till B; således differensen A r B = A ∩ {B.
jämför differens2 s. 101
mängdalgebra
definition gren av mängdläran som behandlar operationerna att bilda union, snitt och komplement
mängdlära
synonym mängdteori
definition läran om matematiska mängder, deras kardinalitet och de operationer som kan utföras på dem
omvänd relation
synonym invers2
definition htill en given relationi den relation som råder mellan x och y precis när y och x har den givna relationen
exempel Relationen barn till är omvänd till relationen förälder till. Relationen kusin till är sin egen omvändning; den är symmetrisk.
Om speciellt f är en bijektion från X på X så är den omvända relationen f−1 en avbildning, en bijektion X → X och samman-sättningarna f−1◦ f och f ◦ f−1 är den identiska avbildningen i X (det neutrala elementet under sammansättning). I detta fall är alltså inversen2 till f också en invers1.
oändlig mängd
definition mängd som har ett oändligt antal element
kommentar En oändlig mängd kan vara uppräknelig, d.v.s. avbildas bijektivt på de naturliga talen, eller icke uppräknelig. Ett exempel på en icke uppräknelig mängd är de reella talen.
jämför alef-noll s. 100, ändlig mängd s. 105, uppräknelig mängd s. 104, över-uppräknelig mängd, s. 105
reflexiv relation
definition relation R sådan att xRx gäller för alla x i definitionsmängden
kommentar Om xRx aldrig gäller, säges relationen vara irreflexiv.
exempel Relationen = är reflexiv. Relationen 6= är irreflexiv.
skära
definition hom två mängderi ha en gemensam punkt
kommentar Definitionen innebär att två mängder skär varandra precis när deras snitt är icke-tomt.
snitt
synonym skärningsmängd
definition hav två mängderi mängden som består av de element som tillhör de båda givna mängderna
kommentar Snittet av A och B skrivs A ∩ B. Snittet av en godtycklig fam-ilj av givna mängder definieras som mängden av de element som tillhör samtliga givna mängder. Snittet är den största mängd som är en delmängd av alla givna mängder. Snittet av mängderna Aj, j ∈ J , skrivsT
j∈JAj. Om indexmängden J är tom, gällerT
j∈ØAj = X, där X är universum.
Tidigare användes termen produktmängd om snittet, och man skrev det som AB.
jämför union s. 104, kartesisk produkt s. 102
symmetrisk relation
definition relation R sådan att xRy gäller om och endast om yRx
exempel Relationen = är symmetrisk.
tillhöra
definition vara element i
kommentar Att ett objekt x tillhör en mängd A skrivs x ∈ A eller A 3 x. Mot-satsen, att ett objekt y inte tillhör mängden A, skrivs y /∈ A.
Att x ∈ A är ekvivalent med att singletonmängden {x} är en delmängd av A, {x} ⊂ A, vilket också kan skrivas {x} ∈P(A).
etymologi Giuseppe Peano (1858 1932) använde år 1889 symbolen ε, den grek-iska bokstaven epsilon, för tillhörighet. Det är den första bokstaven i ordet ’εστ ´ι, estí ’är’. Bokstaven kan också skrivas ; den stiliserades senare till ∈.
jämför delmängd s. 100
tomma mängden
kommentar Den tomma mängden betecknas Ø eller { }. Den är ett neutralt element för unionsbildning: A ∪ Ø = A för varje mängd A; jämför med nollans roll för addition: x + 0 = x.
etymologi Symbolen Ø infördes 1939 med den matematiska betydelsen av Nico-las Bourbaki, pseudonym för en grupp matematiker. Ansvarig var André Weil (1906 1998), som uppgivit att han tog den från det norska alfabetet.
transitiv relation
definition relation R sådan att det för alla x, y, z gäller att xRy och yRz medför xRz
exempel Relationerna = (likhet), < (mindre än) och 6 (mindre än eller lika med) är alla transitiva.
union
synonym föreningsmängd
definition hav två givna mängderi den mängd som består av de element som tillhör minst en av de givna mängderna
kommentar Unionen av A och B skrivs A ∪ B. Unionen av en godtycklig familj av mängder kan också definieras på samma sätt. Unionen av mängderna Aj, j ∈ J , skrivs S
j∈JAj. Om indexmängden J är tom, gäller S
j∈ØAj= Ø.
Tidigare talade man om summan av två mängder och skrev A+B för unionen. Med orden föreningsmängd och senare union undviker man nu sammanblandningen.
jämför snitt s. 103
uppräknelig mängd
definition mängd som är ändlig eller kan sättas i en bijektiv relation till de naturliga talen
jämför ändlig mängd s. 105, oändlig mängd s. 102, överuppräknelig mängd s. 105
urvalsaxiomet
definition det axiom i mängdläran som säger att man för varje familj av icke-tomma mängder kan välja ut ett element i var och en av dem
kommentar Axiomet innebär att om en familj (Ax)x∈X är given och ingen av mängderna Ax är tom, så finns det en avbildning f : X →S
x∈XAx
sådan att f (x) ∈ Ax för alla x ∈ X. Av alla element i Ax kan man alltså välja ut ett, nämligen f (x). Detta behövs i många men inte alla matematiska konstruktioner.
Venndiagram
synonym mängddiagram
definition diagram med vars hjälp mängder och förhållanden mellan dem åskåd-liggörs
kommentar Med hjälp av ett Venndiagram kan elementen i en mängd avgräns-as från element som inte tillhör mängden, och snitt, unioner och komplement åskådliggöras.
Ett Venndiagram med tre mängder och ett med fyra. I det senare finns det 24= 16 olika fält som kan innehålla element, nämligen, om mängderna kallas A1, A2, A3, A4, mängderna Ak1 1 ∩ Ak2 2 ∩ Ak3 3 ∩ Ak4 4 , där kj= 1, −1 och A1j= Aj, A−1j = {Aj, j = 1, 2, 3, 4.
etymologi Venndiagrammen är uppkallade efter John Venn (1834 1923).
ändlig mängd
definition mängd som har ett ändligt antal element
kommentar Varje ändlig mängd är uppräknelig, men inte omvänt.
Antalet element i en ändlig mängd är ett naturligt tal, 0, 1, 2, . . .
jämför oändlig mängd s. 102
överuppräknelig mängd
definition oändlig mängd som inte kan sättas i en bijektiv relation till de natur-liga talen
kommentar Med hjälp av Cantors diagonalförfarande kan man visa att mängden av alla följder av nollor och ettor inte kan räknas upp med hjälp av de naturliga talen: till varje uppräkning kan man bilda den följd som skiljer sig från följden med nummer j på plats j och alltså inte är med i uppräkningen. Det följer av detta att inte heller de reella talen kan räknas upp. Detta innebär att card R > card N.
Mängden av alla avbildningar från en mängd X in i en mängd Y kan betecknas YX. Vi kan definiera potenser av kardinaltal genom att definiera (card Y )card X som card YX. Med denna definition blir
card R = card {0, 1}card N = card (P(N)) = 2card N= 2ℵ0. Mängden av alla funktioner R → {0, 1} får kardinaltalet
card 2card R = card (P(R)) = 2(2ℵ0) > card R = 2ℵ0, ett ännu större kardinaltal. I själva verket gäller för alla mängder X att